下面讨论n之m的情形.假设当次数小于n时，g(x),(x)的存在已证现来看次数为n的情形 令a,bx"分别是f(x),g(x)的首项，显然b'ar-"g(x)与f(x)有相同的首项，因而多项式 f(x)=f(x)-b-ax"-"g(x) 的次数小于n或为0.对于后者，取q(x)=ba-,(x)=0对于前者，由归纳法假设，对f(x),g(x) 有q(x,r(x)存在使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 其中((x》<(g(x》或者r(x)=0.于是 f(x)=(gi(x)+bax"-m)g(x)+(x), 也就是说有q(x)=g,(x)+b'a-m,r(x)=r(x)使f(x)=q(x)g(x)+r(x) 成立由归纳法原理，对任意的∫(x),g(x)≠0，q(x),r(x)的存在性就证明了 下面来证唯一性设另有多项式g(x),r'(x)使 f(x)=q（x)g(x)+r'(x) 其中r(x)<(g(x)》或者r'=0.于是 q(x)g(x)+r(x)=q(x)g(x)+r(x) 即 (g(x)-g(x)8(x)=r(x)-r(x) 如果q(x)≠g(x).又据假设g(x)≠0，那么r'(x)-r(x)≠0，且有 aqx)-q'(x)+(g(x》=ar(x)-(x》 但是(g(x》>a(r(x)-r(x》,所以上式不可能成立这就证明了qx)≠q(w),因此(x)=r'(x) 带余除法中所得的qx)通常称为g(x)除f(x)的商称，(x)为g(x)除f(x)的余式 定义5数域P上的多项式g(x)称为整除∫(x),如果有数域P上的多项式(x)使等式 f(x)=g(x)hx)成立我们用"g(x)f(x)"表示g(x)整除f(x),用g(x)f(x)表示g(x)不能整除
下面讨论 n m 的情形.假设当次数小于 n 时, q x r x ( ), ( ) 的存在已证.现来看次数为 n 的情形. 令 , n m ax bx 分别是 f x( ) , g x( ) 的首项,显然 1 ( ) n m b ax g x − − 与 f x( ) 有相同的首项,因而多项式 1 1 ( ) ( ) ( ) n m f x f x b ax g x − − = − 的次数小于 n 或为 0 .对于后者,取 1 ( ) , ( ) 0 n m q x b ax r x − − = = ;对于前者,由归纳法假设,对 f x( ) , g x( ) 有 q x r x ( ), ( ) 存在使 1 1 1 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 其中 1 ( ( )) ( ( )) r x g x 或者 1 r x( ) 0 = .于是 1 1 1 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) n m f x q x b ax g x r x − − = + + , 也就是说,有 1 1 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) n m q x q x b ax r x r x − − = + = 使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 成立.由归纳法原理,对任意的 f x g x q x r x ( ), ( ) 0, ( ), ( ) 的存在性就证明了. 下面来证唯一性.设另有多项式 q x r x ( ), ( ) 使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 其中 ( ( )) ( ( )) r x g x 或者 r = 0 .于是 q x g x r x ( ) ( ) ( ) + = + q x g x r x ( ) ( ) ( ) 即 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) q x q x g x r x r x − = − 如果 q x( ) q x ( ) .又据假设 g x( ) 0 ,那么 r x r x ( ) ( ) 0 − ,且有 − + = − ( ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) ( )) q x q x g x r x r x 但是 − ( ( )) ( ( ) ( )) g x r x r x ,所以上式不可能成立.这就证明了 q x( ) q x ( ) ,因此 r x r x ( ) ( ) = 带余除法中所得的 q x( ) 通常称为 g x( ) 除 f x( ) 的商称,r x( ) 为 g x( ) 除 f x( ) 的余式. 定义 5 数域 P 上的多项式 g x( ) 称为整除 f x( ) ,如果有数域 P 上的多项式 h x( ) 使等式 f x g x h x ( ) ( ) ( ) = 成立.我们用 " ( ) ( )" g x f x 表示 g x( ) 整除 f x( ) ,用 g x( ) |/│ f x( ) 表示 g x( ) 不能整除
f(x) g(x/(x)时，g(x)就称为f(x)的因式，f(x)称为g(x)的倍式 当g(x)≠0时，带余除法给出了整除性的一个判别法」 定理1对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(x),其中g(x)≠0，gx)儿f(x)的充分必要条 件是g(x)除∫(x)的余式为零. 证明如果r(x)=0,那么fx)=qx)g(x),即g(x)f(x)反过米，如果g(x)f(x),那么 f(x)=q(x)g(x)=q(x)g(x)+0.r(x)=0. 带余除法中g(x)必须不为零但g(x)f(x)中，g(x)可以为零这时 f(x)=g(x)-(x)=0.h(x)=0. 当gx/)时.如g≠0.g除了)所得的商g)有时也用用来表示 g(x) 由定义还可看出，任一个多项式f(x)一定整除它自身，即f(x)f(x).因为f(x)=1f(x):任一个 多项式f(x)都整除零多项0，因为0=0·f(x);零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式，因 为当a≠0时，fx)=a(afx). 下面介绍整除性的几个常用的性质 1.如果fx)g(),g(x)f(x),那么f(x)=cg(x),其中c为非零常数 事实上，由f(x)g(x)有g(x)=h(x)f(x),由g(x)f(x)有f(x)=h(x)g(x).于是 f(x)=h(x)h(x)f(x) 如果fx)为零，那么g(x)也为零，结论显然成立如果f(x)≠0，那么消去f(x)就有 (x)h(x)=1 从而4(x)》+0h,(x》=0.由此即得h(x》=(h,(x》=0,故h(x)是一非零常数 2.如果f(x)g(x),g(x)hx)那么f(x)hx)(整除的传递性) 显然，由
f x( ) . g x f x ( ) ( ) 时, g x( ) 就称为 f x( ) 的因式, f x( ) 称为 g x( ) 的倍式. 当 g x( ) 0 时,带余除法给出了整除性的一个判别法. 定理 1 对于数域 P 上的任意两个多项式 f x g x ( ), ( ),其中 g x( ) 0 , g x f x ( ) ( ) 的充分必要条 件是 g x( ) 除 f x( ) 的余式为零. 证明 如果 r x( ) 0 = , 那么 f x q x g x ( ) ( ) ( ) = , 即 g x f x ( ) ( ) 反过来, 如果 g x f x ( ) ( ) , 那么 f x q x g x q x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = = + ,即 r x( ) 0 = . 带余除法中 g x( ) 必须不为零.但 g x f x ( ) ( ) 中, g x( ) 可以为零.这时 f x g x h x h x ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 = = = . 当 g x f x ( ) ( ) 时,如 g x g x ( ) 0, ( ) 除 f x( ) 所得的商 q x( ) 有时也用 ( ) ( ) f x g x 来表示. 由定义还可看出,任一个多项式 f x( ) 一定整除它自身,即 f x f x ( ) ( ).因为 f x f x ( ) 1 ( ) = ;任一个 多项式 f x( ) 都整除零多项 0 ,因为 0 0 ( ) = f x ;零次多项式,也就是非零常数,能整除任一个多项式,因 为当 a 0 时, 1 f x a a f x ( ) ( ( )) − = . 下面介绍整除性的几个常用的性质: 1. 如果 f x g x ( ) ( ), g x f x ( ) ( ),那么 f x cg x ( ) ( ) = ,其中 c 为非零常数. 事实上,由 f x g x ( ) ( ) 有 1 g x h x f x ( ) ( ) ( ) = ,由 g x f x ( ) ( ) 有 2 f x h x g x ( ) ( ) ( ) = .于是 1 2 f x h x h x f x ( ) ( ) ( ) ( ) = 如果 f x( ) 为零,那么 g x( ) 也为零,结论显然成立.如果 f x( ) 0 ,那么消去 f x( ) 就有 1 2 h x h x ( ) ( ) 1 = 从而 1 2 + = ( ( )) ( ( )) 0 h x h x .由此即得 1 2 = = ( ( )) ( ( )) 0 h x h x ,故 2 h x( ) 是一非零常数. 2. 如果 f x g x ( ) ( ), g x h x ( ) ( ) 那么 f x h x ( ) ( ) (整除的传递性). 显然,由
g(x)=g(x)f(x).h(x)=h(x)g(x) 即得x)=((x)gx)》f(x). 3.如果f(x)g(x,i=12,.,那么 fx)4(xg(x)+4,(x)g(x)+.24,(x)g,(x) 其中4(x)是数域P上任意的多项式. 由g(x)=h(x)fx),i=L2.,r,即得 4(xg(x)+4(x)g(x)+4,(x)g,(x》=(4(x)h(x)+(x)h(x)+,(x)h,(x)f(x) 通常4(x)g(x)+山(x)g2(x)+.4,(x)g(x)》称为多项式g(x),g2(x),.g,(x)的一个组合. 由以上性质可以看出，多项式f(x)与它一任一个非零常数倍cf(x(c≠0)有相同的因式也有相 同的倍式因之，在多项式整除性的讨论中，∫(x)常常可以用c(x)来代替 最后我们指出，两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变也就是说，如果 fx)、gx)是Px)中两个多项式，P是包含P的一个较大的数域当然，f(x,g(x)也可以看成是 Px)中的多项式从带余除法可以看出不论把f(x),g(x)看成是Px)]中或者是P八冈中的多项式用 g(x)去除f(x)所得的商式及余式都是一样的.因此，如果在PL]中g(x)不能整除f(x),那么P]在 中，g(x)也不能整除f(x) 作业：证明：xf(x)g(x)台xf(x)或xg(x) 预习：下一节的基本概念 §4最大公因式 教学目标掌握最大公因式的概念、组合表示及求法互素的概念、充要条件与性质 教学重点：最大公因式的概念、组合表示，互素的充要条件与性质， 教学方法：讲授法
1 1 g x g x f x h x h x g x ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) = = 即得 1 1 h x h x g x f x ( ) ( ( ) ( )) ( ) = . 3. 如果 ( ) ( ), 1,2, , , i f x g x i r = ,那么 1 1 2 2 ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) r r f x u x g x u x g x u x g x + + 其中 ( ) i u x 是数域 P 上任意的多项式. 由 ( ) ( ) ( ), 1,2, , i i g x h x f x i r = = ,即得 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) r r u x g x u x g x u x g x + + 1 1 2 2 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) r r = + + u x h x u x h x u x h x f x 通常 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) r r u x g x u x g x u x g x + + 称为多项式 1 2 ( ), ( ), , ( ) r g x g x g x 的一个组合. 由以上性质可以看出,多项式 f x( ) 与它一任一个非零常数倍 cf x c ( )( 0) 有相同的因式,也有相 同的倍式.因之,在多项式整除性的讨论中, f x( ) 常常可以用 cf x( ) 来代替. 最后我们指出,两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变.也就是说,如果 f x( ) 、 g x( ) 是 P x[ ] 中两个多项式, P 是包含 P 的一个较大的数域.当然, f x g x ( ), ( ) 也可以看成是 P x[ ] 中的多项式.从带余除法可以看出不论把 f x g x ( ), ( ) 看成是 P x[ ] 中或者是 P x[ ] 中的多项式,用 g x( ) 去除 f x( ) 所得的商式及余式都是一样的.因此,如果在 P x[ ] 中 g x( ) 不能整除 f x( ) ,那么 P x[ ] 在 中, g x( ) 也不能整除 f x( ) . 作业: 证明： x f x g x x f x ( ) ( ) ( ) 或 x g x( ) 预习: 下一节的基本概念 §4 最大公因式 教学目标: 掌握最大公因式的概念、组合表示及求法,互素的概念、充要条件与性质. 教学重点: 最大公因式的概念、组合表示，互素的充要条件与性质. 教学方法: 讲授法
教学过程 如果多项式p(x)既是f(x)的因式，又是g(x)的因式，那么(x)就称为f(x)与g(x)的一个公 因式。在公因式中占有特殊重要地位的是所谓最大公因式 定义6设fx,g(x)是PL)中两个多项式.PLx]中多项式d(x)称为f(x),g(x)的一个最大公 因式，如果它满足下面两个条件： 1)d(x)是f(x),g(x)的公因式 2)f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式 例如，对于任意多项式f(x),f(x)就是与0的一个最大公因式特别地，根据定义，两个零多项式的 最大公因式就是0 在有了以上的定义之后，我们首先要解决的是最大公因式的存在问题，以下的证明也给 了 具体求法 最大公因式的存在性的证明主要根据带余除法，关于带余除法我们指出以下事实如果 等式 f(x)=q(x)g(x)+r(x) (1) 成立，那么fx),g(x)和g(x,r(x)有相同公因式.事实上，如果x)g(x,x)(x),那么由() (x)f(x).这就是说，g(x,r(x)的公因式全是f(x,g(x)的公因式反过来，如果 x)儿f(x,p(x)g(x),那么p(x)一定整除它们的组合.r(x)=f(x)-q(x)g(x)这就是说.p(x)是 g(x),r(x)的公因式由此可见如果g(x),r(x)有一个最大公因式d(x),那么d(x)也就是f(x,g(x) 的一个最大公因式 定理2对于PLx)中任意两个多项式f(x),g(x),在PLx)中存在一个最大公因式d(x),且d(x) 可以表成f(x,gx)的一个组合，即有P中多项式(x,(x)使 d（x)=x)f(x)+(x)g(x) (2) 证明如果f(x),g(x)有一个为零，臂如说g(x)=0,那么f(x)就是一个最大公因式，且 fx)=1fx)+10 下面来看一般的情形无妨设g(x)≠0按带余除法，用g(x)除f(x),得到商4，(x),余式(x):如 果r(x)≠0，就再用(x)除g(x),得到商q2(x),余式5(x);又如果5(x)≠0，就用5(x)除(x),得出
教学过程: 如果多项式 ( ) x 既是 f x( ) 的因式，又是 g x( ) 的因式，那么 ( ) x 就称为 f x( ) 与 g x( ) 的一个公 因式。在公因式中占有特殊重要地位的是所谓最大公因式. 定义 6 设 f x g x ( ), ( ) 是 P x[ ] 中两个多项式. P x[ ] 中多项式 d x( ) 称为 f x g x ( ), ( ) 的一个最大公 因式,如果它满足下面两个条件: 1) d x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的公因式; 2) f x g x ( ), ( ) 的公因式全是 d x( ) 的因式. 例如,对于任意多项式 f x( ) , f x( ) 就是与 0 的一个最大公因式.特别地,根据定义,两个零多项式的 最大公因式就是 0 在有了以上的定义之后,我们首先要解决的是最大公因式的存在问题,以下的证明也给 了一个具体求法. 最大公因式的存在性的证明主要根据带余除法,关于带余除法我们指出以下事实:如果 等式 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + (1) 成立,那么 f x g x ( ), ( ) 和 g x r x ( ), ( ) 有相同公因式. 事实上, 如果 ( ) ( ), ( ) ( ) x g x x r x , 那么由(1) ( ) ( ) x f x .这就是说, g x r x ( ), ( ) 的公因式全是 f x g x ( ), ( ) 的公因式.反过来,如果 ( ) ( ), ( ) ( ) x f x x g x ,那么 ( ) x 一定整除它们的组合.r x f x q x g x ( ) ( ) ( ) ( ) = − 这就是说. ( ) x 是 g x r x ( ), ( ) 的公因式.由此可见,如果 g x r x ( ), ( ) 有一个最大公因式 d x( ) ,那么 d x( ) 也就是 f x g x ( ), ( ) 的一个最大公因式. 定理 2 对于 P x[ ] 中任意两个多项式 f x g x ( ), ( ),在 P x[ ] 中存在一个最大公因式 d x( ) ,且 d x( ) 可以表成 f x g x ( ), ( ) 的一个组合,即有 P x[ ] 中多项式 u x v x ( ), ( ) 使. d x u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + (2) 证明 如果 f x g x ( ), ( ) 有一个为零, 臂如说 g x( ) 0 = , 那么 f x( ) 就是一个最大公因式,且 f x f x ( ) 1 ( ) 1 0 = + 下面来看一般的情形.无妨设 g x( ) 0 .按带余除法,用 g x( ) 除 f x( ) ,得到商 1 q x( ) ,余式 1 r x( ) ;如 果 1 r x( ) 0 ,就再用 1 r x( )除 g x( ) ,得到商 2 q x( ),余式 2 r x( ) ;又如果 2 r x( ) 0 ,就用 2 r x( ) 除 1 r x( ) ,得出