《材料力学》能量法典型习题解析

能量法 典型习题解析 1线弹性杆件受力如图11.2.1所示,若两杆的拉压刚度均为EA。试利用外力功与应变能 之间的关系计算加力点B的竖直位移。 解题分析:外力作用在线弹性杆系上,外力所作的功完全转化为杆系的应变能。利用该关系 可以计算B点位移。 解:1、计算各杆轴力 由节点B的静力平衡条件求得各杆轴力 FN,AB 4 061B 2、计算杆系的应变能 题1图 杆系的应变能为两杆应变能之和,即 2EI 2E 式中L。=1,l=0.6,则 061) F21 2EI 3、计算B点位移 设B点竖直位移为A,外力F由零逐渐增加过程中,F与A2始终保持正比关系, 外力所作的功为=1Fn,并和杆系的应变能相等,即 得4B 讨论:本题解法利用了线弹性体最基本的功能关系。其局限性也是明显的,例如要计算非力 作用点的变形或力作用点处与力不同方向上的位移时,该方法不方便。 2一杆自重为F,另一杆不考虑自重,而在下端有一F力作用。已知杆的拉压刚度为EA 试比较两杆的应变能,并用单位载荷法计算各杆下端的位移 解题分析:考虑重力作用时,轴力沿杆轴线性变化

1 能量法 典型习题解析 1 线弹性杆件受力如图 11.2.1 所示，若两杆的拉压刚度均为 EA。试利用外力功与应变能 之间的关系计算加力点Ｂ的竖直位移。 解题分析：外力作用在线弹性杆系上，外力所作的功完全转化为杆系的应变能。利用该关系 可以计算 B 点位移。 解：1、计算各杆轴力 由节点 B 的静力平衡条件求得各杆轴力： F AB F 4 5 N, = ， F BC F 4 3 N, = 2、计算杆系的应变能 杆系的应变能为两杆应变能之和,即 EI F l EI F l V V V AB AB BC BC AB BC 2 2 2 N , 2 N, ε = ε , + ε , = + 式中l l AB = ，l . l BC = 0 6 ,则 ( ) EI F l EI F l EI F l V 2 1.9 2 0.6 4 3 2 4 5 2 2 2 ε = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 3、计算 B 点位移 设 B 点竖直位移为 ∆B ，外力 F 由零逐渐增加过程中， F 与 ∆B 始终保持正比关系， 外力所作的功为W F∆B 2 1 = ，并和杆系的应变能相等，即 EI F l F∆B 2 1.9 2 1 2 = 得 EI Fl ∆B 1.9 = 讨论：本题解法利用了线弹性体最基本的功能关系。其局限性也是明显的，例如要计算非力 作用点的变形或力作用点处与力不同方向上的位移时，该方法不方便。 2 一杆自重为 F，另一杆不考虑自重，而在下端有一 F 力作用。已知杆的拉压刚度为 EA， 试比较两杆的应变能，并用单位载荷法计算各杆下端的位移。 解题分析：考虑重力作用时，轴力沿杆轴线性变化。 α FN,AB l 0.8l 0.6l B FN,BC C F A B F 题1 图 α

解:首先计算考虑杆自重的情况 FN(x)+dFN(x) 计算应变能 F 单位长度上重量为4/(图a) 于是杆的x截面上的轴力为(图b), FN(x)=q·x=xx 杆的应变能为 F2(x) 6EA 2、用单位载荷法求B点位移 在B点加向下单位力,于是有FN(x)=1 由单位载荷法,得 题2图 4= FN(x)·F(x) F xdx EA ALdO 2EA 下面计算不考虑杆自重,而在B端施加力F(图d)的情况。 3、杆的应变能 这种情况下,杆的轴力沿轴线为一常量,即F(x)=F。所以杆的应变能为 VE= 2EA 6EA 是考虑杆自重时应变能的3倍。 4、用单位载荷法求B点的位移 在B点加向下单位力,于是有FN(x)=1。由单位载荷法,得 asrF(x)- F(x) F F dx= dx= EA 是考虑杆自重时位移的2倍。 3已知图示刚架各部分弯曲刚度均为EⅠ,用单位载荷法计算B点水平位移、C点铅垂位移 和C点转角。不计轴力对刚架变形的影响

2 解：首先计算考虑杆自重的情况。 1、计算应变能 单位长度上重量为 l F q = （图 a） 于是杆的 x 截面上的轴力为（图 b）， x l F FN (x) = q ⋅ x = ⋅ 杆的应变能为 ∫ ∫ = = = l l EA F l x x l F EA x EA F x V 0 2 2 2 2 0 2 N 6 d 2 1 d 2 ( ) ε 2、用单位载荷法求 B 点位移 在 B 点加向下单位力，于是有 FN (x) = 1。 由单位载荷法，得 EA Fl x x E Al F x EA x l F x EA F x F x ∆ l l B 2 d d 1 d ( ) ( ) 0 N N = = ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ ∫ 下面计算不考虑杆自重，而在 B 端施加力 F（图 d）的情况。 3、杆的应变能 这种情况下，杆的轴力沿轴线为一常量，即 FN (x) = F 。所以杆的应变能为 EA F l x EA F x EA F x V l l 6 d 2 d 2 ( ) 2 0 2 0 2 N = = = ε ∫ ∫ 是考虑杆自重时应变能的 3 倍。 4、用单位载荷法求 B 点的位移。 在 B 点加向下单位力，于是有 FN (x) = 1。由单位载荷法，得 EA Fl x EA F x EA F x F x ∆ l l B = ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ d 1 d ( ) ( ) N N 是考虑杆自重时位移的 2 倍。 3 已知图示刚架各部分弯曲刚度均为 E I，用单位载荷法计算 B 点水平位移、C 点铅垂位移 和 C 点转角。不计轴力对刚架变形的影响。 1 (d) F (e) 1 (a) (b) (c) dx B q A FN(x) FN(x)+dFN(x) FN(x) l 题 2 图 x

解题分析:本题中,弯矩方程必须分段列出。利用单位载荷法公式时,相应地要分段积分 ED部分除弯矩外还有轴力,按题意不考虑轴力对刚架变形的影响。 解:1、写出各段弯矩方程 B 在AD段,以A为x坐标原点:M(x)=Fx-x F/4 在DE段,以D为x坐标原点:M(x)= 在CB段,以C为x坐标原点:M(x)=-Fx 在BE段,以B为x坐标原点: M(x)=-Fx-F(x+a)=-Fx-Fa n/2 2、计算B点水平位移u 在B点加水平单位力,则各段的M(x)为 在AD段,以A为原点:M(x) 在DE段,以D为原点:M()x 在CB段,以C为原点:M(x)=0 122a 在BE段,以B为原点:M(x)=x 题3图 应用单位载荷法公式,得 48E I 负号表示真实位移与所加单位力方向相反,即实际位移方向向左 3、计算C点铅垂位移wc 在C截面加铅垂单位力,则各段的M(x)为 在AD段,以A为原点:M(x) 在DE段,以D为原点:M(x)=2 在CB段,以C为原点:M(x)=-x

3 解题分析：本题中，弯矩方程必须分段列出。利用单位载荷法公式时，相应地要分段积分。 ED 部分除弯矩外还有轴力， 按题意不考虑轴力对刚架变形的影响。 解：1、写出各段弯矩方程 在 AD 段，以 A 为 x 坐标原点： a Fx x F M x 2 ( ) 2 = − ４ 在 DE 段，以 D 为 x 坐标原点： 4 ( ) Fa M x = − 在 CB 段，以 C 为 x 坐标原点： M (x) = −Fx 在 BE 段，以 B 为 x 坐标原点： M x = Fx − F x + a = Fx − Fa 4 3 ( ) 4 7 ( ) 2、计算 B 点水平位移u B 在 B 点加水平单位力，则各段的 M (x) 为 在 AD 段，以 A 为原点： 2 ( ) x M x = − 在 DE 段，以 D 为原点： x a M x = − + 2 ( ) 在 CB 段，以 C 为原点： M (x) = 0 在 BE 段，以 B 为原点： 2 ( ) x M x = 应用单位载荷法公式，得 E I Fa x x x x Fx Fa Fa a x x a Fx x F EI u a a a B 48 5 d 4 2 3 d 4 2 d 4 2 2 1 3 0 0 0 2 = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∫ ∫ ∫ 负号表示真实位移与所加单位力方向相反，即实际位移方向向左。 3、计算 C 点铅垂位移 wC 在 C 截面加铅垂单位力，则各段的 M (x)为 在 AD 段，以 A 为原点： 2 ( ) x M x = − 在 DE 段，以 D 为原点： 2 ( ) a M x = − 在 CB 段，以 C 为原点： M (x) = −x 1/2a 1/2a 1/2 1 3/2 1/2 1 1 B 1/2 1 D a a F/4 A F/a E a 7F/4 C B F A D E B A D E C A D E B C 题 3 图 a

在BE段,以B为原点:M(x)=2x-(x+a)=2-a (23x地 47Fa3 48E/ 4、计算C点转角B 在C截面加单位力偶,计算各段M(x) 在AD段,以A为原点:M(x 在DE段,以D为原点:M(x) 在CB段,以C为原点:M(x)=0 在BE段,以B为原点:M(x)=x-1 Fx d+∫-x)-)ds +1-Fx-Fa 讨论:使用单位载荷法时,只要求同一积分号下的M(x)与M(x)取的坐标系一致,不要求 个构件采用一个统一的坐标系。所以,计算时可根据简便原则选取坐标系。读者可以自己计 算,当考虑轴力时,对前面计算的各点的位移有多大影响? 4用单位载荷法求图示曲杆A、B两点间的相对位移4AB。忽略轴力及剪力对曲杆变形的影 解题分析:利用对称性,可以取曲 杆一半计算,这样可以减少一半积 分工作量。但是注意,在应用单位 载荷法公式时,要在积分号前乘以 F 解:1、列弯矩方程 题4图 AD段以A为x坐标原点

4 在 BE 段，以 B 为原点： a x M x = x − x + a = − 2 ( ) 2 3 ( ) 则 ( )( ) ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∫ ∫ ∫ x Fx x x Fa a x x a Fx x F EI w a a a C d d 4 2 d 4 2 2 1 0 0 0 2 － － E I F a a x x Fx Fa a 48 47 d 4 2 3 3 0 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∫ 4、计算 C 点转角θ C 在 C 截面加单位力偶，计算各段 M (x) 在 AD 段，以 A 为原点： x a M x 2 1 ( ) = − 在 DE 段，以 D 为原点： 2 1 M (x) = − 在 CB 段，以 C 为原点： M (x) = 0 在 BE 段，以 B 为原点： 1 2 ( ) = − a x M x ( )( ) ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∫ ∫ ∫ x Fx x Fa x a x a Fx x F EI a a a C d 1 d 2 1 4 d 4 2 2 1 0 0 0 2 θ － － EI Fa x a x Fx Fa a 48 55 1 d 4 2 3 3 0 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∫ 讨论：使用单位载荷法时，只要求同一积分号下的 M (x) 与 M (x)取的坐标系一致，不要求一 个构件采用一个统一的坐标系。所以，计算时可根据简便原则选取坐标系。读者可以自己计 算，当考虑轴力时，对前面计算的各点的位移有多大影响？ 4 用单位载荷法求图示曲杆 A、B 两点间的相对位移 ∆AB 。 忽略轴力及剪力对曲杆变形的影 响。 解题分析：利用对称性，可以取曲 杆一半计算，这样可以减少一半积 分工作量。但是注意，在应用单位 载荷法公式时，要在积分号前乘以 2。 解：1、列弯矩方程 AD 段以 A 为 x 坐标原点： B F C Rθ O D A F B 1 O C R θ D A 1 题 4 图 l l

DC段取极坐标如图示,则 M(O)=F(+Rsi),0≤0≤x 2、计算A、B的相对位移4AB 在A、B两点加单位力,则M(x)为 AD段:M(x)=x;DC段:M()=l+ Rsin e。于是得 a Fx xdx+ 2 F(+Sino)RdO 2F 13 3+/R0-2IR cos0+R(-sin 28 EI 3 5求图示刚架A截面的转角和C点的挠度,已知各部分弯曲刚度为El M qa/8 qa/8 题5图 解题分析:本题采用图乘法计算。利用对称性,可以减少作图和计算工作量。 解:1、作M(x)图,计算a(图b) 由于图形对称,只需计算a1、a2及对应的MC值 2、计算A截面转角O4 在截面A和B加一对对称的单位力偶,作M图(图c)

5 M (x) = Fx DC 段取极坐标如图示，则 M (θ ) = F(l + R sinθ ) ， 2 π 0 ≤θ ≤ 2、计算 A、B 的相对位移 ∆AB 在 A、B 两点加单位力，则 M (x)为 AD 段： M (x) = x ；DC 段： M (θ ) = l + R sinθ 。于是得 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + + + ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + − + − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⋅ + + ∫ ∫ 2 ) 4 π 2 π ( 3 2 ) 4 sin 2 2 2 cos ( 3 2 d ( sin ) d 2 2 2 3 2 0 2 2 3 3 2 π 0 2 0 lR R R l l EI F l R lR R l EI F Fx x x F l R R EI ∆ l AB π θ θ θ θ θ θ 5 求图示刚架 A 截面的转角和 C 点的挠度，已知各部分弯曲刚度为 EI。 解题分析：本题采用图乘法计算。利用对称性，可以减少作图和计算工作量。 解：1、作 M (x)图，计算ω（图 b） 由于图形对称，只需计算ω1、ω2及对应的 M C 值 16 3 1 qa ω = − ， 3 8 2 48 1 2 3 2 qa a qa ω = − ⋅ ⋅ = − 2、 计算 A 截面转角θ A 在截面 A 和 B 加一对对称的单位力偶，作 M C 图（图 c） a A qa/8 (a) qa/2 B a/2 C q A B 1/4 1/4 (b) (c) (d) 题 5 图 1 1/2 1/2 1 A B 3a/8 qa2 /8 M MC1 C 1 C a/4 ω1 M M 1/a a/2 qa/2 qa/8 ω4 ω2 ω3 1/a a/4 MC1 MC2