KT(s+=) Y(s)= s(s+P,(s2+250ts+0t2) 式中mg叶2，而q为闭环实极点的个数，r为闭环共轭复数极点的对数。 用部分分式展开得 S2+250n45+0 对上式取反拉氏变换得： y(=Ao+e+Bxe-coso (3-24 +∑Ckesin1-571 (120) 由上式分析可知，高阶系统的暂态响应是一阶惯性环节和二阶振荡响应分量的合成。系统的 响应不仅和Sk、ok有关，还和闭环零点及系数A、B、C的大小有关。这些系数的大小 和闭环系统的所有的极点和零点有关，所以单位阶跃响应取决于高阶系统闭环零极点的分布 情况。从分析高阶系统单位阶跃响应表达式可以得到如下结论： 1.高阶系统暂态响应各分量衰减的快慢由一P,和5、决定，即由闭环极点在s 平面左半边离虚轴的距离决定。闭环极点离虚轴越远，相应的指数分量衰减的越快，对系统 暂态分量的影响越小：反之，闭环极点离虚轴越近，相应的指数分量衰减的越慢，系统暂态 分量的影响越大。 2.高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极点在s平面的位置有关，还与零点的位置 有关。如果某一极点一P,靠近一个闭环零点，又远离原点及其他极点，则相应项的系数A 比较小，该暂态分量的影响也就越小。如果极点和零点靠得很近，则该零极点对暂态响应几 乎没有影响。 3.如果所有的闭环极点都具有负实部，由式(3-24)可知，随着时间的推移，系统的 暂态分量不断的衰减，最后只剩下由极点所决定的稳态分量。此时的系统称为稳定系统。稳 定性是系统正常工作的首要条件，下一节将详细探讨系统的稳定性。 4.假如高阶系统中距虚轴最近的极点的乳 部绝对值仅为其他极点的1/5或更小，并且 附近又没有闭环零点，则可以认为系统的响应主要由该极点（或共轭复数极点）来决定。这 种对高阶系统起主导作用的极点，称为系统的主导极点。因为在通常的情况下，总是希望高 阶系统的暂态响应能获得衰减震荡的过程，所以主导极点常常是共轭复数极点。找到一对共 轭复数主导极点后，高阶系统就可近似为二阶系统米分析，相应的暂态响应性能指标可以根 据二阶系统的计算公式进行近似估算。 3.5线性系统的稳定性 一、系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件 一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须是稳定的。所谓稳定性，是指系统受到
29 r k k nk nk q j j m i i s s p s s K s z Y s 1 2 2 1 1 ( ) ( 2 ) ( ) ( ) 式中 n=q+2r，而 q 为闭环实极点的个数，r 为闭环共轭复数极点的对数。 用部分分式展开得 − r k 1 2 2 2 q j 1 j 0 2 ( ) 1 s s p Y(s) k nk nk j K k nk k nk k s s A A B s C 对上式取反拉氏变换得： sin 1 ( 0) y(t) A cos 1 1 2 r k 1 2 q j 1 0 − − − − − C e t t A e B e t r k nk k t K nk k t K p t j k n k j k n k 由上式分析可知，高阶系统的暂态响应是一阶惯性环节和二阶振荡响应分量的合成。系统的 响应不仅和 k 、nk 有关，还和闭环零点及系数 Aj、Bk、Ck 的大小有关。这些系数的大小 和闭环系统的所有的极点和零点有关，所以单位阶跃响应取决于高阶系统闭环零极点的分布 情况。从分析高阶系统单位阶跃响应表达式可以得到如下结论： 1. 高阶系统暂态响应各分量衰减的快慢由− p j 和 k 、nk 决定，即由闭环极点在 s 平面左半边离虚轴的距离决定。闭环极点离虚轴越远，相应的指数分量衰减的越快，对系统 暂态分量的影响越小；反之，闭环极点离虚轴越近，相应的指数分量衰减的越慢，系统暂态 分量的影响越大。 2．高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极点在 s 平面的位置有关，还与零点的位置 有关。如果某一极点 − p j 靠近一个闭环零点，又远离原点及其他极点，则相应项的系数 Aj 比较小，该暂态分量的影响也就越小。如果极点和零点靠得很近，则该零极点对暂态响应几 乎没有影响。 3． 如果所有的闭环极点都具有负实部，由式（3-24）可知，随着时间的推移，系统的 暂态分量不断的衰减，最后只剩下由极点所决定的稳态分量。此时的系统称为稳定系统。稳 定性是系统正常工作的首要条件，下一节将详细探讨系统的稳定性。 4． 假如高阶系统中距虚轴最近的极点的实部绝对值仅为其他极点的 1/5 或更小，并且 附近又没有闭环零点，则可以认为系统的响应主要由该极点（或共轭复数极点）来决定。这 种对高阶系统起主导作用的极点，称为系统的主导极点。因为在通常的情况下，总是希望高 阶系统的暂态响应能获得衰减震荡的过程，所以主导极点常常是共轭复数极点。找到一对共 轭复数主导极点后，高阶系统就可近似为二阶系统来分析，相应的暂态响应性能指标可以根 据二阶系统的计算公式进行近似估算。 3.5 线性系统的稳定性 一、系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件 一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须是稳定的。所谓稳定性，是指系统受到 （3-24）
扰动作用后偏离原来的平衡状态，在扰动作用消失后，经过一段过度时间能否回复到原来的 平衡状态或足够准确地回到原来的平衡状态的性能。若系统能恢复到原来的平衡状态，则称 系统是稳定的：若扰动消失后系统不能恢复到原来的平衡状态，则称系统是不稳定的 线性系统的稳定性取决于系统本身固有的特性，而与扰动信号无关。它决定于扰动取消 后暂态分量的衰减与否，从上节暂态特性分析中可以看出，暂态分量的衰减与否，决定于系 统闭环传递函数的极点（系统的特征根）在s平面的分布：如果所有极点都分布在s平面的 左侧，系统的暂态分量将逐渐衰减为零，则系统是稳定的：如果有共轭极点分布在s平面的 虚轴上，则系统的暂态分量做 等幅振荡 东统 定状态：如果有闭环极点分布在 平面的右侧，系统具有发散的暂态分量，则系统是不稳定的。所以，线性系统稳定的充分必 要条件是：系统特征方程式所有的根（即闭环传递函数的极点）全部为负实数或为具有负实 部的共轭复数，也就是所有的极点分布在s平面虚轴的左侧。 因此，可以根据求解特征方程式的根来判断系统稳定与否。例如，一阶系统的特征方程 式为 aos+a=0 特征方程式的根为 s、 a 显然特征方程式根为负的充分必要条件是a,a,均为正值，即 a>0,a41>0 (3-253) 二阶系统的特征方程式为 as2+a3+a2=0 特征方程式的为 品2受 要使系统稳定，特征方程式的根必须有负实部。因此二阶系统稳定的充分必要条件是： a>0,4>0,a>0 (3-26) 由于求解高阶系统特征方程式的根很麻烦，所以对高阶系统一股都采用间接方法来判害 其稳定性。经常应用的间接方法是代数稳定判据（也称劳斯古尔维茨判据）、频率法稳定判 据（也称奈魁斯特判据）。本章只介绍代数判据，频率判据将在第五章中介绍。 :、劳斯判据 1887年，劳斯发表了研究线性定常系统稳定性的方法。该判据的具体内容和步骤如下。 1、首先列出系统特征方程式 aos"+as"+azs"-2+.+as+a=0 式中各个项系数均为实数，且使4>0。 2、根据特征方程式列出劳斯数组表 sh a。a2aa6 en-I a. as
30 扰动作用后偏离原来的平衡状态，在扰动作用消失后，经过一段过度时间能否回复到原来的 平衡状态或足够准确地回到原来的平衡状态的性能。若系统能恢复到原来的平衡状态，则称 系统是稳定的；若扰动消失后系统不能恢复到原来的平衡状态，则称系统是不稳定的。 线性系统的稳定性取决于系统本身固有的特性，而与扰动信号无关。它决定于扰动取消 后暂态分量的衰减与否，从上节暂态特性分析中可以看出，暂态分量的衰减与否，决定于系 统闭环传递函数的极点（系统的特征根）在 s 平面的分布：如果所有极点都分布在 s 平面的 左侧，系统的暂态分量将逐渐衰减为零，则系统是稳定的；如果有共轭极点分布在 s 平面的 虚轴上，则系统的暂态分量做等幅振荡，系统处于临界稳定状态；如果有闭环极点分布在 s 平面的右侧，系统具有发散的暂态分量，则系统是不稳定的。所以，线性系统稳定的充分必 要条件是：系统特征方程式所有的根（即闭环传递函数的极点）全部为负实数或为具有负实 部的共轭复数，也就是所有的极点分布在 s 平面虚轴的左侧。 因此，可以根据求解特征方程式的根来判断系统稳定与否。例如，一阶系统的特征方程 式为 a0 s a1 0 特征方程式的根为 1 0 a a s − 显然特征方程式根为负的充分必要条件是 0 1 a , a 均为正值，即 a0 0,a1 0 (3-25) 二阶系统的特征方程式为 1 2 0 2 a0 s a s a 特征方程式的为 0 2 2 0 1 0 1 1,2 ) 2 ( 2 a a a a a a s − − 要使系统稳定，特征方程式的根必须有负实部。因此二阶系统稳定的充分必要条件是： a0 0,a1 0,a2 0 (3-26) 由于求解高阶系统特征方程式的根很麻烦，所以对高阶系统一般都采用间接方法来判断 其稳定性。经常应用的间接方法是代数稳定判据（也称劳斯-古尔维茨判据）、频率法稳定判 据（也称奈魁斯特判据）。本章只介绍代数判据，频率判据将在第五章中介绍。 二、劳斯判据 1887 年，劳斯发表了研究线性定常系统稳定性的方法。该判据的具体内容和步骤如下。 1、首先列出系统特征方程式 1 0 2 2 1 0 1 − − − n n n n n a s a s a s a s a 式中各个项系数均为实数，且使 a0 0 。 2、根据特征方程式列出劳斯数组表 s n 0 a 2 a 4 a 6 a ··· s n-1 1 a 3 a 5 a 7 a ···