例11证明D=x2x Mn-I in (x2-x,) (x, -,) (x2-x,) -xu 证D )x2(x2-xn) xn-(rm-1-xn):0 (x,-xn) x2-xn f(x -,) =(-1)1+n (x, -xn(x2-xn).(x_,) (xn-xn-1)(xn-xn=2)…( DD D=(xk-xk(xk-xk-2).(xk-XDDk-I (k=n,n-1…,3) x Dn=(xn-xn1)(xn-xn-2)…(xn-x2)xn-x1) 2)…( Xx )× (x3-x2)x3-x) (x2-x1) 例12证明D=
14 例 11 证明 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 − − − − − − − = n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x D = − j i n i j x x 1 ( ) . 证 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 ( ) ( 1) , ,2 n n n n n n n n n n n n n n n n n i x i i n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D n − − − − − − − − − = − − − − − − − − − − = 1 2 1 1 1 ( 1) ( )( ) ( ) − − + = − − n − n n − n n n x x x x x x D 1 2 1 1 ( )( ) ( ) = n − n− n − n− n − Dn− x x x x x x 1 2 1 1 ( )( ) ( ) k = k − k− k − k− k − Dk− D x x x x x x (k = n,n −1, ,3) 2 1 1 2 2 1 1 x x x x D = = − Dn = (xn − xn−1 )(xn − xn−2 )(xn − x2 )(xn − x1 ) (xn−1 − xn−2 )(xn−1 − x2 )(xn−1 − x1 ) ……………… (x3 − x2 )(x3 − x1 ) ( ) 2 1 x − x 例 12 证明 n nn n m mm m b b b b a a a a D 1 11 1 1 11 1 0 0 0 0 =
P1…·Pm a p Pr 前m行”行倍加* 0 后n列"列倍加 (P1…Pm)q1…qn)=D1D2 q1 定理4设i≠j,则JanA1+a212+…+anA1n=0 证只证第一式.i≠j时,有 D an4n+ap21n2+…+am1 a a< []结合定理3与定理4可得
15 m mm m a a a a 1 11 1 = n nn n b b b b 1 11 1 证 m m mm m m p p p p a a a a D 1 1 1 11 1 1 = = = 行倍加 n n nn n n q q q q b b b b D 1 1 1 11 1 2 = = = 列倍加 1 1 1 2 1 1 " " " " ( )( ) 0 0 0 0 p p q q D D q q p p D m n n m m n = = = 前 行 行倍加 后 列 列倍加 定理 4 设 i j , 则 + + + = + + + = 0 0 1 1 2 2 1 1 2 2 i j i j ni nj i j i j i n j n a A a A a A a A a A a A ． 证 只证第一式. i j 时, 有 = j jn i in a a a a D 1 1 = a j1Aj1 + a j2 Aj2 ++ a jnAjn = i in i in a a a a 1 1 0 = ai1Aj1 + ai2 Aj2 ++ ainAjn [注]结合定理 3 与定理 4 可得
Aa2+…+anA D(i=j) A 0(≠j 例13D 132,求A1+41+41+A l43 解法1因为D D与D的第1列元素的代数余子式相同 所以将D按第1列展开可得A1+A21+A1+A41=0 解法2因为D的第3列元素与D的第1列元素的代数余子式相乘求和 为0,即3A1+3A21+3421+341=0 所以 A1+A21+A31+A41=0 §17 Cramer法则 考虑线性方程组 aux,+aux+.+ai,x,=b, a12 a21x1+a2x2+…+a2nxn= b2 D=a21 a22 b b2 a2n b
16 = + + + = = + + + = 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 i j D i j a A a A a A i j D i j a A a A a A i j i j ni nj i j i j i n j n 例 13 1 4 3 2 4 1 3 2 2 4 3 1 1 2 3 4 D = , 求 A11 + A21 + A31 + A41． 解法 1 因为 0 1 4 3 2 1 1 3 2 1 4 3 1 1 2 3 4 D1 = = D1 与 D 的第 1 列元素的代数余子式相同 所以将 D1 按第 1 列展开可得 A11 + A21 + A31 + A41 = 0． 解法 2 因为 D 的第 3 列元素与 D 的第 1 列元素的代数余子式相乘求和 为 0,即 3A11 + 3A21 + 3A31 + 3A41 = 0 所以 A11 + A21 + A31 + A41 = 0 §1.7 Cramer 法则 考虑线性方程组 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n nn n n b a a b a a b a a D 2 2 22 2 1 12 1 (1) = , n n n nn n n a b a a a b a a a b a a D 1 3 21 2 23 2 11 1 13 1 (2) = , ……
定理5若D≠0,则方程组存在唯一解x=D (=1,2,…,n) 证存在性. a anle 0(∵1=r) ainIer a 第1行中元素an的代数余子式为 b, a1 D bn 将D按第1行展开可得 bd+ 0)+…+an(-D0) 因为D≠0,所以 D =b(i=1,2,…,n) D 故方程组有解x (=1,2,…,n) 唯一性.设方程组还有解x,x2…x,则 xD aux
17 定理 5 若 D 0, 则方程组存在唯一解 ( 1,2, , ) ( ) j n D D x j j = = . 证 存在性. 1 1 1 1 1 11 1 1 1 ~ + = i n n nj nn i i ij i n j n i i ij i n r r b a a a b a a a b a a a b a a a D 0 ( ) = 1 = i+1 r r 第 1 行中元素 ij a 的代数余子式为 n n n j n j n n j j n j i j b a a a a b a a a a A 1 , 1 , 1 1 11 1, 1 1, 1 1 1 ( 1) ( 1) ~ − + − + + + = − ( ) 1 , 1 , 1 1 1 1, 1 1 1, 1 1 2 1 ( 1) ( 1) j n n j n n j n n j j n j j D a a b a a a a b a a = − − = − − + − + + − 将 D ~ 按第 1 行展开可得 ( ) ( ) ( ) 0 (1) ( ) ( ) + 1 − + + − + + − = n in j biD ai D aij D a D 因为 D 0, 所以 ( 1,2, , ) (1) ( ) ( ) 1 b i n D D a D D a D D a i n i n j i ++ ij ++ = = 故方程组有解 ( 1,2, , ) ( ) j n D D x j j = = 唯一性. 设方程组还有解 * * 2 * 1 , , , n x x x , 则 x jD = * n n j nj j n j n n j j j j n a a a x a a a a a x a a , 1 * 1 , 1 1, 1 1 * 11 1, 1 1 − + − + n n j n n j j n n n n j n n j j j n n j n a a a x a x a x a a a a a x a x a x a a , 1 * * * 1 , 1 1 1 1, 1 1 * 1 * 1 * 1 1 1, 1 1 1 1 ( ) ( ) − + − + + + + + + + + + =
n,+1 同理可得x,D=DO 于是xD=x,D→x=x1G=12…n x1-x2+x3+2x4=0 例14解线性方程组2X+x2-x+x=0 3x1+2x2+x3+5x4=5 x2+x3+x4=-1 解D=9,D=9,D(2)=18 D 27,D X4 a1x1+a12x2+…+a1nxn=0 齐次方程组 x1+a2x2+…+a2nxn=0 anIx,+an2x2+.+annx,=0 定理6若D≠0,则齐次方程组只有零解. 推论齐次方程组有非零解→D=0. [注]D=0→齐次方程组有非零解.(定理3.5之推论) +xx 例15已知{x+x2+x1=0有非零解,求 解D=1x1=(x+22-12=0,故=1或=-
18 ( ) 1 , 1 , 1 11 1, 1 1 1, 1 1 j n n j n n j n n j j n D a a b a a a a b a a = = − + − + 同理可得 ( j) x jD = D 于是 j j j j x D = x D x = x * * ( j = 1,2, ,n) 例 14 解线性方程组 − − + + = − + + + = + − + = − + + = 1 3 2 5 5 2 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x . 解 D = 9, 9 (1) D = , 18 (2) D = 27 (3) D = , 9 (4) D = − x1 =1, x2 = 2 , x3 = 3 , x4 = −1 齐次方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 定理 6 若 D 0, 则齐次方程组只有零解. 推论 齐次方程组有非零解 D = 0 . [注] D = 0 齐次方程组有非零解. (定理 3.5 之推论) 例 15 已知 + + = + + = + + = 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 有非零解, 求 . 解 ( 2)( 1) 0 1 1 1 1 1 1 2 = = + − = D , 故 =1 或 = −2