第5章代数系统的基本概念 (1)b。(a*b)=b。b=b(b。a)*(b。b)=*b=b 2)a。(a*b)=a。b=a.(a。a)*(a。b)=a*a=a b。(a*a)=b。a=a(b。a)*(b。a)=a*a=a b。(b*b)=b。a=a(b。b)*(b。b)=b*b=a do laa=ao aa c。a)cc=c a。(b*b)=a。a=a(a。b)*(a。b)=a*a=a 所以。对*是可分配的。(由于。运算满足交换律 成立,因此右分配也成立。)
第5章 代数系统的基本概念 （1） b。(a*b)=b。b=b (b。a)*(b。b)=a*b=b （2） a。(a*b)=a。b=a. (a。a)*(a。b)=a*a=a b。(a*a)=b。a=a (b。a)*(b。a)=a*a=a b。(b*b)=b。a=a (b。b)*(b。b)=b*b=a a。(a*a)=a。a=a (a。a)*(a。a)=a*a=a a。(b*b)=a。a=a (a。b)*(a。b)=a*a=a 所以。对*是可分配的。（由于。运算满足交换律 成立，因此右分配也成立。）
第5章代数系统的基本概念 (3)b*(a。b)b*a=b(b*a)。(b*b)=b。a=a 故*对。是不可分配的 又由a*(a。b)=a+a=a及上面(1)(2)(3)式可 知。和*满足吸收律。由运算表可知,。满足幂等律 而*不满足幂等律。 下面我们来定义与集合A中的二元运算有关的集合 A中的特异元素
第5章 代数系统的基本概念 （3）b*(a。b)=b*a=b (b*a)。(b*b)=b。a=a 故*对。是不可分配的。 又由a*(a。b)=a*a=a及上面（1）（2）（3）式可 知。和*满足吸收律。由运算表可知，。满足幂等律， 而*不满足幂等律。 下面我们来定义与集合A中的二元运算有关的集合 A中的特异元素
第5章代数系统的基本概念 定义5.1.3设*是集合S中的一种二元运算,如果存 在e,∈Se1∈S且对任意元素x∈S均有 x*er=x(ef*x=x),则称元素e/(e)为S中关于运算(的右 幺元(左幺元)或右单位元(左单位元 定理51.1设*是S中的二元运算且e与e分别是对于 *的右幺元和左幺元,则er=ee,使对任意元素x∈S 有x*e=e*x=x,称元素e为关于运算*的幺元 ( identityelements)且唯
第5章 代数系统的基本概念 定义5.1.3 设*是集合S中的一种二元运算，如果存 在er ∈S(el∈S) x∈S 均有 x*er =x(el *x=x) er (el ) 为S中关于运算(的右 幺元(左幺元)或右单位元(左单位元)。 定理5.1.1 设*是S中的二元运算且er与el分别是对于 * er =el=e, 使对任意元素x∈S 有x*e=e*x=x，称元素e为关于运算*的幺元 (identityelements)且唯一
第5章代数系统的基本概念 证明因为e,和e分别是*的右幺元和左幺元,故有 e*e=e,e*e=e,所以e=ep, 令其为e,有x*e=e*x 设另有一幺元为右幺元e,那么 e-ee -e 故e对*是唯一的幺元
第5章 代数系统的基本概念 证明 因为er和el分别是*的右幺元和左幺元，故有 el *er =el，el *er =er， er =el， 令其为e，有x*e=e*x=x 设另有一幺元为右幺元e′ ，那么 e=e*e′=e′ 故e对*是唯一的幺元
第5章代数系统的基本概念 【例516】在实数集R中,对加法"+"运算,0是幺元; 在实数集R中,对乘法"×"运算,1是幺元; 对于全集E的子集的并"U"运算,是幺元; 对于全集E的子集的交"∩"运算,E是幺元; 在命题集合中,对于吸取"∨"运算,矛盾式是幺元 在命题集合中,对于合取"∧"运算,重言式是幺元; 在A4={fA→4}中,对于复合"。"运算,L是幺元
第5章 代数系统的基本概念 【例5.1.6】 在实数集R中，对加法"+"运算，0是幺元； 在实数集 R 中，对乘法"×"运算，1是幺元； 对于全集E的子集的并"∪"运算， 对于全集E的子集的交"∩"运算，E是幺元; 在命题集合中，对于吸取"∨"运算，矛盾式是幺元； 在命题集合中，对于合取"∧"运算，重言式是幺元； 在A A={f|f:A→A}中，对于复合" 。 "运算，IA是幺元。