我们注意到函数11x-xoP-E-iEz-z(x-x)+i(y-y) (x-x) +(y-y)2(x-x,)+(y-y)易见向量场（电场E=E,e+E,e，）正好与这个函数的共轭相对应，因此dzx-Xy-yo[d(x+iy)1--z.yi(x-x)2 +(y-yo)2(x-xo) +(y-y)=d (E,-iE,)d(x+iy)=d,(E,dx+E,dy)+if,(-E,dx+E,dy)dEl.ds+idEn ds上式中矢量"o，"o含义与复变函数环路积分物理意义中的含义相同。其物理意义7]：由场论知电场是无旋的场，则电场强度E沿着L的环量d, E-l, ds=0,E-n, ds=2元另外，如果L包含“点，则通量9f, E-n, ds-0如果L不包含=点，则通量重点难点第四章解析函数的幂级数表示重点：复级数的基本概念及其性质：如何将解析函数展开成泰勒级数及罗朗级数；解析函数的重要性质。难点：理解一个函数的解析性与一个函数能否展为幂级数是等价的。特色：尝试用计算机仿真编程方法(Matlab，Mathematic，Mathcad)进行级数展开。本章知识点摘要：1.复数项级数ZB.数列B=a,+ib,(n=1,2.）和级数”的收敛定义与实数域内数列和级数的收敛定义类似数列B.=α,+ib.收敛的充要条件是实数列^和b%同时收敛SpZa.Sh级数台“收敛的充要条件是实级数台和台”同时收敛Zp.lim β, =0是级数台”“收敛的必要条件，2.函数项级数幂级数Z.()中的各项如果是幂函数(=)=c.(=-=或.(=)=C"，那么就得到幂函数项级数Ze.(=--0) )Zes或台级数幂级数的收敛域为一圆域，其边界称为收敛圆。在圆的内部幂级数绝对收敛；在圆的外部幂级数发散，在圆周上幂级数可能处处收敛，也可能处处发散，或在某些点收敛，在另一些点发散
我们注意到函数 易见向量场（电场 ）正好与这个函数的共轭相对应，因此 上式中矢量 含义与复变函数环路积分物理意义中的含义相同。 其物理意义【7】：由场论知电场是无旋的场，则电场强度 沿着 的环量 另外，如果 包含 点，则通量 ； 如果 不包含 点，则通量 . 重点难点 第四章 解析函数的幂级数表示 重点：复级数的基本概念及其性质； 如何将解析函数展开成泰勒级数及罗朗级数； 解析函数的重要性质。 难点：理解一个函数的解析性与一个函数能否展为幂级数是等价的. 特色：尝试用计算机仿真编程方法(Matlab，Mathematic ，Mathcad)进行级数展开。 本章知识点摘要： 1.复数项级数 数列 和级数 的收敛定义与实数域内数列和级数的收敛定义类 似. 数列 收敛的充要条件是实数列 和 同时收敛. 级数 收敛的充要条件是实级数 和 同时收敛. 是级数 收敛的必要条件. 2.函数项级数 幂级数 函数项级数 中的各项如果是幂函数 或 ，那么就得到幂 级数 或 . 幂级数的收敛域为一圆域，其边界称为收敛圆. 在圆的内部幂级数绝对收敛；在圆的 外部幂级数发散，在圆周上幂级数可能处处收敛，也可能处处发散，或在某些点收 敛，在另一些点发散. 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 i i ( ) i( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y x x y y E E z z x x y y x x y y x x y y − − = = − − − − + − − + − − + − ＝ E e e = + E E x x y y 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 d i d( i ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( i )d( i ) ( d d ) i ( d d ) d i d L L x y x y y x L L L L L z x x y y x y z z x x y y x x y y E E x y E x E y E x E y s s − − = − + − − + − − + − = − + + + − + = + ＝ E l E n 0 0 l n, E L 0 d 0 L s E l ＝ L 0 z d π L s ＝2 E n0 L 0 z d 0 L s E n0 ＝ i ( 1,2,.) n n n = + = a b n 1 n n = i n n n = + a b n a n b 1 n n = 1 n n a = 1 n n b = lim 0 n n → = 1 n n = 0 ( ) n n f z = 0 ( ) ( )n n n f z c z z = − ( ) n n n f z c z = 0 0 ( )n n n c z z = − 0 n n n c z =
Zc.(=--0)Se或台收敛圆的半径称为幂级数的收敛半径，求幂级数台的收敛半径的公式有比值法或根值法1R= lim/c-1R= limcmca或3.泰勘级数((-20形如n！的幂级数称为奏勒级数，若=0），则为麦克劳林级数定理若函数(-)在圆域-=0<R内解析，则在此圆域内，(-)可展开成泰勒级数C)-2((-0)on!且展开式是唯一的。但需要特别说明的是：尽管上式右端的幂级数可能在收敛圆周上处处收敛，也可能处处发散，或在某些点收敛，在另一些点发散．但幂级数的和函数在收敛圆周上至少有一个奇点.4.罗朗级数2c.(c-0)形如的级数称为罗朗级数，它是一个双边幂级数定理若函数(=)在圆环域R<=-<R内解析，则在此圆环域内，(-)可展开成罗朗级数()= c(=-=).怕d=,(n=0,±1,±2,..)C=2元9(=-=)其中，L为圆环域内绕~的任一正向简单闭曲线。5.本章主要题型及解题方法(1)讨论复数列的敛、散性可通过讨论它的实部数列和虚部数列的敛、散性进行判断(2)讨论复级数的敛散性可通过讨论它的实部数列和虚部数列的敛、散性进行判断，对于有些级数，若当n→8时，通项不趋于零，则级数发散。Zp.21B,1通过讨论“的敛散性来获得-“的敛散性。(3)求幂级数的收敛半径及在收敛域内的和函数解题思路：1f(=) =（=-1)(=-2）在平面上有两个奇点：≥=1与≥=2.=平面可以被分成例函数如下三个互不相交的(=)的解析区域：(I)圆1=1：(2)圆环1=k2；(3)圆环24=K+°，试分别在此三个区域内求(=)的展开式。【解】首先将/(=)分解成部分分式111f()=-z-2z-1
收敛圆的半径称为幂级数的收敛半径，求幂级数 或 的收敛半径的公 式有比值法或根值法 或 3.泰勒级数 形如 的幂级数称为泰勒级数，若 ，则为麦克劳林级数. 定理 若函数 在圆域 内解析，则在此圆域内， 可展开成泰勒级数 . 且展开式是唯一的. 但需要特别说明的是： 尽管上式右端的幂级数可能在收敛圆周上处处收敛，也可能处处发散，或在某些点收 敛，在另一些点发散. 但幂级数的和函数在收敛圆周上至少有一个奇点. 4.罗朗级数 形如 的级数称为罗朗级数，它是一个双边幂级数. 定理 若函数 在圆环域 内解析，则在此圆环域内， 可展开成罗 朗级数 ， 其中 ，L 为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线. 5.本章主要题型及解题方法 (1)讨论复数列的敛、散性 可通过讨论它的实部数列和虚部数列的敛、散性进行判断. (2)讨论复级数的敛散性 可通过讨论它的实部数列和虚部数列的敛、散性进行判断. 对于有些级数，若当 时，通项不趋于零，则级数发散. 通过讨论 的敛散性来获得 的敛散性. (3)求幂级数的收敛半径及在收敛域内的和函数 解题思路： 例 函数 在平面上有两个奇点： 与 . 平面可以被分成 如下三个互不相交的 的解析区域：(1) 圆 ；(2) 圆环 ；(3) 圆环 ，试分别在此三个区域内求 的展开式. 【解】 首先将 分解成部分分式 0 1 ( )n n n c z z = − 0 n n n c z = 1 lim n n n c R → c + = 1 1 lim | | n n n R → c = = ( ) 0 0 0 ( )( ) ! n n n f z z z n = − 0 z = 0 f z( ) 0 z z R − f z( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! n n n f z f z z z n = = − 0 ( )n n n c z z + =− − f z( ) R z z R 1 0 2 − f z( ) 0 ( ) ( )n n n f z c z z + =− = − 1 0 1 ( ) d ,( 0, 1, 2,.) 2πi ( ) n n L f z c z n z z + = = − 0 z n → 1 n n = 1 n n = ( 1)( 2) 1 ( ) − − = z z f z z = 1 z = 2 z f (z) | z | 1 1 | z | 2 2 | z | + f (z) f (z) 1 1 2 1 ( ) − − − = z z f z
<1做2(1)（1）在圆域=k1内，因为l=kl<2，，于是有1.1.1=± -(1f(=)=241242k+1-221-=2为f(z)在圆域=k1内的泰勒展开式.<12(2)2）在圆环域14=K2内，有日，故11111251=-盖-2f():02+22合2Z1/[2/<1<1(3)在圆环域2=+内，这时日2，故11111(2kf(-)=1.22122Z2Z1f(2) =(=-1)(=-2)还可以求它在奇点2 的去心邻域0=-2k1的罗另外，对函数朗展开式111Z(-1)*(z-2)f(z2) =z-2 z-2+1-z-2ks这是同一个函数在不同的圆环域中的罗朗展开式。显然在不同的展开区域有不同的展开式，这与罗朗展开式的唯一性并不矛盾.重点难点第五章留数定理重点：利用留数定理转化为留数计算问题难点：选好复变量积分的被积函数和积分围线：确定积分区域和奇点。特色：利用计算机仿真计算留数积分。本章知识点摘要：1.孤立奇点概念及其类型若函数(}在"处不解析，但在的某一去心邻域<一=<°内处处解析，则称为f(=)的一个孤立奇点.孤立奇点"0可按函数(=)在解析邻域0<-=<内的罗朗展开式中是否含有(-%)的负幂项及含有负幂项的多少分为三类.如果展开式中不含、或只含有限项、或含无穷多个(=-=)的负幂项，则°分别称为(=)的可去奇点、极点、本性奇点。孤立奇点类型的极限判别法：lim f(=)=a（α为有限值），则"°为f(=)的可去奇点；1）1）若lim f(=)= 00，则为()的极点。进一步判断，若(--)(C)=b（b为2）2）若：
(1) (1) 在圆域 内，因为 ，故 ，于是有 为 在圆域 内的泰勒展开式. (2) (2) 在圆环域 内，有 ， ，故 (3)在圆环域 内，这时 ， ，故 另外，对函数 还可以求它在奇点 2 的去心邻域 的罗 朗展开式 这是同一个函数在不同的圆环域中的罗朗展开式. 显然在不同的展开区域有不同的展 开式，这与罗朗展开式的唯一性并不矛盾. 重点难点 第五章 留数定理 重点：利用留数定理转化为留数计算问题. 难点：选好复变量积分的被积函数和积分围线； 确定积分区域和奇点。 特色：利用计算机仿真计算留数积分。 本章知识点摘要： 1．孤立奇点概念及其类型 若函数 在 处不解析，但在 的某一去心邻域 内处处解析，则 称为 的一个孤立奇点. 孤立奇点 可按函数 在解析邻域 内的罗朗展开式中是否含有 的负幂项及含有负幂项的多少分为三类．如果展开式中不含、或只含有限项、或含无穷多个 的负幂项，则 分别称为 的可去奇点、极点、本性奇点. 孤立奇点类型的极限判别法： 1） 1） 若 （ 为有限值），则 为 的可去奇点； 2） 2） 若 ，则 为 的极点。进一步判断，若 （ 为 | z | 1 | z | 1 2 1 2 z 1 0 0 0 1 1 1 1 1 ( ) _ 1 1 2 2 2 2 1 2 k k k k k k k k z f z z z z z + = = = = − = = − − − f (z) | z | 1 1 | z | 2 1 1 z 1 2 z 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 k k k k k k k k k k z z f z z z z z z z − + = = = = = − − = − − = − − − − 2 | z | + 1 1 z 1 2 z 0 1 1 1 1 1 2 1 ( ) 2 1 1 1 k k k k f z z z z z z z z = = − = − − − ( 1)( 2) 1 ( ) − − = z z f z 0 | z − 2 | 1 k k k z z z z f z ( 1) ( 2) 2 1 2 1 1 2 1 ( ) 0 − − − − = − + − − = + = f z( ) 0 z 0 z 0 0 − z z 0 z f z( ) 0 z f z( ) 0 0 − z z 0 ( ) z z − 0 ( ) z z − 0 z f z( ) 0 lim ( ) z z f z a → = a 0 z f z( ) 0 lim ( ) z z f z → = 0 z f z( ) 0 0 lim( ) ( ) m z z z z f z b → − = b
有限值且不为0)，则=o为f(=)的m阶极点：2.留数的定义、计算方法留数定义：设"为函数(=)的孤立奇点，那么()在"0处的留数f.f(=)dzRes[(=),=o]= c-1 其中C为去心邻域0<=-=<°内任意一条绕=的正向简单闭曲线.有限远点留数的计算方法：（1）用定义计算留数。即求出罗朗展开式中负幂项（--=)"的系数或计算积分2元4,()d:.这是求留数的基本方法。(2）若"0为函数(=)的可去奇点，则Res[/(=),=]=0Res[f(=),=]= lim(2-)f(=)（(3）若"为J(=)的一阶极点，则无限远点的留数计算方法lim f(=)±001Res f()=-Res[/(一)定理，则若→3.留数定理、留数和定理及其应用留数定理设函数()在区域D内除有限个孤立奇点"1,2，,n外处处解析，C为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则()d==2mZRes[(),=]-留数和定理设函数(2)在扩充复平面上除了=(k=1,2,,n)以及==以外处处解析，则Res f(=)+ Res f(o0)= 0计算三种类型的实变量积分：f" R(cos0,sing)do(i)Jor Pea d xO(x)，分母比分子至少高两阶：(ii)J f(x)e dx,(a>0)lim f(x)→0(iii)分式多项式即分母比分子至少高一阶解题思路：tan元zdz（n为正整数），例：计算积分。sin元zz, =k+(k =0,±1,±2,...)tan元z2COS元以【解】为一阶极点，故得sinz1Res[tan z].(cOS元z)元于是由留数定理得2ntan元zdz=2元i Res[tan元z]. =2元i(=-4n元FKncos2edeI =(0<p<1)Jo1-2pcoso+p2的值.2:求
有限值且不为 0），则 为 的 阶极点； 2．留数的定义、计算方法 留数定义：设 为函数 的孤立奇点，那么 在 处的留数 其中 为去心邻域 内任意一条绕 的正向简单闭曲线. 有限远点留数的计算方法： （1）用定义计算留数. 即求出罗朗展开式中负幂项 的系数或计 算积分 .这是求留数的基本方法. （2）若 为函数 的可去奇点，则 . （3）若 为 的一阶极点，则 . 无限远点的留数计算方法 定理 若 ，则 3．留数定理、留数和定理及其应用 留数定理 设函数 在区域 内除有限个孤立奇点 外处处解析， 为 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则 . 留数和定理 设函数 在扩充复平面上除了 以及 以外处处解析， 则 计算三种类型的实变量积分： （i） ； （ii） ，分母比分子至少高两阶； （iii） ，分式多项式 ，即分母比分子至少高一阶. 解题思路： 例： 计算积分 （ 为正整数）. 【解】 以 为一阶极点，故得 于是由留数定理得 2：求 的值. 0 z f z( ) m 0 z f z( ) f z( ) 0 z 0 1 1 Res[ ( ), ] ( )d 2πi C f z z c f z z = = − C 0 0 − z z z 1 0 ( ) z z − − 1 ( )d 2πi C f z z 0 z f z( ) Res[ ( ), ] 0 0 f z z = 0 z f (z) 0 Res[ ( ), ] lim( ) ( ) 0 0 z z f z z z z f z → = − lim ( ) 0 z f z → 2 1 1 Res ( ) Res[ ( ) ,0] f f z z = − f z( ) D n z ,z , ,z 1 2 C D 1 ( )d 2πi Res[ ( ), ] n k C k f z z f z z = = f (z) ( 1,2, , ), k z k n = z = 1 Res ( ) Res ( ) 0 n k k f z f = + = 2 0 R(cos ,sin )d ( ) d ( ) P x x Q x + − i ( ) d ,( 0) a x f x e x a + − lim ( ) 0 x f x → → | | tan π d z n z z = n sin π tan π cos π z z z = 1 ( 0, 1, 2, ) 2 k z k k = + = 1 2 sin π 1 Res[tan π ] (cos π ) π k k z z k z z z = + = = − k | | 2 tan π d 2πi Res[tan π ] 2πi( ) 4 i π k z z n z n n z z z n = − = = = − 2π 2 0 cos 2 d (0 1) 1 2 cos I p p p = − +
2iocOs2072 + 2-2ie【解】令z=eio2n，由于，因此2+21d=024 +1I=ddz2≥+2~1iz ==1 2iz2(1- pz)(2 - p)+p31-2p22* +1f(a)=2i-2(1- pz)(z- p)设内函数(-)有二个极点==0,2=P，其中z=0为二阶极点，在积分区域z=P为一阶极点，而d(2 (a)]Res[f(z),0|=lim0dz(z-pz -p+p2z).4=3 -(1+=*)(1-2pz+p2)= lim2i(=- pz2-p+ p*2)=_1+p?2ip?1+ p4Res[f(=), p] = lim[(=- p) f(=)] =2ip(1-p)因此I = 2元i (Res[f(=),0] + Res[f(=), p])1+ p41+p2=2元i2ip22ip(1-p)2元p21- p2重点难点第六章保角映射重点：复习导数解析函数的几何意义，了解保角映射的概念；掌握分式线性映射的保角性、保圆周性和保对称性；熟练掌握利用分式线性映射求一些简单区域（半平面、圆、二圆弧所围区域、角形域）之间的保角映射掌握幂函数、指数函数以及它们的复合函数所构成的映射：掌握给定三对对应点决定分式线性映射的方法难点：学会利用复变函数（特别是解析函数）所构成的映射来实现复杂区域的简单化特色：计算机仿真绘出等值线图形和其他曲线图形.本章知识点摘要：1．保角映射保角映射：具有保角性且伸缩率不变性的映射.定理若函数"=f(=)在区域D内解析，且对任意的ED，有(=)*0，则"=(=)必是D内的一个保角映射，2.分式线性映射
【解】 令 ，由于 ，因此 设 在积分区域 内函数 有二个极点 ，其中 为二阶极点， 为一阶极点，而 因此 重点难点 第六章 保角映射 重点：复习导数解析函数的几何意义，了解保角映射的概念； 掌握分式线性映射的保角性、保圆周性和保对称性； 熟练掌握利用分式线性映射求一些简单区域（半平面、圆、二圆弧所围区域、角形域）之间 的保角映射． 掌握幂函数、指数函数以及它们的复合函数所构成的映射； 掌握给定三对对应点决定分式线性映射的方法． 难点：学会利用复变函数（特别是解析函数）所构成的映射来实现复杂区域的简单化 特色：计算机仿真绘出等值线图形和其他曲线图形． 本章知识点摘要： 1．保角映射 保角映射：具有保角性且伸缩率不变性的映射． 定理 若函数 在区域 内解析，且对任意的 ，有 ，则 必是 内的一个保角映射． 2．分式线性映射 i z e = 1 1 2i 2i 2 2 cos 2 ( ) ( ) 2 2 e e z z − − = + = + 2 2 4 1 2 | | 1 | | 1 2 1 d 1 d 2 i 2i (1 )( ) 1 2 2 z z z z z z I z z z z z pz z p p p − − = = + + = = + − − − + 4 2 1 ( ) 2i (1 )( ) z f z z pz z p + = − − z =1 f (z) z = 0, z = p z = 0 z = p 2 0 2 2 3 4 2) 2 2 2 0 d Res[ ( ),0] lim [ ( )] d ( ) 4 (1 )(1 2 lim 2i( ) z z f z z f z z z pz p p z z z pz p z pz p p z → → = − − + − + − + = − − + 2 2 1 2i p p + = − 4 2 2 1 Res[ ( ), ] lim[( ) ( )] 2i (1 ) z p p f z p z p f z → p p + = − = − 2 4 2 2 2 2 2 2πi Res[ ( ),0] Res[ ( ), ] 1 1 2πi 2i 2i (1 ) 2π 1 I f z f z p p p p p p p p = + + + = − + − = − w = f z( ) D 0 z D 0 f z ( ) 0 w = f z( ) D