+3 2x,-2x1=0 2x+4x,-5x1=0 2x,+x2+5x 4 将第2个方程乘(-2)加到第3,4个方程上 x+2x,-2x,=0 0 3x2+9x1=3 6 2021/2/20
2021/2/20 6 将第2个方程乘(−2)加到第3,4个方程上 1 2 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 1 2 2 0 2 4 5 0 2 5 3 x x x x x x x x x x x x − + = − + − = + − = + + = 1 2 4 2 3 4 4 3 4 3 1 2 2 0 0 3 9 3 x x x x x x x x x − + = − + − = − = − + =
+3x,=-1 2+2x3-2x4=0 =0 3x2+9x,=3 再将第3,4方程乘(-1)、(-13),并交换位置 +3x1=-1 +2x,-2x,=0 3x=-1 0 7 2021/2/20
2021/2/20 7 再将第3,4方程乘(−1),(−1/3),并交换位置 1 2 4 2 3 4 4 3 4 3 1 2 2 0 0 3 9 3 x x x x x x x x x − + = − + − = − = − + = 1 2 4 2 3 4 3 4 4 3 1 2 2 0 3 1 0 x x x x x x x x x − + = − + − = − = − =
+3x +2x,-2 4 0 (22 X4 4 0 由(22)易知x=0,将其代入第3方程得x3=-1, 回代前两个方程,分别得x2-2,x1-1.所以(1,2, 1,0)是原方程组(2.1)的解. 形如(2)方程组称为阶梯形线性方程组 8 2021/2/20
2021/2/20 8 由(2.2)易知x4=0, 将其代入第3方程得x3=−1,再 回代前两个方程, 分别得x2=2, x1=1. 所以(1,2,− 1,0)是原方程组(2.1)的解. 形如(2.2)的方程组称为阶梯形线性方程组. 1 2 4 2 3 4 3 4 4 3 1 2 2 0 (2.2) 3 1 0 x x x x x x x x x − + = − + − = − = − =
X1 +6 2x1-x2+2x3+4x4=-2 (2.1) 3x1-x2+4x2+4x1=-3 5x,-3x+x,+20x=-2 将结果(1,2,-1,0)回代到方程(2)中验算 2×1-2×2 +6×0=-2 2×1-2+2×(-1)+4×0=-2 3×1-2+4×(-1)+4×0=-3 5×1-3×2+(-1)+20×0=-2 9 2021/2/20
2021/2/20 9 将结果(1,2,−1,0)回代到方程(2.1)中验算: 2 1 2 2 6 0 2 2 1 2 2 ( 1) 4 0 2 3 1 2 4 ( 1) 4 0 3 5 1 3 2 ( 1) 20 0 2 − + = − − + − + = − − + − + = − − + − + = − 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 6 2 2 2 4 2 (2.1) 3 4 4 3 5 3 20 2 x x x x x x x x x x x x x x x − + = − − + + = − − + + = − − + + = −
从上述解题过程可以看出,用高斯消元法解线 性方程组的具体做法是对方程组反复施行下 列三种变换: 用一个非零常数乘某一个方程,简称倍乘初等 变换; 把某个方程乘以常数再加到另一个方程上,简 称为倍加初等变换; 互换两个方程的位置,简称为互换初等变换 这三种变换称为方程组的初等变换.可证明方 程组经初等变换后得到的方程组是原方程组 的同解方程组任何一个方程组都可经上述初 等变换化成容易求解的同解阶梯形方程组、10
2021/2/20 10 从上述解题过程可以看出, 用高斯消元法解线 性方程组的具体做法是对方程组反复施行下 列三种变换: 用一个非零常数乘某一个方程, 简称倍乘初等 变换; 把某个方程乘以常数再加到另一个方程上, 简 称为倍加初等变换; 互换两个方程的位置, 简称为互换初等变换. 这三种变换称为方程组的初等变换. 可证明方 程组经初等变换后得到的方程组是原方程组 的同解方程组.任何一个方程组都可经上述初 等变换化成容易求解的同解阶梯形方程组