文登学校 q3=4成立,同样可找到正确选项(B) lL 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.267【例10.16】及习题十(第1l题) (10)设有三元方程xy-hy+e=1,根据隐函数存在定理,存在点(Q1,1)的一个 邻域,在此邻域内该方程 (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(xy) (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=(x (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,2)和z=2(xy) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,2)和y=y(x,z 【分析】本题考查隐函数存在定理,只需令F(xyz)=xy-zhy+e-1,分别求出 三个偏导数F,Fx,F,,再考虑在点(011)处哪个偏导数不为0,则可确定相应的隐函数 【详解】令F(xy,z)=xy-hy+e-1,则 Fr In y+ 且F'(O,1,1)=2,Fy(0,11)=-1,F2(011)=0.由此可确定相应的隐函数x=x(yz)和 y=y(x,z).故应选(D) 【评注】隐函数存在定理是首次直接考查,有部分考生感到较生疏.实际上本题也可从 隐函数求偏导公式着手分析:若偏导表达式有意义,相应偏导数也就存在 定理公式见《数学复习指南》(理工类)P270 (11)设入,2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a1,a2,则a1, A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是 (A)A1≠0.(B)A2≠0.(C)A1=0.(D)A=0 B 【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性,可用定义或转化为求其秩即可 【详解】方法一:令ka1+k24(a1+a2)=0,则 ka1+k241a1+k22a2=0,(k1+k2A1)1+k22a2=0 由于ax1,a2线性无关,于是有 k+k2=0 k2l2=0
文登学校 6 2 2 2 2 y u x u = 成立，同样可找到正确选项(B). 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.267【例 10.16】及习题十（第 11 题） （10）设有三元方程 − ln + =1 xz xy z y e ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个 邻域，在此邻域内该方程 (A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x,y). (B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y,z)和 z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x,z)和 z=z(x,y). (D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y,z)和 y=y(x,z). [ D ] 【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令 F(x,y,z)= − ln + −1 xz xy z y e , 分别求出 三个偏导数 Fz Fx Fy , , ，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为 0，则可确定相应的隐函数. 【详解】 令 F(x,y,z)= − ln + −1 xz xy z y e , 则 F y e z xz x = + ， y z F x y = − ， F y e x xz z = −ln + ， 且 Fx (0,1,1) = 2， Fy (0,1,1) = −1， F z (0,1,1) = 0 . 由此可确定相应的隐函数 x=x(y,z)和 y=y(x,z). 故应选(D). 【评注】隐函数存在定理是首次直接考查，有部分考生感到较生疏. 实际上本题也可从 隐函数求偏导公式着手分析：若偏导表达式有意义，相应偏导数也就存在. 定理公式见《数学复习指南》（理工类）P.270 （11）设 1 2 , 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 2 , ，则 1， ( ) A 1 +2 线性无关的充分必要条件是 (A) 1 0 . (B) 2 0 . (C) 1 = 0 . (D) 2 = 0 . [ B ] 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 k11 + k2A(1 +2 ) = 0 ，则 k11 + k211 + k222 = 0， (k1 + k21 )1 + k222 = 0 . 由于 1 2 , 线性无关，于是有 = + = 0. 0, 2 2 1 2 1 k k k
文登学校 当入2≠0时,显然有k1=0,k2=0,此时a1,A(a1+a2)线性无关;反过来, 若a1,A(a1+a2)线性无关,则必然有2≠0(否则,a1与Aa1+a2)=1a1线性相关, 故应选(B) 方法二:由于[a1,A(a1+a2)=[a141a1+a2]=[a1a2 02 可见a1,a1+a2)线性无关的充要条件是3/ /2≠0.故应选(B) 【评注】本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P407【例317】 (12)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,A,B分 别为AB的伴随矩阵,则 (A)交换A的第1列与第2列得B’.(B)交换A'的第1行与第2行得B (C)交换A^的第1列与第2列得一B.(D)交换A的第1行与第2行得-B 【分析】本题考査初等变换的概念与初等矩阵的性质,只需利用初等变换与初等矩阵 的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可 【详解】由题设,存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得),使 得E2A=B,于是B'=(E14)=AEn=AE2E12=-AE2,即 AE ,可见应选(C 【评注】注意伴随矩阵的运算性质: AA=AA=4E,当A可逆时,了=4A (AB)=B A 完全类似例题及性质见《数学复习指南》(理工类)P381【例214,例2.29】 (13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 0.4 已知随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,则 (A)a=0.2,b=0.3 (B)a=0.4,b=0.1 7
文登学校 7 当 2 0 时，显然有 k1 = 0,k2 = 0 ，此时 1， ( ) A 1 +2 线性无关；反过来， 若 1， ( ) A 1 +2 线性无关，则必然有 2 0 (,否则， 1 与 ( ) A 1 +2 = 11 线性相关)， 故应选(B). 方法二： 由于 + = + = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 0 1 [ , ( )] [ , ] [ , ] A ， 可见 1， ( ) A 1 +2 线性无关的充要条件是 0. 0 1 2 2 1 = 故应选(B). 【评注】 本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.407【例 3.17】 （12）设 A 为 n（ n 2 ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, * * A ,B 分 别为 A,B 的伴随矩阵，则 (A) 交换 * A 的第 1 列与第 2 列得 * B . (B) 交换 * A 的第 1 行与第 2 行得 * B . (C) 交换 * A 的第 1 列与第 2 列得 * − B . (D) 交换 * A 的第 1 行与第 2 行得 * − B . [ C ] 【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵 的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可. 【详解】 由题设，存在初等矩阵 E12 （交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得），使 得 E12A = B ，于是 12 1 * 12 12 * 12 * * * 12 * B = (E A) = A E = A E E = −A E − ，即 * 12 * A E = −B ,可见应选(C). 【评注】 注意伴随矩阵的运算性质： AA = A A = AE * * ，当 A 可逆时， , * −1 A = A A * * * (AB) = B A . 完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.381【例 2.14，例 2.29】 （13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 {X = 0} 与 {X + Y = 1} 相互独立，则 (A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1