2012 随练1.4设 求值: 2013 2013 2013 【答案】1006 【解析(1-x) 4-x+242+2 ∫(x)+f(1-x)=1 2012 ①::S=(2012 20l1 S 2013 2013 2013 2013 2013 ①+②得2S=2012→S=1006 随练15已知函数f()=2 数列{an}的前n项和为Sn,且an=f(,-),则S2 2017 B.1010 2019 C D.201 【答案】B 前n项和的求法(二) 知识精讲 数列的求和方法 1.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项 已知数列{an}为等差数列,且公差不为0,首项也不为0,求称:当1 首先考虑=-),则-=a)=a 已知数列{an}为等差数列,且公差不为0,首项也不为0,下列求和 Nam-sa 也可用裂项求和法 2.错位相减法:对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和,常 用错位相减法.an=bnCn,其中{bn}是等差数列,{c}是等比数列,记 Sn=bc1+b2c2+…+bnCn=1+b,Cn,则qSn=bC2+……+bnCn+bCn+1.两式相减即可求 得 6
6 随练 1.4 设 求值： . 【答案】 【解析】 ， ； 得 . 随练 1.5 已知函数 1 ( ) 2 1 x f x x + = − ，数列 { }n a 的前 n 项和为 n S ，且 ( ) 2017 n n a f = ，则 2017 S = （） A．1008 B．1010 C． 2019 2 D．2019 【答案】B 一．数列的求和方法 1. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项． 已知数列 an 为等差数列，且公差不为 0 ，首项也不为 0 ，求和： 1 1 1 n i i i = a a + . 首先考虑 1 1 1 n i i i = a a + = 1 1 1 1 1 ( ) n i i i = d a a + − ，则 1 1 1 n i i i = a a + = 1 1 1 1 1 1 1 ( ) n n n d a a a a + + − = . 已知数列 an 为等差数列，且公差不为 0，首项也不为 0，下列求和 1 1 1 1 1 n n i i i i i i a a a a d + = = + − = + 也可用裂项求和法. 2．错位相减法：对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和，常 用错位相减法. n n n a b c = ，其中 bn 是等差数列， cn 是等比数列，记 n n n n n 1 1 2 2 1 1 S b c b c b c b c = + ++ + − − ，则 n n n n n 1 2 1 1 qS b c b c b c = ++ + − + . 两式相减即可求 得. ( ) 4 4 2 x x f x = + ， 1 2 2012 ... 2013 2013 2013 S f f f = + + + 1006( ) ( ) ( ) 1 1 4 2 1 1 1 4 2 4 2 x x x f x f x f x − − − = = + − = + + ， 1 2 2012 ... 2013 2013 2013 S f f f = + + + ① 2012 2011 1 ... 2013 2013 2013 S f f f = + + + ② ①+② 2 2012 1006 S S = = 数列前 n 项和的求法（二） ·知识精讲· ·
中‖·三点剖析 方法点拨 对于分母为三次函数的裂项,先裂成两个分母为二次的分式之差,再分别裂项 二.必备公式 拆项公式:m(m+1)nn+1:m(n+2)2nn+2; (2n-1)(2n+1)22n-12n+1 题模精选 题模一裂项相消法求和 例211已知数列{的前n项和S=k(3-,且43=27 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若b=k,求数列{b-}的前n项和了 Tn 【答案】(1)q=3(2)"+ 【解析】(1)当n=3时,a=53-52=K3-3)=27,解得2 当n≥2时, an=Sn-S1=3(3"-1)-3(3y-1)=(3-3)=3 a1=S1=3也满足上式,故an=3"; (2)若b,=1g3y=n, T=1 223nn+1n+1-n+1 例2.1.2已知数列{an}是各项均不为零的等差数列,S1为其前n项和,(n∈N),若不等式 7
7 一. 方法点拨 对于分母为三次函数的裂项，先裂成两个分母为二次的分式之差，再分别裂项. 二. 必备公式 拆项公式： 1 1 1 n n n n ( 1) 1 = − + + ； 1 1 1 1 ( ) n n n n ( 2) 2 2 = − + + ； 1 1 1 1 ( ) (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1 n n n n = − − + − + . 题模一：裂项相消法求和 例 2.1.1 已知数列 { }n a 的前 n 项和 (3 1) n n S k = − ，且 3 a = 27 （1）求数列 { }n a 的通项公式； （2）若 3 log n n b a = ，求数列 1 1 n n b b + 的前 n 项和 T n ． 【答案】（1） 3 n n a = （2） 1 n n T n = + 【解析】（1）当 n = 3 时， 3 2 3 3 2 a S S k = − = − = (3 3 ) 27 ，解得 3 2 k = 当 n 2 时， 1 1 1 3 3 3 (3 1) (3 1) (3 3 ) 3 2 2 2 n n n n n n n n a S S − − = − = − − − = − = − 1 1 a S = = 3 也满足上式，故 3 n n a = ； （2）若 3 log 3n n b n = = ， 1 1 1 1 1 ( 1) 1 n n b b n n n n + = = − + + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 1 1 n n T n n n n = − + − + + − = − = + + + L 例 2.1.2 已知数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn 为其前 n 项和，（n∈N *），若不等式 ·三点剖析· · ·题模精选· ·