延安大学：《大学物理》课程教学讲稿（白少民）02-大学物理讲稿（第2章 力学中的守恒定律）

第2章力学中的守恒定律 关于物体运动规律的表述除了牛顿运动定律之外还有能量、动量和角动量三个 定理和三个守恒定律表面上看来这三个定理仅是牛顿运动方程的数学变形但物理学 的发展表明能量、动量和角动量是更为基本的物理量,它们的守恒定律具有更广泛 更深刻的意义能量、动量和角动量及其各自的守恒定律是既适用于宏观世界,又适用 于微观领域既适用于实物,又适用于场的物理量和运动规律 §2.1功和能机械能守恒定律 功及功率 1.功由前面的讨论可知,力可以使物体的运动状态发生变化那么力对空间的累积会 产生什么效应呢?在力学中,力对空间的积累效应表现为功受力情况不同功的表达方 式也就不同 恒力的功恒力即力的大小和方向在整个运动过程中均不变的力如图21所示 设物体在恒力F的作用下,由a沿直线运动到b,其位移为ΔF.由中学物理知道,力在位 移上的投影Fcos0与位移大小的乘积为力的功以A表示,即 A= Fcos 式中θ为F与位移△F的夹角由矢量代数知,两矢量的大小与它们之间夹角余弦的积为 一标量,称为标积因此功可用力与位移的标积表示,即 A=F·F (22) 功是标量其正负由和的夹角0决定由式(21)知,当0<丌/2,即cos0>0时,功为正 说明力对物体做正功(如物体下落时重力作的功);当0>π/2,即cos<0时,功为负说 明力对物体做负功(如物体上升时重力作的功);当θ=π/2,即cos=0时,功为零,说明 力与位移垂直时该力对物体不做功(如物体作曲线运动时的法向力作的功为零) 从功的定义可知功是一个标量若n个外力同时对某一物体作功时,则合外力所作 的功等于每个力对物体所作的功的代数和即 A 在国际单位制中,力的单位为牛顿位移的单位为米,则功的单位为焦耳(J,即功的 量纲为MLT 变力的功力的大小和方向在整个运动过程中是变化的称为变力物体在变力作 用下一般作曲线运动设物体在变力的作用下由a沿曲线运动到b在计算此变力的功时, 可以在物体运动的路径上任取一足够小的元弧As,它所对应的元位移为A而在元位

1 第 2 章力学中的守恒定律 关于物体运动规律的表述,除了牛顿运动定律之外,还有能量、动量和角动量三个 定理和三个守恒定律.表面上看来,这三个定理仅是牛顿运动方程的数学变形,但物理学 的发展表明,能量、动量和角动量是更为基本的物理量,它们的守恒定律具有更广泛、 更深刻的意义.能量、动量和角动量及其各自的守恒定律是既适用于宏观世界,又适用 于微观领域;既适用于实物,又适用于场的物理量和运动规律. §2.1 功和能 机械能守恒定律 一 、 功及功率 1. 功 由前面的讨论可知,力可以使物体的运动状态发生变化,那么力对空间的累积会 产生什么效应呢?在力学中,力对空间的积累效应表现为功,受力情况不同,功的表达方 式也就不同. 恒力的功 恒力即力的大小和方向在整个运动过程中均不变的力.如图 2.1 所示, 设物体在恒力 F 的作用下,由 a 沿直线运动到 b,其位移为 r   . 由中学物理知道,力在位 移上的投影 F cos 与位移大小的乘积为力的功,以 A 表示，即 A F r  = cos  (2.1) 式中  为 F 与位移 r   的夹角.由矢量代数知,两矢量的大小与它们之间夹角余弦的积为 一标量, 称为标积.因此,功可用力与位移的标积表示,即 A F r   = •  (2.2) 功是标量,其正负由和的夹角  决定.由式(2.1)知,当   / 2,即 cos  0 时,功为正, 说明力对物体做正功(如物体下落时重力作的功);当   / 2,即 cos  0 时,功为负,说 明力对物体做负功(如物体上升时重力作的功);当  = / 2,即 cos = 0 时,功为零,说明 力与位移垂直时该力对物体不做功(如物体作曲线运动时的法向力作的功为零). 从功的定义可知,功是一个标量,若 n 个外力同时对某一物体作功时,则合外力所作 的功等于每个力对物体所作的功的代数和.即 = = n i A Ai 0 在国际单位制中,力的单位为牛顿,位移的单位为米,则功的单位为焦耳(J),即.功的 量纲为 MLT. 变力的功 力的大小和方向在整个运动过程中是变化的称为变力.物体在变力作 用下一般作曲线运动.设物体在变力的作用下由a沿曲线运动到b.在计算此变力的功时, 可以在物体运动的路径上任取一足够小的元弧 i s ,它所对应的元位移为 i r   .而在元位

移A的范围内可认为力是恒力F力在元位移A中对物体所作的元功以△4表示由 式(22)知: △A=F·AF 把a到b的总路程分为N个位移元,并考虑N→∞,求和变为积分,则沿此曲线力所 作的总功为 A=F…AF一 0「dA=「F…d (24) 式中a、b表示曲线运动的起点和终点(24)式即为计算变力作功的一般公式在数学上 称为F的曲线积分其在直角坐标系中可表示为 A=d=F·d=(F2+F+Fd) (25) 例2.1如图23所示水平外力P把单摆从铅直位置(平衡位置)O点拉到与铅直 线成θ角的位置试计算力对摆球所作的功(摆球的质量 m与摆线的长度l为已知且在拉小球的过程中每一位置 都处于准平衡态) T 解由题意知小球在任一位置都处于准平衡态,其平 衡方程可表示为 水平方向P-Tsin0=0 竖直方向Tcos0-mg=0 可得P= mg tan0(变力) 当小球在θ位置处沿圆弧作微位移φ时,力P所作的元功为 dA= P.dr= Pdrcos 0= Pcos e lde= mgl sin e de 单摆在θ从0到00的过程中拉力P所作的功为 A=da= mglsin0 de=mgl(1-cos 0o) 同样可讨论重力对小球所作功。 例22一质量为2×103kg的卡车启动时在牵引力F=6×103N的作用下,自原点 处从静止开始沿ⅹ轴作直线运动求在前10s内牵引力所作的功 解已知力与时间的关系F=6×103N,但不知道力与质点坐标的函数关系,因此 不能直接应用公式来计算功,应先求出x()的表达式才能计算力的功

2 移 i r   的范围内可认为力是恒力 Fi  .力在元位移 i r   中对物体所作的元功以 Ai 表示.由 式(2.2)知: i i i A F r    =   (2.3) 把 a 到 b 的总路程分为 N 个位移元,并考虑 N→∞，求和变为积分，则沿此曲线力所 作的总功为    = • ⎯⎯⎯ ⎯→ = • →  → = b a b a N r N i i i A F r dA F dr      0 1 , (2.4) 式中 a、b 表示曲线运动的起点和终点.(2.4)式即为计算变力作功的一般公式,在数学上 称为 F 的曲线积分.其在直角坐标系中可表示为    = = • = + + b a x y z b a b a A dA F dr (F dx F dy F dz)   (2.5) 例 2.1 如图 2.3 所示,水平外力 P 把单摆从铅直位置(平衡位置)O 点拉到与铅直 线成 0 角的位置.试计算力对摆球所作的功(摆球的质量 m与摆线的长度 l为已知,且在拉小球的过程中每一位置 都处于准平衡态). 解 由题意知小球在任一位置都处于准平衡态,其平 衡方程可表示为 水平方向 P −T sin = 0 竖直方向 T cos  − mg = 0 可得 P = mg tan（变力） 当小球在  位置处沿圆弧作微位移 dr  时,力 P 所作的元功为 dA = P• dr = Pdr cos = Pcos ld = mglsin d   单摆在  从 0 到 0 的过程中拉力 P 所作的功为 sin ( cos )0 0 1 0 = =   = −     A dA mgl d mgl 同样可讨论重力对小球所作功。 例 2.2 一质量为 2 10 kg 3  的卡车启动时在牵引力 6 10 N 3 F t x =  的作用下,自原点 处从静止开始沿 x 轴作直线运动.求在前 10s 内牵引力所作的功. 解 已知力与时间的关系 6 10 N 3 F t x =  ,但不知道力与质点坐标的函数关系,因此 不能直接应用公式来计算功,应先求出 x(t) 的表达式才能计算力的功.   0 l T mg m s P P

dhFx6×10°t 31→d=3tt 1.5t 2×10 →ax=ud=1.5t2at dt 故牵引力在前10s内作的功 F=9×10=2510( 2.功率在实际问题中不仅需要知道力所作的功,而且还需要知道作功的快慢力在单 位时间内所作的功称为功率用P表示设在时间M内所作的功为△A,则在这段时间内 的平均功率为 △4 △t→O de t dt (2.7) 可见瞬时功率等于力与速度的标积 在国际单位制中功率的单位是(J·s-1)称为瓦特(W)其量纲为 功率还常用千瓦(KW)、马力(HP)作单位其换算关系为 IHP=0.735KW 、动能和动能定理 大家知道,飞行的子弹能够穿透木板而作功;落下的铁锤能够把木桩打进泥土而作 功等等运动着的物体具有作功的本领叫动能当子弹穿过木板时,由于阻力对子弹作负 功使子弹的速度减小可见,力作功的结果将改变物体的运动状态以此为线索,建立力 的空间累积(功)与状态变化的关系 1.质点的动能定理 首先讨论物体在恒合外 F 力的作用下作匀加速直线运 动的情况如图所示,物体的质 量为m,初速度为U0,所受合外 S 力为F,加速度为a经过位移s后的速度为υ按直线运动的规律及牛顿第二定理有得合 外力对物体所作的功为 A=F·A=Fs=ma 2a

3 0 0 2 3 3 3 3 1 5 2 10 6 10 t d tdt t t m F dt d x t . , = →  = ⎯⎯⎯→ =   = =  = = dx dt t dt dt dx 2  = → =  =1.5 故牵引力在前 10s 内作的功 . (J) 7 10 0 3 3 = = 9 10 = 2 2510   A F dx t dt x 2. 功率 在实际问题中,不仅需要知道力所作的功,而且还需要知道作功的快慢.力在单 位时间内所作的功称为功率,用 P 表示.设在时间 t 内所作的功为 A ,则在这段时间内 的平均功率为 dt dA P t A P t ⎯ ⎯→ =   =  →0 (2.6) = =  =      F dt dr F dt dA P （2.7） 可见,瞬时功率等于力与速度的标积. 在国际单位制中,功率的单位是 (J·s-1)称为瓦特(W).其量纲为 . 功率还常用千瓦(KW)、马力(HP)作单位,其换算关系为 1HP = 0.735KW 二、动能和动能定理 大家知道,飞行的子弹能够穿透木板而作功;落下的铁锤能够把木桩打进泥土而作 功等等.运动着的物体具有作功的本领叫动能.当子弹穿过木板时,由于阻力对子弹作负 功,使子弹的速度减小.可见,力作功的结果将改变物体的运动状态.以此为线索,建立力 的空间累积 (功)与状态变化的关系. 1. 质点的动能定理 首先讨论物体在恒合外 力的作用下作匀加速直线运 动的情况.如图所示,物体的质 量为m,初速度为 0  ,所受合外 力为 F,加速度为 a,经过位移 s 后的速度为   ,按直线运动的规律及牛顿第二定理有得合 外力对物体所作的功为 a A F r Fs ma 2 2 0 2  −  =  = =   0  m F    s

A (2.8) 上式中出现了一个其值取决于质点的质量和速率的物理量m2,它是质点运动状态 的函数我们将m2定义为质点的动能并用EA来表示 Ek (28)式亦可写成 A=Ek-EAo=△Ek 上式表明:恒合外力对物体所作的功等于物体动能的增量此即动能定理 因动能的变化用功来量度,故动能与功的单位相同在国际单位制中动能的单位也 为焦耳(J) 当合外力是变力,物体作曲线运动的情况下,仍可以得到(29)式的结果如图所示 根据牛顿第二定理在位移元内的元功可表示为 dA=Fdr=Fcos aldr=F.=m. ds=oc 式中d=为元弧长设物体在a点的速率为在b点的速率为则在ab路径上作 的功为 A=Fb= Cosma=d-m山 m△ A=E-E=△E=-m 可见物体无论是受恒力还是变力作用,沿直线还是曲线运动都满足(29)式,即合外力对

4 即： 2 0 2 2 1 2 1 A = m − m （2.8） 上式中出现了一个其值取决于质点的质量和速率的物理量 2 2 1 m ,它是质点运动状态 的函数,我们将 2 2 1 m 定义为质点的动能,并用 Ek 来表示: 2 2 1 Ek = m (2.8)式亦可写成 A = Ek − Ek0 = Ek (2.9) 上式表明:恒合外力对物体所作的功等于物体动能的增量,此即动能定理. 因动能的变化用功来量度,故动能与功的单位相同,在国际单位制中,动能的单位也 为焦耳(J)。 当合外力是变力,物体作曲线运动的情况下,仍可以得到(2.9)式的结果.如图所示, 根据牛顿第二定理,在位移元内的元功可表示为 =    =  =  = = ds m d dt d dA F dr F dr Frds m    cos 式中 ds dr  = 为元弧长.设物体在 a 点的速率为 0  在 b 点的速率为   ,则在 ab 路径上作 的功为   = • =  b a b a A F dr F dr    cos    = = b a b a r ds dt d F ds m 2 0 2 2 1 2 1 =  =   =  −    m d m m dt ds md b a b a 即： 2 0 2 0 2 1 2 1 A = Ek − Ek = Ek = m − m 可见,物体无论是受恒力还是变力作用,沿直线还是曲线运动都满足(2.9)式,即合外力对  dr   F  

物体所作的总功等于物体动能的增量所以(29)式是动能定理的普遍表达式 由式(29)可知,当外力对物体作正功时(A>0),物体的动能增加;当外力对物体作负功时 (A<0)物体的动能减少,亦即物体反抗外力作功,此时物体依靠动能的减少来作功;若 (A=0),则外力不作功物体的动能不变 例题2.3对例题2.1采用动能定理求解 解由于小球在任一时刻都处于平衡态其动能的增量△EA=0,由动能定理得 Ar+Ap+ Amg=0 又拉力T与d始终垂直而不做功,所以A=0 所以 Ap=-Amg=-J. mg cos(90+0)lde=mg/(1-cos 0o) 所得结果与例题2.1的结果相同,但用动能定理求解要简单的多 例题24一物体由斜面底部以初速度U=20ms向斜面上方冲去,又回到斜面 底部时的速度为υ=10mS-1,设物体与斜面间有滑动摩擦求物体上冲的最大高度 解本题可以用运动方程求解,也 可以用动能定理求解这里选用动能Uo=20ms 定理来求解设物体的质量为m斜面 10m·s-1 h 夹角为θ,物体与斜面间的摩擦系数 为μ,物体上冲的最大高度h。对于物 体的上冲过程,重力和摩擦力对物体作负功,使物体上冲到最高点时,U=0.在垂直于斜 面的方向上N- mgcosθ=0,则其滑动摩擦力f=μN= pmg cosθ 上冲过程中外力所作的总功为 A=(mg sin A-H g cos 0)=-n sin e 由动能定理有 white=0 (1) 同理,对于下滑过程外力所作的总功为 h 由动能定理得

5 物体所作的总功等于物体动能的增量.所以(2.9)式是动能定理的普遍表达式. 由式(2.9)可知,当外力对物体作正功时(A>0),物体的动能增加;当外力对物体作负功时 (A<0),物体的动能减少,亦即物体反抗外力作功,此时物体依靠动能的减少来作功;若 (A=0),则外力不作功,物体的动能不变. 例题 2.3 对例题 2.1 采用动能定理求解. 解 由于小球在任一时刻都处于平衡态,其动能的增量 Ek = 0,由动能定理得 AT + AP + Amg = 0 又拉力T与dr始终垂直而不做功，所以AT = 0   所以：    = − = −  0 A A mg dr P mg   cos( ) ( cos ) 0 0 90 1 0 = − +   = −     mg ld mgl 所得结果与例题 2.1 的结果相同,但用动能定理求解要简单的多. 例题 2.4 一物体由斜面底部以初速度 1 0 20m s −  =  向斜面上方冲去,又回到斜面 底部时的速度为 1 f 10m s −  =  ,设物体与斜面间有滑动摩擦.求物体上冲的最大高度. 解 本题可以用运动方程求解,也 可以用动能定理求解.这里选用动能 定理来求解.设物体的质量为 m,斜面 夹角为  ,物体与斜面间的摩擦系数 为 ,物体上冲的最大高度 h。对于物 体的上冲过程,重力和摩擦力对物体作负功,使物体上冲到最高点时,  = 0.在垂直于斜 面的方向上, N − mgcos  = 0,则其滑动摩擦力 f r = N = mgcos. 上冲过程中,外力所作的总功为 = − −    = −  −   mgh mghctg h A mg mg sin ( sin cos ) 由动能定理有 (1) 2 1 2 1 0 2 0 2 − mgh − mghctg = − m0 = − m 同理,对于下滑过程外力所作的总功为 = −   =  −  mgh mghctg h A mg mg sin ( sin cos ) 由动能定理得 h = ? 1 1 0 10 20 − −  =   =  m s m s f m 