二、幂级数及其收敛性 今幂级数 在函数项级数中,形如 an+a1X+a2x2+.·+axn+ 的级数称为幂级数,其中常数a(=1,2…)叫做幂级数的系数 幂级数举例 幂级数 1+x+x2+x3+·+xn+ 是公比为x的几何级数它在kxk<1时收敛,在1时发散 因此它的收敛域为(-1,1),在收敛域内有 1=1+x+x2+x3+…+xn+… 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 幂级数 1+x+x 2+x 3+ +x n+ 是公比为x的几何级数 因此它的收敛域为(−1 1) 1 1 1 2 3 = + + + + + + − n x x x x x 它在|x|1时收敛 在|x|1时发散 在收敛域内有 下页 二、幂级数及其收敛性 在函数项级数中 形如 a0+a1 x+a2 x 2+ +an x n+ 的级数称为幂级数 其中常数ai (i=1,2, )叫做幂级数的系数 ❖幂级数 幂级数举例:
令定理1(阿贝尔定理) 如果幂级数∑anx当x=x(xx=0)时收敛,则适合不等式 xKkx的一切x使幂级数∑anx绝对收敛 反之,如果幂级数∑a当x=x0时发散,则适合不等式 x>k的一切x使幂级数∑ax发散.> appro karol parol ro o 注 ∑anx是幂级数∑anx怕简记形式 0 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果幂级数∑an x n当x=x0 (x00)时收敛 则适合不等式 |x|<|x0 |的一切x使幂级数∑an x n绝对收敛 反之 如果幂级数∑an x n当x=x0时发散 则适合不等式 |x|>|x0 |的一切x使幂级数∑an x n发散 注: ∑an x n是幂级数 的简记形式 n=0 n n a x 下页 |x|<|x0 |x|>|x | 0 | |x|>|x0 | ❖定理1(阿贝尔定理) >>>定理证明