《线性代数》习题解答

20 10 312 011 02 3) 130 1×(-1)1×2 2 2×(-1)2×2 3×(-1)3×2-36 4×(-1)4×2」 l×1+2×0+3×31×2+2×1+3×01×0+2×1+3×(-1) -2×1+1×0+2×3-2×2+1×1+2×0-2×0+1×1+2×(-1) 104-1 4-3 0 1×1+0×(-1)+1×0 312 12 0×1+2×(-1)-1×0= 031 1-110‖0 1×1+1×(-1)+0×0 312 3×1+1×(-2)+2×(-2)1「-3 0×1+3×(-2)+1×(-2) A=021 B=012 013 102 求:1)(4+B)(A-B) 2)A2-B2 比较1)和2)的结果,可得出什么结论? 解:1)

3)           −       − 3 0 1 0 1 1 1 2 0 2 1 2 1 2 3 ; 4)           −           − −       0 1 1 1 1 0 0 2 1 1 0 1 0 3 1 3 1 2 解: 1)   1 3 2 1 1 2 1 2 1 3 1 2 1 = −  +  +  =           − 2)               − − − − =              −   −   −   −  − =             4 8 3 6 2 4 1 2 4 ( 1) 4 2 3 ( 1) 3 2 2 ( 1) 2 2 1 ( 1) 1 2 1 2 4 3 2 1 3)       − − − = =      −  +  +  −  +  +  −  +  +  −  +  +   +  +   +  +  − = =           −       − 4 3 1 10 4 1 2 1 1 0 2 3 2 2 1 1 2 0 2 0 1 1 2 ( 1) 1 1 2 0 3 3 1 2 2 1 3 0 1 0 2 1 3 ( 1) 3 0 1 0 1 1 1 2 0 2 1 2 1 2 3 4)       − − =       +  − +  −  +  − +  − =           − −       = =           −  +  − +   +  − −   +  − +        =           −           − −       8 3 0 1 3 ( 2) 1 ( 2) 3 1 1 ( 2) 2 ( 2) 2 2 1 0 3 1 3 1 2 1 1 1 ( 1) 0 0 0 1 2 ( 1) 1 0 1 1 0 ( 1) 1 0 0 3 1 3 1 2 0 1 1 1 1 0 0 2 1 1 0 1 0 3 1 3 1 2 4. 设           =           = 1 0 2 0 1 2 3 0 0 , 0 1 3 0 2 1 1 0 1 A B 求: 1) (A+B)(A-B); 2) A 2-B 2 . 比较 1)和 2)的结果, 可得出什么结论? 解: 1)

011「300 011「300 (A+B(A-B)=(021+012021-012b= 013|102013 033|01-1 360 2) 1011011「300T300 012012 013013 02|102 41「900 055-216 0510504 556 可得出的结论:大家知道,在代数公式上有a2-b2=a+ba-b),而将此公式中的a和b换成矩 阵A与B,就不一定成立了,这是因为矩阵乘法一般不满足交换律,即一般AB≠BA,当然也 就有A2-B2≠(A+B)-B 5.已知矩阵A,B,C,求矩阵XY使其满足下列方程 2X-Y=C X+r=(A+B) 解:将此方程编上号,用类似解线性方程组一样的办法来解, X-Y=C X+Y=(A+B 将方程(1)的左边和(2)的左边和左边相加,右边和右边相加,等号还是成立,得: 3X=C+(A+B) 两边同乘1/3,得 X=C+-(A+B) (2)式等号两边都加上X,得 Y=(A+B)-X (4) 将(3)式代入到(4)式,得 Y=(A+ B) 3(4+B)7=2 (4+B)-1 因此 X=-A+-B+-C Y==A+=B-=C 6.如矩阵AB=BA,则称A与B可交换,试证: 如果B1,B2都与A可交换,那么B1+B2,B1B2,也与A可交换; 2)如果B与A可交换,那么B的k>0)次幂B也与A可交换 证:1)因B,B2都与A可交换,即AB1=B1A,AB=B24,则 (B1+B2)4=BIA+ B2A=ABI+A B2=A(B1+ B2)

          − − − =           − − −           = =           −                     +           + − = 7 6 5 3 6 0 9 1 5 1 1 1 0 1 1 2 0 1 1 1 5 0 3 3 4 0 1 ) 1 0 2 0 1 2 3 0 0 0 1 3 0 2 1 1 0 1 )( 1 0 2 0 1 2 3 0 0 0 1 3 0 2 1 1 0 1 (A B)(A B) ( 2)           − − − − =           −           = =                     −                     − = 5 5 6 2 4 1 8 1 4 5 0 4 2 1 6 9 0 0 0 5 10 0 5 5 1 1 4 1 0 2 0 1 2 3 0 0 1 0 2 0 1 2 3 0 0 0 1 3 0 2 1 1 0 1 0 1 3 0 2 1 1 0 1 2 2 A B 可得出的结论: 大家知道, 在代数公式上有 a 2-b 2=(a+b)(a-b), 而将此公式中的 a和 b 换成矩 阵 A 与 B, 就不一定成立了, 这是因为矩阵乘法一般不满足交换律, 即一般 AB≠BA, 当然也 就有 A 2-B 2≠(A+B)(A-B). 5. 已知矩阵 A,B,C, 求矩阵 X,Y 使其满足下列方程:    + = + − = T X Y A B X Y C ( ) 2 解: 将此方程编上号, 用类似解线性方程组一样的办法来解,    + = + − = ( ) (2) 2 (1) T X Y A B X Y C 将方程(1)的左边和(2)的左边和左边相加, 右边和右边相加, 等号还是成立, 得: 3X=C+(A+B) T 两边同乘 1/3, 得 T X C (A B) 3 1 3 1 = + + (3) (2)式等号两边都加上 X, 得 Y=(A+B) T-X (4) 将(3)式代入到(4)式, 得 Y A B C A B A B C T T T 3 1 ( ) 3 2 ( ) 3 1 3 1 = ( + ) − − + = + − 因此      = + − = + + Y A B C X A B C T T T T 3 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 6. 如矩阵 AB=BA, 则称 A 与 B 可交换, 试证: 1) 如果 B1, B2 都与 A 可交换, 那么 B1+B2, B1B2, 也与 A 可交换; 2) 如果 B 与 A 可交换, 那么 B 的 k(k>0)次幂 B k也与 A 可交换. 证: 1) 因 B1, B2 都与 A 可交换, 即 AB1=B1A, AB2=B2A, 则 (B1+B2)A=B1A+B2A=AB1+AB2=A(B1+B2)

即B1+B2与A可交换.而且 (B1B2)A=B1(B2)=B1(B2)=(B1A)B2=(AB1)B2=4(B1B2) 因此B1B2与A可交换 2因B与A可交换,即AB=BA,则用归纳法,当k=1时,有B=B,结论显然成立 假设当k=m时假设成立,即ABm=B"A 则当k=m+1时,有 ABm+I=AB B=BmAB=BBA=B+lA 结论也成立 7.如矩阵A=A,则称A为对称矩阵 设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 证:已知A=A,B=B, 充分性假设AB=BA,则(AB)=BA=BA=AB,因此AB为对称矩阵 必要性:如果AB为对称矩阵,即(AB)=AB,则因 (AB)=BA=BA,可得BA=AB 8.设 其中a≠a,当ij(,j=1,2,…,m).试证:与A可交换的矩阵一定是对角矩阵 假设矩阵B={bn}n与A可交换,即有BA=AB,而BA相乘得到的矩阵为B的第j列所有元素 都乘上a得到的矩阵,AB相乘得到的矩阵为B的第i行元素都乘上a得到的矩阵即 BA={aby}n,AB={ab}m,但对于任给的i≠,因AB=BA,因此有ab=ab,因a≠a,所以 必有b=0,即B只能是对角矩阵 9.检验以下两个矩阵是否互为可逆矩阵 234 0123 01-21 A B 00 0001 0001 解:计算AB和BA如下

即 B1+B2 与 A 可交换. 而且 (B1B2)A=B1(B2A)=B1(AB2)=(B1A)B2=(AB1)B2=A(B1B2), 因此 B1B2 与 A 可交换. 2)因 B 与 A 可交换, 即 AB=BA, 则用归纳法, 当 k=1 时, 有 B 1=B, 结论显然成立. 假设当 k=m 时假设成立, 即 ABm =B mA, 则当 k=m+1 时, 有 ABm+1=ABmB=B mAB=B mBA=B m+1A, 结论也成立. 7. 如矩阵 A=A T , 则称 A 为对称矩阵. 设 A,B 都是 n 阶对称矩阵, 证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB=BA. 证: 已知 A=A T , B=B T , 充分性: 假设 AB=BA, 则(AB) T =B TA T =BA=AB, 因此 AB 为对称矩阵. 必要性: 如果 AB 为对称矩阵, 即(AB) T =AB, 则因 (AB) T =B TA T =BA, 可得 BA=AB. 8. 设             = an a a A  2 1 其中 ai≠aj, 当 i≠j (i, j = 1,2, …, n). 试证: 与 A 可交换的矩阵一定是对角矩阵. 证: 假设矩阵 B={bij}n 与 A 可交换, 即有 BA=AB, 而 BA 相乘得到的矩阵为 B 的第 j 列所有元素 都乘上 aj 得到的矩阵, AB 相乘得到的矩阵为 B 的第 i 行元素都乘上 ai 得到的矩阵. 即 BA={ajbij}n, AB={aibij}n, 但对于任给的 i,j,i≠j, 因 AB=BA, 因此有 ajbij=aibij, 因 ai≠aj, 所以 必有 bij=0, 即 B 只能是对角矩阵. 9. 检验以下两个矩阵是否互为可逆矩阵?             − − − =             = 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 0 , 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 3 1 2 3 4 A B 解: 计算 AB 和 BA 如下:

2341「1-210 AB0 12301-21 0012001-2 000 0001 1×11×(-2)+2×11×1+2×(-2)+3×12×1+3×(-2)+4×1 1×(-2)+2×11×1+2×(-2)+3×1 001000 0 001 0 0 0 101「1234 AB 0 100 0012 0001 11×2+(-2)×11×3+(-2)×2+1×11×4+(-2)×3+1×2 1×2+(-2)×11×3+(-2)×2+1×1 0001)00 l×1 1×2+(-2)×1 0010 000 0100 000 因此A与B确实互为逆矩阵 10.设A,BC为n阶方阵,且C非奇异,满足C-AC=B,求证Bm=C-A"C(m为正整数) 证:用归纳法,当m=1时条件已经成立为CAC=B,假设当m=k时,命题成立,即有 B=C-A℃C,则当m=k+1时,有 BH=BB=C1ACCC=C-1A(CC)AC=C4AC=C4AC=C-1A+C, 命题得证 1l.若n阶矩阵A满足A2-24-4/=0,试证A+l可逆,并求(A+Dy 证:将A2-2A4-4/=0改写为A2-24-3/=1 b土√b2-4 先解一元二次方程组x2-2x-3=0,根据公式 2±√4+12「3 其中a=1,b=-2,c=-3,则 因此可将多项式x2-2x-3因式分解为 x2-2x-3=x-3)(x+1),那么,根据矩阵相乘相加的性质也就能将A2-24-3/因式分解为 A2-2A-3=(4-3)(4+=A+D(4-3D,因此我们有 (4-3D(A+D)=(A+D(4-3=,即A+1与A-3/互为逆矩阵

4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 ( 2) 2 1 0 1 1 1 ( 2) 2 1 1 1 2 ( 2) 3 1 1 1 1 ( 2) 2 1 1 1 2 ( 2) 3 1 2 1 3 ( 2) 4 1 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 3 1 2 3 4 I AB =             =                − +    − +   +  − +    − +   +  − +   +  − +  = =             − − −              = 4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 2 ( 2) 1 0 1 1 1 2 ( 2) 1 1 3 ( 2) 2 1 1 1 1 1 2 ( 2) 1 1 3 ( 2) 2 1 1 1 4 ( 2) 3 1 2 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 3 1 2 3 4 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 0 I AB =             =                + −    + −   + −  +    + −   + −  +   + −  +  = =                          − − − = 因此 A 与 B 确实互为逆矩阵. 10. 设 A,B,C 为 n 阶方阵, 且 C 非奇异, 满足 C-1AC=B, 求证 B m =C-1A mC (m 为正整数). 证: 用归纳法, 当 m=1 时条件已经成立为 C-1AC=B, 假设当 m=k 时, 命题成立, 即有 B k =C-1A kC, 则当 m=k+1 时, 有 B k+1= B kB= C-1A kCC-1AC= C-1A k (CC-1 )AC= C-1A k IAC= C-1A kAC= C-1A k+1C, 命题得证. 11. 若 n 阶矩阵 A 满足 A 2-2A-4I=0, 试证 A+I 可逆, 并求(A+I) -1 . 证: 将 A 2-2A-4I=0 改写为 A 2-2A-3I=I, 先解一元二次方程组 x 2-2x-3=0, 根据公式 a b b ac x 2 4 2 1,2 −  − = 其中 a=1, b=-2, c=-3, 则    − =  + = 1 3 2 2 4 12 1,2 x , 因此可将多项式 x 2-2x-3 因式分解为 x 2-2x-3=(x-3)(x+1), 那么, 根据矩阵相乘相加的性质也就能将 A 2-2A-3I 因式分解为 A 2-2A-3I=(A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I), 因此我们有 (A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I)=I, 即 A+I 与 A-3I 互为逆矩阵

(4+D-l=A-31 12.证明:如果A=AB,但B不是单位矩阵,则A必为奇异矩阵 证:用反证法,假设A为可逆,其逆为A-1,则对于A=AB两边同时左乘A-1,得 A1A=A-AB,即|=B,这与B不是单位矩阵相矛盾,因此A必为奇异矩阵 13.判别下列矩阵是否初等矩阵? 0-20 010 001 01-4 3)010 001 解:1)是初等矩阵P(2(-2), 2)是初等矩阵P(1,3) 3)不是初等矩阵, 4)是初等矩阵P(3(-4),2) 14.求3阶方阵A满足 a1-5a3!al12 解:从等式看出A左乘一矩阵相当于对此矩阵作初等行变换rx(-5)+n,因此A为一相应的 初等矩阵 A=P(3(-5)1)=010 15.设A,B,C均为n阶可逆矩阵,且ABC=,证明BCA=1 证:因B,C为可逆矩阵,则BC也是可逆矩阵,且(BC)=CB 因ABC=,对此等式两边右乘(BO),即 1BC(BC)=(BO-1 因为BC(BO)1=,因此上式化简为A=(BCO)-1,因此当然有 BCA=BC(BC)-=/ 16.设A,B均为n阶方阵,且2 证明:A2=A的充分必要条件是B2= 证:充分性:假设B2=,则 4(B+D)=4B2+2B+D)=42+20)=2(B+)=4 必要性:如果A2=A,则有 (B+D)=(B+1)2=(B2+2B+1) 等式两边乘4得 2B+2Ⅰ=B2+2B+ 等式两边同时减去2B+得

(A+I) -1=A-3I. 12. 证明: 如果 A=AB, 但 B 不是单位矩阵, 则 A 必为奇异矩阵. 证: 用反证法, 假设 A 为可逆, 其逆为 A-1 , 则对于 A=AB 两边同时左乘 A-1 , 得 A-1A=A-1AB, 即 I=B, 这与 B 不是单位矩阵相矛盾, 因此 A 必为奇异矩阵. 13. 判别下列矩阵是否初等矩阵? 1)           − 0 0 1 0 2 0 1 0 0 , 2)           1 0 0 0 1 0 0 0 1 3)           0 1 0 0 0 1 1 0 2 , 4)           − 0 0 1 0 1 4 1 0 0 解: 1) 是初等矩阵 P(2(-2)), 2) 是初等矩阵 P(1,3), 3) 不是初等矩阵, 4) 是初等矩阵 P(3(-4), 2). 14. 求 3 阶方阵 A 满足           − − − =           31 32 33 21 22 23 11 31 12 32 13 33 31 32 33 21 22 23 11 12 13 5 5 5 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A 解: 从等式看出 A 左乘一矩阵相当于对此矩阵作初等行变换 r3×(-5)+r1, 因此 A 为一相应的 初等矩阵, 即           − = − = 0 0 1 0 1 0 1 0 5 A P(3( 5),1) 15. 设 A,B,C 均为 n 阶可逆矩阵, 且 ABC=I, 证明 BCA=I 证: 因 B,C 为可逆矩阵, 则 BC 也是可逆矩阵, 且(BC) -1=C-1B-1 , 因 ABC=I, 对此等式两边右乘(BC) -1 , 即 ABC(BC) -1=I(BC) -1 , 因为 BC(BC) -1=I, 因此上式化简为 A=(BC) -1 , 因此当然有 BCA=BC(BC) -1=I. 16. 设 A,B 均为 n 阶方阵, 且 ( ) 2 1 A = B + I , 证明: A 2=A 的充分必要条件是 B 2=I. 证: 充分性: 假设 B 2=I, 则 A = B + I = B + B + I = B + I = (B + I) = A 2 1 (2 2 ) 4 1 ( 2 ) 4 1 ( ) 4 2 1 2 2 必要性: 如果 A 2=A, 则有 ( 2 ) 4 1 ( ) 4 1 ( ) 2 1 2 2 B + I = B + I = B + B + I 等式两边乘 4 得 2B + 2I = B + 2B + I 2 , 等式两边同时减去 2B+I 得