N ds,其中s例1 计算S1是球面x2+y+z2=α2被0平面 z=h(O<h<a) 所截图22-1得的顶部（图22-1)解 曲面的方程为z=a2-x2-，定义域 D为圆域x2+y"<a2-h2.由于a/1+z*+z,-5a?-x?后页返回前页
前页 后页 返回 1 d , S S z 例1 计算 其中 S 2 2 2 2 是球面 x y z a + + = 被 平面 z h h a = (0 ) 所截 得的顶部(图22-1). x y h O z a 图 22 1 − S = − − 定义域 为 2 2 2 解 曲面 的方程为 z a x y , D 圆域 + − 2 2 2 2 x y a h . 由于 2 2 2 2 2 1 , x y a z z a x y + + = − −
因此由公式(2)求得dsadxdy222a-yDSUNa?-h??2元aderdra?-r?10JoVa?-h?rdrtaa?-r?JoVa?-h2=-πaln(a2 -r°)a= 2a元 ln =.h前页后页返回
前页 后页 返回 2 2 2 d d d S D S a x y z a x y = − − 因此由公式(2)求得 2 2 2 2 0 2 d a h r a r a r − = − 2 πln . a a h = 2 2 2π 2 2 0 0 d d a h a r r a r − = − 2 2 2 2 0 π ln( ) a h a a r − = − −
2J (xy + zx + yz)ds,例2计算s其中 为圆锥面z=x+y2F被圆柱面 x2+ y2=2ax 所割07yx? + y'=2ax下的部分（图22-2）x图 22 - 2解对于圆锥面z=x+y2有xyrx+y.后页返回前页
前页 后页 返回 例2 计算 ( )d , S xy zx yz S + + S 2 2 其中 为圆锥面 z x y = + 被圆柱面 2 2 x y ax + = 2 所割 下的部分(图22-2). 解 对于圆锥面 2 2 z x y = + , 有 图22 2 − y x O 2 2 z x y = + 2 2 x y ax + = 2 z 2 2 2 2 , , x y x y z z x y x y = = + +
/1+zi +z, = /2;而 s在 xy 平面上的投影为D(x):(x-a)"+y2≤α2因此I = [f (xy + zx + yz)dsS= /2 J (xy +(x+ y)/x + y2) dxdy.D(xy)用二重积分的极坐标变换前页后页返回
前页 后页 返回 ( ) ( ) 2 2 2 ( ) d d . D xy = + + + xy x y x y x y ( )d S I xy zx yz S = + + 2 2 1 2; x y + + = z z 因此 用二重积分的极坐标变换, S xy 2 2 2 ( ) : ( ) . 而 在 平面上的投影为 D x a y a xy − +
元2acostI = /2[2, (sin t cost + sint + cos t)dtr'dr1021- 4/2a f (sint cost + sint + cost)cos* tdt264= 8/2a* [2 cos’ tdlt04015对于由参量形式表示的光滑曲面x = x(u,v),S: y= y(u,v), (u,v)e D,(z =z(u,v),前页后页返回
前页 后页 返回 π 2 cos 3 2 π 0 2 2 (sin cos sin cos )d d a t I t t t t t r r − = + + π 4 4 2 π 2 4 2 (sin cos sin cos )cos d a t t t t t t − = + + π 4 5 4 2 0 64 8 2 cos 2 . 15 = = a tdt a 对于由参量形式表示的光滑曲面 ( , ), : ( , ), ( , ) , ( , ), x x u v S y y u v u v D z z u v = = =