1.最小二乘法特点 (po,p)(po,9）…(po,pn） 2. 最小二乘法拟合曲线的方法 (9,9o) (01,9)… (9,pn） 3. 用正交多项式作最小二乘法拟合曲线方法 G= 4.超定方程组的最小二乘解求法 (pn,po)(pn,0,)… (pn,pn) a=(a,a,…,an)T,d=(do,d,…,dn)T 2.用正交多项式作最小二乘法拟合曲线方 法 P(x)=1, P(x)=(x-a)P(x), P.(x)=(x-a)P(x)-BP-(x) )xP:() wgt ox)P'x） B=0 x)e☒ 课外作业： 1.理解最小二乘法推导过程及法方程求解 方法，掌握最小二乘法拟合的计算方法，能 根据题意或实际应用情况，构造最小二乘拟 合曲线 2.理解用正交多项式作最小二乘拟合方 法，能根据题意用正交多项式构造最小二乘 拟合曲线 第十三章 数值积分与数值微分 课堂笔记： 4.1数值积分公式 1.数值积分一般公式 4.2 Newton-Cotes公式 4.3复化求积 fe达*2A) k=0 4.4龙贝格算法 2.Newton--Cotes积分公式算法 4.5数值微分 知识点： =6-a2c) 1.数值积分一般公式 2.Newton-Cotes积分公式算法 3.复化求积公式 4.龙贝格算法过程 5. 数值微分计算方法 n-d j=0 j≠k 3.复化求积公式 复化梯形公式T,=2 f)+f 33
33 1. 最小二乘法特点 2. 最小二乘法拟合曲线的方法 3. 用正交多项式作最小二乘法拟合曲线方法 4. 超定方程组的最小二乘解求法 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n G T T 0 1 0 1 ( , , , ) , ( , , , ) n n a a a a d d d d 2. 用正交多项式作最小二乘法拟合曲线方 法 0 1 1 0 1 1 1 ( ) 1, ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k P x P x x P x P x x P x P x 2 0 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) m i i k i i k m i k i i x x P x x P x 2 0 2 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) m i k i i k m i k i i x P x x P x 课外作业： 1. 理解最小二乘法推导过程及法方程求解 方法，掌握最小二乘法拟合的计算方法，能 根据题意或实际应用情况，构造最小二乘拟 合曲线 2. 理解用正交多项式作最小二乘拟合方 法，能根据题意用正交多项式构造最小二乘 拟合曲线 第十三章 数值积分与数值微分 4.1 数值积分公式 4.2 Newton-Cotes 公式 4.3 复化求积 4.4 龙贝格算法 4.5 数值微分 知识点： 1. 数值积分一般公式 2. Newton-Cotes 积分公式算法 3. 复化求积公式 4. 龙贝格算法过程 5. 数值微分计算方法 课堂笔记： 1. 数值积分一般公式 0 ( ) ( ) n b k k a k f x dx A f x 2. Newton-Cotes 积分公式算法 ( ) 0 ( ) ( ) n n n k k k I b a C f x ( ) 0 0 n n n k j j k h t j C dt b a k j 0 0 ( 1) ( ) !( )! n k n n j j k t j dt nk n k 3. 复化求积公式 复化梯形公式 1 1 0 [ ( ) ( )] 2 n n k k k h T f x f x
-a@+2+1 =l 复化辛普森公式 s.-2V)+4e小+f】 6k=0 -2fa+42fe)+22f)+f61 6 =0 4.龙贝格算法过程 4.数值微分计算方法 )-f) h ))-fx-h) h f'x)≈f:+)-fs-h) 2h f=4--X-型f0)任-X-f0 2h2 2 +--型f） 2h2 课外作业： 1.理解复化梯形、复化辛普森求积，能根 据题意运用复化梯形、复化辛普森计算方法 求出数值积分结果 2.理解龙贝格算法加速求积精度的特点， 能运用龙贝格算法求出积分 3.能运用向前差商、向后差商、中心差商 计算某点上的数值微分，掌握三点公式求数 值微分的方法 第十四章 非线性方程及非线性方程组的 课堂笔记： 数值解法 1.二分法：将含根区间一个个隔开，找到 5.1二分法 根的范围，使每个区间只有一个根。 5.2迭代法 2.迭代法：x41=g(x) 5.3牛顿法 f(x) 5.4弦割法 3.牛顿法：g(x)=x- f'(x) 知识点： 1. 二分法计算方法 4. 弦割法： 2.迭代法计算方法 f(x) (-X-1) 3.牛顿法计算方法 Xk+1=X- f(x)-f(x-) 4.弦割法计算方法 课外作业： 理解二分法、迭代法、牛顿法、弦割法求解 非线性方程的算法过程，能根据题意或实际 应用利用相应算法计算非线性方程的数值 解 附注：实验教学安排见《工程计算方法》实验教学大纲 34
34 1 1 [ ( ) 2 ( ) ( )] 2 n k k h f a f x f b 复化辛普森公式 1 1/ 2 1 0 [ ( ) 4 ( ) ( )] 6 n n k k k k h S f x f x f x 1 1 1/ 2 0 1 [ ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( )] 6 n n k k k k h f a f x f x f b 4. 龙贝格算法过程 ( ) ( 1) ( ) 1 1 4 1 ( 1,2, ) 4 1 4 1 m k k k Tm m Tm m Tm k 4. 数值微分计算方法 ( ) ( ) ( ) i i i f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) i i i f x f x h f x h ( ) ( ) ( ) 2 i i i f x h f x h f x h 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )( ) ( ) 2 i i i i i i i i i x x x x x x x x f x L x f x f x h h x x x x f x h 课外作业： 1. 理解复化梯形、复化辛普森求积，能根 据题意运用复化梯形、复化辛普森计算方法 求出数值积分结果 2. 理解龙贝格算法加速求积精度的特点， 能运用龙贝格算法求出积分 3. 能运用向前差商、向后差商、中心差商 计算某点上的数值微分，掌握三点公式求数 值微分的方法 第十四章 非线性方程及非线性方程组的 数值解法 5.1 二分法 5.2 迭代法 5.3 牛顿法 5.4 弦割法 知识点： 1. 二分法计算方法 2. 迭代法计算方法 3. 牛顿法计算方法 4. 弦割法计算方法 课堂笔记： 1. 二分法：将含根区间一个个隔开，找到 根的范围，使每个区间只有一个根。 2. 迭代法： 1 ( ) k k x g x 3. 牛顿法： ( ) ( ) ( ) f x g x x f x 4. 弦割法： 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k k f x x x x x f x f x 课外作业： 理解二分法、迭代法、牛顿法、弦割法求解 非线性方程的算法过程，能根据题意或实际 应用利用相应算法计算非线性方程的数值 解 附注：实验教学安排见《工程计算方法》实验教学大纲
《工程计算方法》简略实验教学大纲（上机） 实验课程名称：《工程计算方法》课程实验（上机） 适用专业：机械设计制造及其自动化专业 实验（上机)总学时：10学时 实验（上机）个数：5个 实验（上机）类型： 1)数值计算若千原则中的秦九韶算法-综合性实验 2)插值法中的Runge现象-综合性实验 3)最小二乘法中的线性拟合、指数函数拟合-综合性实验 4)数值积分中的龙贝格算法-综合性性实验 5)非线性方程数值解法中的牛顿迭代法-综合性性实验 一、本课程实验（上机）总体介绍 1、本课程实验（上机）的任务： 《工程计算方法》是机械制造工程及自动化专业的专业必修课程。本课程实验的任务要求学生 在实验指导教师的指导下自行完成上机实验代码的编写、调试、运行和结果观察。通过本课程 上机实验，培养学生利用工程计算理论算法，进行计算机算法设计、编程、调试及运行能力。 2、本课程实验（上机）简介： 本课程开设了五个实验（上机）： 1)数值计算若干原则中的秦九韶算法(2学时)： 本实验项目目的和任务： 了解数值计算若干原则中的减少运算次数，提高计算速度，减少误差积累的算法思想，理解秦 九韶算法运算量小、计算数值稳定的特点，针对具体的四次多项式设计数值算法并进行编程运 行求解。 本实验项目使用的仪器与设备：电脑及Matlab软件。 2)插值法中的Runge现象(2学时)； 本实验项目目的和任务： 了解插值法中增加节点，代数插值多项式次数增高，插值多项式逼近(x)的精度或数值稳定 性变差的Runge现象。以f(x)=1/1+x2)在区间[-5,5]上的n次拉格朗日插值多项式(n=2, 4,6,8,l0)为例，通过编程及程序运行，观察高次插值多项式的Ruge现象。 本实验使用的仪器与设备：电脑及Matlab软件。 3)最小二乘法中的线性拟合、指数函数拟合(2学时) 本实验目的和任务： 35
35 《工程计算方法》简略实验教学大纲（上机） 实验课程名称：《工程计算方法》课程实验（上机） 适用专业：机械设计制造及其自动化专业 实验（上机）总学时：10学时 实验（上机）个数：5个 实验（上机）类型： 1）数值计算若干原则中的秦九韶算法-综合性实验 2）插值法中的Runge现象-综合性实验 3）最小二乘法中的线性拟合、指数函数拟合-综合性实验 4）数值积分中的龙贝格算法-综合性性实验 5）非线性方程数值解法中的牛顿迭代法-综合性性实验 一、本课程实验（上机）总体介绍 1、本课程实验（上机）的任务： 《工程计算方法》是机械制造工程及自动化专业的专业必修课程。本课程实验的任务要求学生 在实验指导教师的指导下自行完成上机实验代码的编写、调试、运行和结果观察。通过本课程 上机实验，培养学生利用工程计算理论算法，进行计算机算法设计、编程、调试及运行能力。 2、本课程实验（上机）简介： 本课程开设了五个实验（上机）： 1）数值计算若干原则中的秦九韶算法(2 学时)； 本实验项目目的和任务： 了解数值计算若干原则中的减少运算次数，提高计算速度，减少误差积累的算法思想，理解秦 九韶算法运算量小、计算数值稳定的特点，针对具体的四次多项式设计数值算法并进行编程运 行求解。 本实验项目使用的仪器与设备：电脑及 Matlab 软件。 2）插值法中的 Runge 现象(2 学时)； 本实验项目目的和任务： 了解插值法中增加节点，代数插值多项式次数增高，插值多项式逼近 f (x) 的精度或数值稳定 性变差的 Runge 现象。以 2 f (x) 1/(1 x ) 在区间[-5,5]上的 n 次拉格朗日插值多项式（n=2， 4，6，8,10）为例，通过编程及程序运行，观察高次插值多项式的 Runge 现象。 本实验使用的仪器与设备：电脑及 Matlab 软件。 3）最小二乘法中的线性拟合、指数函数拟合(2 学时) 本实验目的和任务：
理解最小二乘法的算法思想，掌握根据已知数据，构造最小二乘法的线性拟合、指数函数拟合 曲线的方法。分别给定两组数据，通过编程构造并绘出小二乘法的线性拟合、指数函数拟合曲 线。 本实验使用的仪器与设备：电脑及Matlab软件 4)数值积分中的龙贝格算法(2学时) 本实验目的和任务： 理解数值积分中的龙贝格加速算法思想。给出一个定积分，通过编程给出龙贝格算法的数值积 分结果。 本实验使用的仪器与设备：电脑及Matlab软件 5)非线性方程数值解法中的牛顿迭代法(2学时) 本实验目的和任务： 理解非线性方程数值解法中的牛顿迭代法算法思想。给出一个非线性方程，通过编程给出牛顿 迭代法的数值求解结果。 本实验使用的仪器与设备：电脑及Matlab软件 二、本课程实验（上机）评价标准 评价标准 评价标准 实验内容 实验操作情况 上机资料整理情况 得分 (70%) (30%) 1)数值计算若千 个人独立完成：实 程序代码及运行结果相 80100 要求学生在实 原则中的秦九韶 验代码编写完成， 关资料整理及归档完整 验指导教师的 算法-综合性实验 实验运行结果正 指导下自行完 2)插值法中的 确。 成上机实验代 Runge现象-综合 个人独立完成；实 程序代码及运行结果相 6579 码的编写、调 性实验 验代码基本编写完 关资料整理及归档基本 试、运行和结 3)最小二乘法中 成，实验运行结果 完整 果观察。通过 的线性拟合、指数 基本正确。 本课程上机实 函数拟合-综合性 个人独立完成：实 程序代码及运行结果相 4564 验，培养学生 实验 验代码部分基本编 关资料整理及归档部分 利用工程计算 4)数值积分中的 写完成，实验运行 基本完整 理论算法，进 龙贝格算法-综合 结果部分基本正 行计算机算法 性性实验 确 设计、编程、 5)非线性方程数 非独立完成：实验 程序代码及运行结果相 044 调试及运行能 值解法中的牛顿 代码部分为编写完 关资料整理及归档不完 力。 迭代法-综合性性 成，实验运行结果 整 实验 不正确。 五、建议学时分配表 学时分配 序号 课程内容 对应教学目标 讲授 实验 习题课 小计 36
36 理解最小二乘法的算法思想，掌握根据已知数据，构造最小二乘法的线性拟合、指数函数拟合 曲线的方法。分别给定两组数据，通过编程构造并绘出小二乘法的线性拟合、指数函数拟合曲 线。 本实验使用的仪器与设备：电脑及 Matlab 软件 4）数值积分中的龙贝格算法(2 学时) 本实验目的和任务： 理解数值积分中的龙贝格加速算法思想。给出一个定积分，通过编程给出龙贝格算法的数值积 分结果。 本实验使用的仪器与设备：电脑及 Matlab 软件 5）非线性方程数值解法中的牛顿迭代法(2 学时) 本实验目的和任务： 理解非线性方程数值解法中的牛顿迭代法算法思想。给出一个非线性方程，通过编程给出牛顿 迭代法的数值求解结果。 本实验使用的仪器与设备：电脑及 Matlab 软件 二、本课程实验（上机）评价标准 评价标准 实验内容 评价标准 实验操作情况 （70%） 上机资料整理情况 （30%） 得分 要求学生在实 验指导教师的 指导下自行完 成上机实验代 码的编写、调 试、运行和结 果观察。通过 本课程上机实 验，培养学生 利用工程计算 理论算法，进 行计算机算法 设计、编程、 调试及运行能 力。 1）数值计算若干 原则中的秦九韶 算法-综合性实验 2）插值法中的 Runge 现象-综合 性实验 3）最小二乘法中 的线性拟合、指数 函数拟合-综合性 实验 4）数值积分中的 龙贝格算法-综合 性性实验 5）非线性方程数 值解法中的牛顿 迭代法-综合性性 实验 个人独立完成；实 验代码编写完成， 实验运行结果正 确。 程序代码及运行结果相 关资料整理及归档完整 80~100 个人独立完成；实 验代码基本编写完 成，实验运行结果 基本正确。 程序代码及运行结果相 关资料整理及归档基本 完整 65~79 个人独立完成；实 验代码部分基本编 写完成，实验运行 结果部分基本正 确。 程序代码及运行结果相 关资料整理及归档部分 基本完整 45~64 非独立完成；实验 代码部分为编写完 成，实验运行结果 不正确。 程序代码及运行结果相 关资料整理及归档不完 整 0~44 五、建议学时分配表 序号 课程内容 学 时 分 配 对应教学目标 讲 授 实 验 习题课 小 计
数值计算中的误差 3.5 2 0.5 6 目标1 2 插值法 7.5 2 0.5 10 目标2 3 曲线拟合的最小二乘法 5.5 2 0.5 8 目标2 4 数值积分与数值微分 5.5 2 0.5 8 目标3 非线性方程及非线性方程组的 5 5.5 2 0.5 8 目标3 数值解法 合计 27.5 10 2.5 40 六、教学方法 本课程教学环节主要包括：课堂讲授、课堂讨论及习题练习、课外答疑和作业、实验、期末考 试等，具体内容包括： 1.课堂讲授 作为一门与计算机密切结合的实用性很强的数学课程，本课程既需要学生具备高等数学和线性 代数基础，也需要具备一定的计算机高级语言程序设计基础。课程理论教学部分以课堂讲授为 主，利用多媒体教学手段，采用启发式方式，结合实际灵活施教；结合课堂教学实际情况，可 适当补充课程所必需的高等数学和线性代数方面的知识；着重基本内容的讲解，加强典型习题 的练习，提高学生对相关知识点的理解；每章课后留作业，按时辅导答疑，每章至少上一次习 题课。通过课堂提问等环节，促进学生对课上讲解内容的理解与消化巩固。 2.课堂讨论及练习 通过课堂讨论或练习等环节，促进学生对课上讲解内容的理解与消化巩固，同时还可以此环节 作为学生上课出勤记录。亦可通过抽查出勤情况，作为考核学生课堂表现的重要依据。课堂讨 论及练习、以及出勤情况占总成绩10%。 3.课外答疑和课外作业 每周任课教师安排固定时间答疑，与学生讨论和解答各章节学习过程中遇到的问题。本门课程 有5次课外作业，要求学生必须独立完成，并按规定规定时间按时提交，之后不再接收作业。 不能按时提交作业者，一般未按时提交作业处理（特殊情况除外）。未按时提交作业或作业有 抄袭（雷同)现象，该次作业成绩按零分计。具体课外作业如下： 作业一、绝对误差限计算、相对误差限计算、有效数字计算； 作业二、拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值计算方法： 作业三、最小二乘法求解方法、用正交多项式作最小二乘拟合方法； 作业四、复化梯形求积算法、复化辛普森求积算法、龙贝格算法、数值微分的向前差商、向后 差商、中心差商及三点公式； 37
37 1 数值计算中的误差 3.5 2 0.5 6 目标 1 2 插值法 7.5 2 0.5 10 目标 2 3 曲线拟合的最小二乘法 5.5 2 0.5 8 目标 2 4 数值积分与数值微分 5.5 2 0.5 8 目标 3 5 非线性方程及非线性方程组的 数值解法 5.5 2 0.5 8 目标 3 合 计 27.5 10 2.5 40 六、教学方法 本课程教学环节主要包括：课堂讲授、课堂讨论及习题练习、课外答疑和作业、实验、期末考 试等，具体内容包括： 1. 课堂讲授 作为一门与计算机密切结合的实用性很强的数学课程，本课程既需要学生具备高等数学和线性 代数基础，也需要具备一定的计算机高级语言程序设计基础。课程理论教学部分以课堂讲授为 主，利用多媒体教学手段，采用启发式方式，结合实际灵活施教；结合课堂教学实际情况，可 适当补充课程所必需的高等数学和线性代数方面的知识；着重基本内容的讲解，加强典型习题 的练习，提高学生对相关知识点的理解；每章课后留作业，按时辅导答疑，每章至少上一次习 题课。通过课堂提问等环节，促进学生对课上讲解内容的理解与消化巩固。 2. 课堂讨论及练习 通过课堂讨论或练习等环节，促进学生对课上讲解内容的理解与消化巩固，同时还可以此环节 作为学生上课出勤记录。亦可通过抽查出勤情况，作为考核学生课堂表现的重要依据。课堂讨 论及练习、以及出勤情况占总成绩 10%。 3. 课外答疑和课外作业 每周任课教师安排固定时间答疑，与学生讨论和解答各章节学习过程中遇到的问题。本门课程 有 5 次课外作业，要求学生必须独立完成，并按规定规定时间按时提交，之后不再接收作业。 不能按时提交作业者，一般未按时提交作业处理（特殊情况除外）。未按时提交作业或作业有 抄袭（雷同）现象，该次作业成绩按零分计。具体课外作业如下： 作业一、绝对误差限计算、相对误差限计算、有效数字计算； 作业二、拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值计算方法； 作业三、最小二乘法求解方法、用正交多项式作最小二乘拟合方法； 作业四、复化梯形求积算法、复化辛普森求积算法、龙贝格算法、数值微分的向前差商、向后 差商、中心差商及三点公式；