该瞬间介质中各质点的位移分布 3)当选择一定的y值时式(126)表示了x与t的函数关系例如在t时刻,x 处质点的位移为y经过了Δt时间,位移y'出现在x+△x处由式(126)可得 AcoSo(I-x)= ACOSO((+4/-+Ax )→△x=△ 这表示,振动状态y"以波速u沿波的传播方向移动于是可以得出这样的结论:当x 和t都在变化时,式(126)表示整个波形以波速u沿波射线传播,这就是行波 4)式(12.6)中ⅹ前的负号表示距离坐标原点越远的地方质点振动的相位越落后, 因而表示波是沿ⅹ轴正方向传播的假如波是沿x轴负方向传播的考察点P的振 动相位比坐标原点的振动相位超前,式(127)中的负号应改为正号式(128)也是如此 5)上面在推导平面简谐波波函数时为简便起见假定坐标原点的初相位为零而在 般情况下坐标原点的振动应写为 yo=Acos(ot+o) 这时,平面简谐波波函数中也必须考虑初相位则平面简谐波波函数可写为 2πx y=Acos(ot+φ 6)与简谐振动可以用复数表示一样平面简谐波波函数也可用复数来表示 该复数的实部才是我们关心的平面简谐波波函数 例题12.1以y=004cos:2.5πtm的形式作简谐振动的波源,在某种介质中激发了平面 简谐波,并以100msl的速率传播.(1)写出此平面简谐波的波函数:(2)求在波源起 振后1.0s、距波源20m处质点的位移、速度和加速度 解:(1)取波的传播方向为ⅹ轴的正方向,波源所在处为坐标原点这样平面简谐 波波函数的一般形式可写为 y=c0so(-)代入数少y=0.04cos2.n("W0)m (2)在x=20m处质点的振动可表示为 y=0.04c0s2.5x(t-0.20)=0.04n2.5m 在波源起振后1.0s,该处质点的位移为 0.04sn2.5汇=0.04m d 该处质点的速度为U==2(004sin2.5m)=0.1rcos2.5m=0
6 该瞬间介质中各质点的位移分布. 3）当选择一定的 y 值时,式(12.6)表示了 x 与 t 的函数关系.例如,在 t 时刻,x 处质点的位移为 y ',经过了 t 时间,位移 y'出现在 x +△x 处,由式(12.6)可得 cos ( ) cos ( ) u x x A t t u x A t + − = + − x = ut 这表示,振动状态 y '以波速 u 沿波的传播方向移动.于是可以得出这样的结论：当 x 和 t 都在变化时,式(12.6)表示整个波形以波速 u 沿波射线传播,这就是行波. 4）式(12.6)中 x 前的负号表示距离坐标原点越远的地方,质点振动的相位越落后, 因而表示波是沿 x 轴正方向传播的.假如波是沿 x 轴负方向传播的,考察点 P 的振 动相位比坐标原点的振动相位超前,式(12.7)中的负号应改为正号.式(12.8)也是如此. 5）上面在推导平面简谐波波函数时,为简便起见,假定坐标原点的初相位为零,而在 一般情况下坐标原点的振动应写为 y = Acos(t + ) 0 这时,平面简谐波波函数中也必须考虑初相位,则平面简谐波波函数可写为 cos( ) = + − x y A t 2 (12.7) 6）与简谐振动可以用复数表示一样,平面简谐波波函数也可用复数来表示 ( ) [ ( )] ~ u i t kx x i t y Ae Ae − − = = 该复数的实部才是我们关心的平面简谐波波函数. 例题 12.1 以 y=0.04cos2.5πt m 的形式作简谐振动的波源,在某种介质中激发了平面 简谐波,并以 100ms-1 的速率传播.（1）写出此平面简谐波的波函数；（2）求在波源起 振后 1.0 s、距波源 20 m 处质点的位移、速度和加速度. 解：（1）取波的传播方向为 x 轴的正方向,波源所在处为坐标原点,这样平面简谐 波波函数的一般形式可写为 m 100 cos ( ) 0.04cos 2.5 ( ) x y t u x y = A t − ⎯⎯ ⎯→ = − 代入数据 （2）在 x=20m 处质点的振动可表示为 y = 0.04cos 2.5 (t − 0.20) = 0.04sin2.5 t 在波源起振后 1.0s,该处质点的位移为 y = 0.04sin2.5 = 0.04m 该处质点的速度为 = = (0.04sin 2.5 t) = 0.1 cos 2.5 t = 0 dt d dt dy
由此可见质点的振动速度与波的传播速度是两个完全不同的概念不能将它们混淆 该处质点的加速度为 A(25)2sin2.5πt=-0.25sin2.5π=-0.25mS 式中负号表示加速度的方向与位移的正方向相反 例题122有一列平面简谐波坐标原点按照y=Acos(ot+φ)的规律振动已知 A=0.10m,T=0.50s,=10m,试求解以下问题 (1)写出此平面简谐波的波函数 (2)求波射线上相距25m的两点的相位差; (3)假如t=0时处于坐标原点的质点的振动位移为yo=0.05m,且向平衡位置运动 求初相位并写出波函数 解:(1)要写波函数第一步是建立坐标系既然坐标原点已经给定,则可以取过坐 标原点的波射线为x轴,x轴的指向与波射线的方向一致对于这样的选择在波函数 中x前的符号必定是负号第二步就是求出坐标为x的质点在任意时刻的位移因为 处于ⅹ的质点在任意时刻的相位都比处于坐标原点的质点的相位落后2πx/λ,根据已 知条件,坐标原点在t时刻的相位为ot+φ,所以在同一瞬间x点的相位必定为 ot+φ-2x/λ.这样我们就得到下面的波函数通式 y=Acos(0t+中--) 其中A=0.10m,=10m,O=2/T=40nrad.s-,代入上式,得 y=0.lcos(4πt+φ--)m (2)因为波射线上x点在任意时刻的相位都比坐标原点的相位落后2x/λ,如 点的位置在x,另一点的位置在x+2.5m,它们分别比坐标原点的相位落后 △d=2π-和2π x+2.5 所以这两点的相位差为 △=2(x+2.5-5)=5m= (3)这一问的要求就是根据所给条件求出中。y=0.05m代入坐标原点的振动方程中, 可得
7 由此可见,质点的振动速度与波的传播速度是两个完全不同的概念,不能将它们混淆. 该处质点的加速度为 2 5 2 5 0 25 2 5 0 25m/s 2 2 2 = = −A( . ) sin . t = − . sin . = − . dt d y a 式中负号表示加速度的方向与位移的正方向相反. 例题 12.2 有一列平面简谐波,坐标原点按照 y = Acos(t + ) 的规律振动.已知 A=0.10m,T=0.50 s,λ=10m,试求解以下问题： （1）写出此平面简谐波的波函数； （2）求波射线上相距 2.5 m 的两点的相位差； （3）假如 t=0 时处于坐标原点的质点的振动位移为 y0=0.05m,且向平衡位置运动, 求初相位并写出波函数. 解：（1）要写波函数,第一步是建立坐标系.既然坐标原点已经给定,则可以取过坐 标原点的波射线为 x 轴, x 轴的指向与波射线的方向一致.对于这样的选择,在波函数 中 x 前的符号必定是负号.第二步就是求出坐标为 x 的质点在任意时刻的位移.因为 处于 x 的质点在任意时刻的相位都比处于坐标原点的质点的相位落后 2x / ,根据已 知条件,坐标原点在 t 时刻的相位为 t + ,所以在同一瞬间 x 点的相位必定为 t + − 2x / . 这样,我们就得到下面的波函数通式 cos( ) = + − x y A t 2 其中 1 0 10m 10m 2 4 0 rad s − A = . , = ,= /T = . ，代入上式,得 m 5 0.1cos(4 ) x y t = + − （2）因为波射线上 x 点在任意时刻的相位都比坐标原点的相位落后 2x / ,如 一点的位置在 x ,另一点的位置在 x+2.5 m ,它们分别比坐标原点的相位落后 = x 2 和 + 2 5 2 x . .所以这两点的相位差为 2 2 5 5 2 = = − + = ) . ( x x （3）这一问的要求就是根据所给条件求出φ。y = 0.05m 代入坐标原点的振动方程中, 可得
0.05=0.10c0s→c0sφ=0.5→中=± φ取正值还是负值或者两解都取,这要根据t=0时刻处于坐标原点的质点的运 动趋势来决定已知条件告诉我们初始时刻该质点的位移为正值,并向平衡位置运动 所以与这个质点的运动相对应的旋转矢量在初始时刻处于第一象限,应取正于是波函 数应写为 y=0.lcos(4t+π/3-πx/5)m 波动方程及其推导 为了从动力学角度研究波的传播规律,这里假设一列平面纵波沿横截面为S、密度 为ρ的均匀直棒无吸收地传播,取棒沿ⅹ轴,并将此波的波函数一般地表示为 在棒上任取一棒元△x,如图123中AB所示当波0 B 尚未到时截面A和截面B分别处于ⅹ和x+△x的位 置当波到达时棒元所发生的形变是长变或被拉伸,8一 或被压缩,并且各处的长变不同,截面A处的位移为 y,截面B处的位移为y+△y,因而分别达到图中 图123 的A和B位置棒元若被拉伸,则两端面受到的弹性力分别为f和2,如图123所示于 是可以列出棒元的运动方程 f-f=P(SAx)o y (12.11) 棒元原长为△x,当波传到时棒元的长变为(y+△y)-y=△y,所以拉伸应变为△y△ x当所取棒元无限缩小时拉伸应变可写为ay/o∂x.正如前面所说,当波传到时各处的拉 伸应变是不同的我们把ⅹ处的拉伸应变记为(ay/axhx根据胡克定律作用于棒元 处的弹性力的大小可以表示为 f 式中Y是直棒材料的杨氏模量我们把ⅹ+△x处的拉伸应变记为(oy/ax)x+△x,该处弹 性力的大小则为 f2=ys()
8 3 0 05 0 10 0 5 . = . cos cos = . = φ取正值还是负值,或者两解都取,这要根据 t = 0 时刻处于坐标原点的质点的运 动趋势来决定.已知条件告诉我们,初始时刻该质点的位移为正值,并向平衡位置运动, 所以与这个质点的运动相对应的旋转矢量在初始时刻处于第一象限,应取正.于是波函 数应写为 y = 0.1cos(4 t + / 3− x / 5)m 二、波动方程及其推导 为了从动力学角度研究波的传播规律,这里假设一列平面纵波沿横截面为 S、密度 为ρ的均匀直棒无吸收地传播,取棒沿 x 轴,并将此波的波函数一般地表示为 y = y(x,t) 在棒上任取一棒元△x ,如图 12.3 中 AB 所示.当波 尚未到时,截面 A 和截面 B 分别处于 x 和 x +△x 的位 置.当波到达时,棒元所发生的形变是长变(或被拉伸, 或被压缩),并且各处的长变不同,截面 A 处的位移为 y ,截面 B 处的位移为 y + △y,因而分别达到图中 的 A'和B' 位置.棒元若被拉伸,则两端面受到的弹性力分别为 1 2 f 和f ,如图 12.3 所示.于 是可以列出棒元的运动方程 2 2 2 1 t y f f S x − = ( ) (12.11) 棒元原长为△x,当波传到时,棒元的长变为（y+△y）－y = △y,所以拉伸应变为△y/△ x,当所取棒元无限缩小时,拉伸应变可写为 y / x .正如前面所说,当波传到时,各处的拉 伸应变是不同的,我们把 x 处的拉伸应变记为( y / x )x .根据胡克定律,作用于棒元 x 处的弹性力的大小可以表示为 x x y f YS( ) 1 = 式中 Y 是直棒材料的杨氏模量.我们把 x +△x 处的拉伸应变记为( y / x )x+△x,该处弹 性力的大小则为 x x x y f YS + = ( ) 2
棒元所受合力为 f-=S()+x-(与≈ByAx=p(SA)y (12.12 因为棒元△x很小所以在上式中略去了△x的高次方项将式(12.12)代入式(12.11 得 Ya (12.13) 这就是纵波的波动方程这个方程式虽然是从均匀直棒中推出的但适用于一般的固体 弹性介质 横波的情形能够产生和传播横波的弹性介质 必定是固体,因为只有固体在发生剪切时能够产生y+ 剪应力当横波沿横截面积为S、密度为ρ的均匀直 棒无吸收地传播时,直棒各处将发生剪切,并且不同 位置上剪应变的量也不同,因而产生或受到的剪应 力也不同图124画出了棒元△x发生剪切的示意 图,由图可见棒元的剪应变可表示为△y△x当所 图124 取棒元无限缩小时,剪应变可写为ay/axx处的剪应变为(oy/axk,该处所受弹性力的 大小应表示为 f=GS( 式中G是直棒材料的剪切模量,同样,ⅹ+△ⅹ处的剪应变为,该处所受弹性力的大小应 表示为 f =GS() 于是棒元所受合力为 f2-f=GSI()+Ar-()1*GS-2Ar 根据牛顿第二定律,列出该棒元的运动方程 fA2-f=p(SAr)oy (12.15) 由上两式整理后得 Ga (12.16) ot ax 上式就是横波的波动方程,它适用于能够传播横波的一切介质
9 棒元所受合力为 2 2 2 2 2 1 t y x S x x y YS x y x y f f YS x x x = − − = + [( ) ( ) ] ( ) (12.12) 因为棒元 △x 很小,所以在上式中略去了△x 的高次方项.将式(12.12)代入式(12.11), 得 2 2 2 2 x Y y t y = (12.13) 这就是纵波的波动方程.这个方程式虽然是从均匀直棒中推出的,但适用于一般的固体 弹性介质. 横波的情形.能够产生和传播横波的弹性介质 必定是固体,因为只有固体在发生剪切时能够产生 剪应力.当横波沿横截面积为 S、密度为ρ的均匀直 棒无吸收地传播时,直棒各处将发生剪切,并且不同 位置上剪应变的量也不同,因而产生或受到的剪应 力也不同.图 12.4 画出了棒元△x 发生剪切的示意 图,由图可见,棒元的剪应变可表示为△y/△x.当所 取棒元无限缩小时,剪应变可写为 y / x .x 处的剪应变为( y / x )x ,该处所受弹性力的 大小应表示为 x x y f GS( ) 1 = 式中 G 是直棒材料的剪切模量,同样,x +△x 处的剪应变为 ,该处所受弹性力的大小应 表示为 x x x y f GS + = ( ) 2 于是棒元所受合力为 x x y GS x y x y f f GS x x x − − = + 2 2 2 1 [( ) ( ) ] (12.14) 根据牛顿第二定律,列出该棒元的运动方程 2 2 2 1 t y f f S x − = ( ) (12.15) 由上两式整理后得 2 2 2 2 x G y t y = (12.16) 上式就是横波的波动方程,它适用于能够传播横波的一切介质