第九章函数逼近 故而，im(n+gn)=limf+im9n成立 类似地，可以证明1im从n=入ima和ma=‖，ml成立 下面设X是赋范线性空间，M是X的非空子集，我们希望从M中选取元素逼近 X中的元素，M称为X的一个逼近集合 定义9.3对于x∈X,如果有元素m∈M使得 ll -m'll=inf ll-mll d(t.M), 则称m'为子集M逼近x的最佳逼近元，记为m'∈B(x),其中 Bw(e)≌m∈M:lx-m=d(x,M) 表示由M逼近x的最佳逼近元构成的集合，用#B(z)表示最佳逼近元的个数 有了最佳逼近元的定义之后，自然地会产生以下问题： (1)存在性，即是否有#BM(x)≥1； (2)唯一性，即是否有#BM(x)≤1 (3)最佳逼近元应具有什么特征 (4)最佳逼近元的构造及其应用. 定义9.4X的一个子集M称为列紧的，如果M中的每个点列都有一个收敛于 M中一点的子序列. 定理9.2设M是X的列紧子集，则对于任意的x∈X,存在最佳逼近元m*∈M 证明若x∈M,显然x=m*∈Bw(x).下设x∈XM,由于 d(,M)inf lle -mll, 故存在mn∈M使得lim ll-mn‖=d(x,M).利用M的列紧性，存在{mn}的子序 列{m}使得 lim mnk=m'∈M 成立.又因范数的三角不等式，可知 lz-m*l≤z-mmk‖+lmns-m'l:
4 第九章 函数逼近 故而 lim n→∞ (fn + gn) = lim n→∞ fn + lim n→∞ gn 成立. 类似地, 可以证明 lim n→∞ λfn = λ lim n→∞ fn 和 lim n→∞ ∥fn∥ = ∥ lim n→∞ fn∥ 成立. 下面设 X 是赋范线性空间, M 是 X 的非空子集, 我们希望从 M 中选取元素逼近 X 中的元素, M 称为 X 的一个逼近集合. 定义 9.3 对于 x ∈ X, 如果有元素 m∗ ∈ M 使得 ∥x − m∗ ∥ = inf m∈M ∥x − m∥ , d(x, M), 则称 m∗ 为子集 M 逼近 x 的最佳逼近元, 记为 m∗ ∈ BM(x), 其中 BM(x) , { m ∈ M : ∥x − m∥ = d(x, M) } 表示由 M 逼近 x 的最佳逼近元构成的集合, 用 #BM(x) 表示最佳逼近元的个数. 有了最佳逼近元的定义之后, 自然地会产生以下问题: (1) 存在性, 即是否有 #BM(x) > 1; (2) 唯一性, 即是否有 #BM(x) 6 1; (3) 最佳逼近元应具有什么特征; (4) 最佳逼近元的构造及其应用. 定义 9.4 X 的一个子集 M 称为列紧的, 如果 M 中的每个点列都有一个收敛于 M 中一点的子序列. 定理 9.2 设 M 是 X 的列紧子集, 则对于任意的 x ∈ X, 存在最佳逼近元 m∗ ∈ M. 证明 若 x ∈ M, 显然 x = m∗ ∈ BM(x). 下设 x ∈ X\M, 由于 d(x, M) = inf m∈M ∥x − m∥, 故存在 mn ∈ M 使得 lim n→∞ ∥x − mn∥ = d(x, M). 利用 M 的列紧性, 存在 {mn} 的子序 列 {mnk } 使得 lim k→∞ mnk = m∗ ∈ M 成立. 又因范数的三角不等式, 可知 ∥x − m∗ ∥ 6 ∥x − mnk ∥ + ∥mnk − m∗ ∥.
9.1逼近问题的描述 上述不等式两边取极限，有x-m‖≤d(x,M).另一方面，m∈M有lz-m‖≥ d(x,M).因此，存在m°∈M使得川x-m‖=d(z,成立. 0 推论9.3若M是X的线性子空间，且dim()<+oo,则对任意的x∈X,存在 最佳逼近元m*∈M. 证明下面先证明X的任意有限维有界闭子集F是紧集.因F是X的有限维线性 子空间，故存在一个线性无关集{1,2，，fn,使得每个∫∈F都可唯一的表示成 f=f+λ2f2+…+入fn,入=(1，入2，…，入n)T∈Rm. 因此，定义映射T:R”+F,T(A)=∫.记集合N={A∈R”:T()∈F,则F可视 为N在映射T下的像，且不难看出T在R”的‖I~范数下是连续映射， 设N中任意收敛的序列，！im入a=X,则 T()=T(im A)=lim T(A). 因F是闭集，故T(A)∈F.据N的定义，知∈N.因此，N是闭集. 记集合S={入∈R”:lx=1,显然S是一个紧集，且T在S上连续.因此， IT()训的下确界a在S上能取到.由于五，2，·，n是线性无关的，从而a>0.对 于任意的（≠0）∈N,则有 IT(A)川=T(/川AI✉)川·IAI。≥alIe 因川T(A)川在F上有界，故IA在N上有界. 综上，N是R”的有界闭集，故是一个紧集.又因为F是N在连续映射下的像，所 以F也是一个紧集 记集合K={m∈M:m-x≤‖z},显然0∈K,故集合K非空.容易看出 K是X的一个有限维的有界闭子集，利用前面的结论可知K是一个紧集.考虑函数 f:K→R f(m)=lm-xl,m∈K, 由引理9.1知f(m)是K上的连续函数.因此，f(m)在紧集K上可以取到最小值，即存 在m*∈M使得x-m*‖=d(x,M)成立. 上述定理及推论回答了一般赋泛线性空间最佳逼近元的存在性问题
9.1 逼近问题的描述 5 上述不等式两边取极限, 有 ∥x − m∗∥ 6 d(x, M). 另一方面, m∗ ∈ M 有 ∥x − m∗∥ > d(x, M). 因此, 存在 m∗ ∈ M 使得 ∥x − m∗∥ = d(x, M) 成立. 推论 9.3 若 M 是 X 的线性子空间, 且 dim(M) < +∞, 则对任意的 x ∈ X, 存在 最佳逼近元 m∗ ∈ M. 证明 下面先证明 X 的任意有限维有界闭子集 F 是紧集. 因 F 是 X 的有限维线性 子空间, 故存在一个线性无关集 {f1, f2, . . . , fn}, 使得每个 f ∈ F 都可唯一的表示成 f = λ1f1 + λ2f2 + · · · + λnfn, λ = (λ1, λ2, · · · , λn) T ∈ R n . 因此, 定义映射 T : R n 7→ F, T(λ) = f. 记集合 N = {λ ∈ R n : T(λ) ∈ F}, 则 F 可视 为 N 在映射 T 下的像, 且不难看出 T 在 R n 的 ∥ · ∥∞ 范数下是连续映射. 设 N 中任意收敛的序列 lim n→∞ λn = λ ∗ , 则 T(λ ∗ ) = T( lim n→∞ λn) = lim n→∞ T(λn). 因 F 是闭集, 故 T(λ ∗ ) ∈ F. 据 N 的定义, 知 λ ∗ ∈ N. 因此, N 是闭集. 记集合 S = {λ ∈ R n : ∥λ∥∞ = 1}, 显然 S 是一个紧集, 且 T 在 S 上连续. 因此, ∥T(λ)∥ 的下确界 α 在 S 上能取到. 由于 f1, f2, · · · , fn 是线性无关的, 从而 α > 0. 对 于任意的 λ(̸= 0) ∈ N, 则有 ∥T(λ)∥ = ∥T(λ/∥λ∥∞)∥ · ∥λ∥∞ > α∥λ∥∞. 因 ∥T(λ)∥ 在 F 上有界, 故 ∥λ∥∞ 在 N 上有界. 综上, N 是 R n 的有界闭集, 故是一个紧集. 又因为 F 是 N 在连续映射下的像, 所 以 F 也是一个紧集. 记集合 K = {m ∈ M : ∥m − x∥ 6 ∥x∥}, 显然 0 ∈ K, 故集合 K 非空. 容易看出, K 是 X 的一个有限维的有界闭子集, 利用前面的结论可知 K 是一个紧集. 考虑函数 f : K 7→ R, f(m) = ∥m − x∥, ∀m ∈ K, 由引理9.1知 f(m) 是 K 上的连续函数. 因此, f(m) 在紧集 K 上可以取到最小值, 即存 在 m∗ ∈ M 使得 ∥x − m∗∥ = d(x, M) 成立. 上述定理及推论回答了一般赋泛线性空间最佳逼近元的存在性问题.
6 第九章函数逼近 接下来，我们讨论唯一性问题.一般情况下，最佳逼近元是不唯一的.容易看出， Bw(x)=M∩B(x,d(x,M),其中B(z,d(x,M)表示以x为球心，半径为d(x,M)的 球.因此最佳逼近元的唯一性与M的性质及X中单位球的性质相关 定义9.5设M是赋范线性空间X的非空子集，称M是凸集，如果对任意的 m1,m2∈M,t∈(0,1)，均有t*m1+(1-t)*m2∈M成立.进一步，若m1≠m2,均 有t*m1+(1-t)*m2∈M°成立(M°表示集合M的内部)，则称M是严格凸集. 容易验证赋范线性空间的闭球B(x,r）是凸集.在Rm和LP[a,司中，当1<p<o∞ 时，按范数‖·2定义的闭球B(x,r)是严格凸集；当p=1或p=o0时，B(红，r)是凸 集 定义9.6如果赋范线性空间X按某一范数I·‖的闭球B(x,r)是严格凸集，则称 该范数‖·‖是严格凸的. 几何上，严格凸意味者单位球在其球面上不含任何线段 定理9.4设M是X的列紧子集，且M是严格凸集，则对任意的x∈X,存在唯 的最佳逼近元m∈M. 证明存在性由定理9.3保证.下证唯一性.若d(x,)=0,则By(x)={x,命题成 立.不妨设d(x,M)>0,假若存在两个不同的元素m1,m2∈Bu(),则有 2m+m)-≤lm-+m-=d,M 因M是凸集，故m+m)∈M→m1+m)eBu().考虑集合 {Ae0,:5m1+m2)+-m1+m2】eM} 显然它存在上确界.又由M是列紧的，知入能取到最大值入.此时， 2m+mg)+邓-m+m-=1-刘az,M0. 因M是严格凸集，故(m1+m2)是M的内点，从而有入>0.利用上式，可知存在 m=m+m2)+e-m1+m】∈M, 使得m-xl<d(x,M),这与d(x,M)的最小性矛盾
6 第九章 函数逼近 接下来, 我们讨论唯一性问题. 一般情况下, 最佳逼近元是不唯一的. 容易看出, BM(x) = M ∩ B(x, d(x, M)), 其中 B(x, d(x, M)) 表示以 x 为球心, 半径为 d(x, M) 的 球. 因此最佳逼近元的唯一性与 M 的性质及 X 中单位球的性质相关. 定义 9.5 设 M 是赋范线性空间 X 的非空子集, 称 M 是凸集, 如果对任意的 m1, m2 ∈ M, t ∈ (0, 1), 均有 t ∗ m1 + (1 − t) ∗ m2 ∈ M 成立. 进一步, 若 m1 ̸= m2, 均 有 t ∗ m1 + (1 − t) ∗ m2 ∈ M◦ 成立 (M◦ 表示集合 M 的内部), 则称 M 是严格凸集. 容易验证赋范线性空间的闭球 B(x, r) 是凸集. 在 R n 和 L p [a, b] 中, 当 1 < p < ∞ 时, 按范数 ∥ · ∥p 定义的闭球 B(x, r) 是严格凸集; 当 p = 1 或 p = ∞ 时, B(x, r) 是凸 集. 定义 9.6 如果赋范线性空间 X 按某一范数 ∥ · ∥ 的闭球 B(x, r) 是严格凸集, 则称 该范数 ∥ · ∥ 是严格凸的. 几何上, 严格凸意味者单位球在其球面上不含任何线段. 定理 9.4 设 M 是 X 的列紧子集, 且 M 是严格凸集, 则对任意的 x ∈ X, 存在唯 一的最佳逼近元 m∗ ∈ M. 证明 存在性由定理9.3保证. 下证唯一性. 若 d(x, M) = 0, 则 BM(x) = {x}, 命题成 立. 不妨设 d(x, M) > 0, 假若存在两个不同的元素 m1, m2 ∈ BM(x), 则有 1 2 (m1 + m2) − x 6 1 2 m1 − x + 1 2 m2 − x = d(x, M). 因 M 是凸集, 故 1 2 (m1 + m2) ∈ M ⇒ 1 2 (m1 + m2) ∈ BM(x). 考虑集合 { λ ∈ [0, 1] : 1 2 (m1 + m2) + λ [ x − 1 2 (m1 + m2) ] ∈ M } , 显然它存在上确界. 又由 M 是列紧的, 知 λ 能取到最大值 λ¯. 此时, 1 2 (m1 + m2) + λ¯ [ x − 1 2 (m1 + m2) ] − x = (1 − λ¯)d(x, M). 因 M 是严格凸集, 故 1 2 (m1 + m2) 是 M 的内点, 从而有 λ >¯ 0. 利用上式, 可知存在 m¯ = 1 2 (m1 + m2) + λ¯ [ x − 1 2 (m1 + m2) ] ∈ M, 使得 ∥m¯ − x∥ < d(x, M), 这与 d(x, M) 的最小性矛盾.
92内积空间的最佳逼近 7 推论9.5若M是X的线性子空间，且dim(M)<+oo,X的范数‖·‖是严格凸 的，则对任意的x∈X,存在唯一的最佳逼近元m'∈M. 证明存在性由推论93保证.下证唯一性.若d(x,M)）=0,则B(x)={x,命题成 立.不妨设d(x,M)>0.用反证法.假设存在两个不同的元素m1,m2∈Bw(x),即 m1,m2∈B(x,d(x,M).因X按范数‖是严格凸的，故(m1+m)是B(x,d(红，M) 的内点.因此，有 m +m)-<dz,a). 因M是X的线性子空间，故m1+m2)∈M,这与d(红，M)的最小性矛盾 本节仅讨论了一般赋范线性空间最佳逼近元的存在唯一问题.关于其他的几个问 题，以后各节会逐一讨论.接下来，针对一些具有重要理论意义和应用背景的赋范线性 空间研究相应的最佳逼近问题. 9.2内积空间的最佳逼近 在线性代数中，我们学习过维的欧几里德空间，即装配了内积的有限维线性空 间，可以描述向量的长度、正交等几何性质.对于无穷维的线性空间，可以按相同的方 式引入内积的定义 定义9.7设集合V是实数域R上的线性空间，如果V中任意一对元素∫，g都按 某一法则对应一个实数，记作(f,g),并且满足下列条件 (1)对称性：(f,9=(g,f),∫，9∈V, (2)线性性：（∫+g,h)=A(f,h)+(g,),入，4∈R,f,9,h∈V; (3)正定性：（任，f)≥0，f∈V;(,f)=0÷f=0, 则称二元实函数(，)是线性空间V上的一个内积.定义了内积的线性空间V称为内 积空间. 例9.5在Rn空间中，任取一组标准正交基e1,e2,·,cm,则 (K,y)=x1班+2+…+xnn,次，y∈R”, 其中x=x1e1十x2e2十…十xnen,y=he十2e2+…+nen
9.2 内积空间的最佳逼近 7 推论 9.5 若 M 是 X 的线性子空间, 且 dim(M) < +∞, X 的范数 ∥ · ∥ 是严格凸 的, 则对任意的 x ∈ X, 存在唯一的最佳逼近元 m∗ ∈ M. 证明 存在性由推论9.3保证. 下证唯一性. 若 d(x, M) = 0, 则 BM(x) = {x}, 命题成 立. 不妨设 d(x, M) > 0. 用反证法. 假设存在两个不同的元素 m1, m2 ∈ BM(x), 即 m1, m2 ∈ B(x, d(x, M)). 因 X 按范数 ∥·∥ 是严格凸的, 故 1 2 (m1+m2) 是 B(x, d(x, M)) 的内点. 因此, 有 1 2 (m1 + m2) − x < d(x, M). 因 M 是 X 的线性子空间, 故 1 2 (m1 + m2) ∈ M, 这与 d(x, M) 的最小性矛盾. 本节仅讨论了一般赋范线性空间最佳逼近元的存在唯一问题. 关于其他的几个问 题, 以后各节会逐一讨论. 接下来, 针对一些具有重要理论意义和应用背景的赋范线性 空间研究相应的最佳逼近问题. 9.2 内积空间的最佳逼近 在线性代数中, 我们学习过 n 维的欧几里德空间, 即装配了内积的有限维线性空 间, 可以描述向量的长度、正交等几何性质. 对于无穷维的线性空间, 可以按相同的方 式引入内积的定义. 定义 9.7 设集合 V 是实数域 R 上的线性空间, 如果 V 中任意一对元素 f, g 都按 某一法则对应一个实数, 记作 (f, g), 并且满足下列条件: (1) 对称性: (f, g) = (g, f), ∀f, g ∈ V ; (2) 线性性: (λf + µg, h) = λ(f, h) + µ(g, h), ∀λ, µ ∈ R, ∀f, g, h ∈ V ; (3) 正定性: (f, f) > 0, ∀f ∈ V ; (f, f) = 0 ⇔ f = 0, 则称二元实函数 (·, ·) 是线性空间 V 上的一个内积. 定义了内积的线性空间 V 称为内 积空间. 例 9.5 在 R n 空间中, 任取一组标准正交基 e1, e2, · · · , en, 则 (x, y) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn, ∀x, y ∈ R n , 其中 x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen, y = y1e1 + y2e2 + · · · + ynen.
6 第九章函数逼近 例9.6在L2[a,6空间中，定义 ()f()g()dz,a, (9.2) 易验证(，)满足条件(1)~(3).因此，L2[a,)按(，)构成一内积空间 命题9.6(Cauchy-Schwarz不等式)设V是内积空间，则有 If,gl≤Vf,f)(g,g),f,9∈V. 证明设人，g∈V,因V是线性空间，故Af+g∈V(A∈R).利用内积的正定性，知 (J+9,λf+g)≥0→2(f,f)+2(f,9)+(g,9)≥0. 因上式对任意的入∈R成立，故由二次函数的性质知： 4(f,g2-4(f,f)·(g,9）≤0→1(f,9川≤Vf,f)·(g,9. 由于∫，9是任取的，故命题成立 若在内积空间V中定义 IfI=f,f),f∈V, 则有 If+g2=(f+9,f+g)=(,f)+2(f,9)+(g,g ≤(，f)+2Vf,f)·(99)+(g,9)=(lf川+lg)2 即f+g≤f川+Ig.易验证，‖·‖构成V的一个范数，称‖·‖是内积诱导的范数 与一般的赋范线性空间不同，内积空间具有很好的几何性质. 命题9.7（平行四边形等式）设V是内积空间，则有 f+g2+f-g2=2(f2+Ig2). 证明设f,g∈V,因V是线性空间，故∫+g,f-9∈V.经简单计算知 U+g2=(f+9,f+g)=(5,f)+2,9)+(g,9, If-gl2=(f-9,f-9)=(,f)-2(f,9)+(g,9):
8 第九章 函数逼近 例 9.6 在 L 2 [a, b] 空间中, 定义 (f, g) = ∫ b a f(x)g(x) dx, ∀f, g ∈ L 2 [a, b]. (9.2) 易验证 (·, ·) 满足条件 (1) ∼ (3). 因此, L 2 [a, b] 按 (·, ·) 构成一内积空间. 命题 9.6 (Cauchy-Schwarz 不等式) 设 V 是内积空间, 则有 |(f, g)| 6 √ (f, f) · (g, g), ∀f, g ∈ V. 证明 设 f, g ∈ V , 因 V 是线性空间, 故 λf + g ∈ V (λ ∈ R). 利用内积的正定性, 知 (λf + g, λf + g) > 0 ⇐⇒ λ 2 (f, f) + 2λ(f, g) + (g, g) > 0. 因上式对任意的 λ ∈ R 成立, 故由二次函数的性质知: 4(f, g) 2 − 4(f, f) · (g, g) 6 0 =⇒ |(f, g)| 6 √ (f, f) · (g, g). 由于 f, g 是任取的, 故命题成立. 若在内积空间 V 中定义 ∥f∥ = √ (f, f), ∀f ∈ V, 则有 ∥f + g∥ 2 = (f + g, f + g) = (f, f) + 2(f, g) + (g, g) 6 (f, f) + 2√ (f, f) · (g, g) + (g, g) = (∥f∥ + ∥g∥) 2 , 即 ∥f + g∥ 6 ∥f∥ + ∥g∥. 易验证, ∥ · ∥ 构成 V 的一个范数, 称 ∥ · ∥ 是内积诱导的范数. 与一般的赋范线性空间不同, 内积空间具有很好的几何性质. 命题 9.7 (平行四边形等式) 设 V 是内积空间, 则有 ∥f + g∥ 2 + ∥f − g∥ 2 = 2(∥f∥ 2 + ∥g∥ 2 ). 证明 设 f, g ∈ V , 因 V 是线性空间, 故 f + g, f − g ∈ V . 经简单计算知 ∥f + g∥ 2 = (f + g, f + g) = (f, f) + 2(f, g) + (g, g), ∥f − g∥ 2 = (f − g, f − g) = (f, f) − 2(f, g) + (g, g),