在S上第一型曲面积分的计算公式则为[] f(x, y,z)dsSJJ f(x(u,v),y(u, v),z(u, v)VEG - F"dudv, (3)D其中E=x,+y+za,F =xx,+yuy,+zuz,G=x, +y, +z, .前页后页返回
前页 后页 返回 在 S 上第一型曲面积分的计算公式则为 2 ( ( , ), ( , ), ( , )) d d , (3) D = − f x u v y u v z u v EG F u v ( , , )d S f x y z S 其中 2 2 2 2 2 2 , , . u u u u v u v u v v v v E x y z F x x y y z z G x y z = + + = + + = + +
例2 计算 I=「zds,其中s为S螺旋面（图22-3）的一部分：zx =ucosy,元S: y =usinv, (u,v)e D,S[z = V,(a,0,0)0≤u≤a,yxD:3图22-30≤v≤2元解先求出前页后页返回
前页 后页 返回 螺旋面(图22-3)的一部分: 0 , : 0 2π. u a D v 例2 计算 d , S I z S = 其中S为 cos , : sin , ( , ) , , x u v S y u v u v D z v = = = 解 先求出 图22 3 − O z y ( ,0,0) a x 2 S
E =xi+y +z.= cos’ +sin’v= 1,F=xux, +yuy, +zuz,= -usinvcosv+usinvcosv = 0 ,G = x, + y, +z,-u'sin'v+u' cos'v+1-1+u";2EG+ F? = 1+u.然后由公式(3)求得：前页后页返回
前页 后页 返回 2 2 2 2 2 cos sin 1, E x y z u u u v v = + + = + = sin cos sin cos 0 , F x x y y z z u v u v u v u v v u v v = + + = − + = 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 1 ; G x y z v v v u v u v u = + + = + + = + 然后由公式(3)求得: 2 2 EG F u + = +1
2元[v1+u'dudv:vdy1=I +u'di0D3? +=ln(u++u?2元12=元a/1+a +n(a+/1+a)]例3 计算曲面积分J={[(y"+z")dS,其中 S 是球面Sx?+ y' +z? =a?.解（解法一）记前页后页返回
前页 后页 返回 2 2 ( )d , S J y z S = + 例3 计算曲面积分 其中 S 是球面 2 2 2 2 x y z a + + = . 解 (解法一) 记 2π 2 2 0 0 1 d d d 1 d a D I v u u v v v u u = + = + ( ) 2 2 2 0 1 2 1 ln 1 2 2 a u u u u = + + + + ( ) 2 2 2 a a a a 1 ln 1 . = + + + +
S, :z= a? -x? - y",x' + y"<a';S, :z=-a? -x? - y",x" + y"<a2.根据计算公式(2)，并使用极坐标变换，可得J= f (y* + z)dS+ Jf (y* +z")dsSiS2a(a'-x), dxdy=2 psaya'--y?q2n a? - r” cos? @2aldrrde2Va?-r?前页后页返回
前页 后页 返回 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 d d x y a a a x x y + a x y − = − − 2 2 2 2π 0 0 2 2 cos 2 d d a a r a r r a r − = − 2 2 2 2 2 2 2 S z a x y x y a : , . = − − − + 1 2 2 2 2 2 ( )d ( )d S S J y z S y z S = + + + 根据计算公式(2), 并使用极坐标变换, 可得 2 2 2 2 2 2 1 S z a x y x y a : , ; = − − +