《线性代数》习题解答

证毕 17.如果n阶矩阵A满足A=A,且A≠l,则A为奇异矩阵. 证:用反证法,假设A为可逆,其逆为A,则上式两边左乘(或者右乘)4-1,得 AA4-1=AA-1,即A=,但这与A≠相矛盾,因此A的逆不存在,即A为奇异矩阵 18.求下列矩阵的逆矩阵 A 24 1-11-1 1500 0 0 A (a1≠0,i=1,2,…,n) 000 解:用对[A进行行初等变换为印41的办法来求 22-1100 1-24|010 re [A|]=1-24010 22-1100 rx-2)+2「1-240102X(-3)+7「1011/31/30 06-9 1-20/分 →06-91-20 100|2/32/9-1/9112×16「100|2/32/9-1/9 x(-1/9)+r1060-2-11 r×1/9 010-1/3-1/61/6 01|-1/31/91/9 2/32/9-1/9 /3-1/61/6 因此,最后得 1/31/91/9 11/=D 1-10100 1-11-10010 厂x-1)+r00 1100 0-2-1010

B 2=I 证毕. 17. 如果 n 阶矩阵 A 满足 A 2=A, 且 A≠I, 则 A 为奇异矩阵. 证: 用反证法, 假设 A 为可逆, 其逆为 A-1 , 则上式两边左乘(或者右乘)A-1 , 得 AAA-1=AA-1 , 即 A=I, 但这与 A≠I 相矛盾, 因此 A 的逆不存在, 即 A 为奇异矩阵. 18. 求下列矩阵的逆矩阵: 1)           − − = 5 8 2 1 2 4 2 2 1 A ; 2)             − − − − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 3) ( 0, 1,2, , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 a i n a a a a A i n n            =                 = − 解: 用对[A|I]进行行初等变换为[I|A-1 ]的办法来求: 1)           − − ⎯⎯ ⎯→            − − = 5 8 2 0 0 1 2 2 1 1 0 0 1 2 4 0 1 0 5 8 2 0 0 1 1 2 4 0 1 0 2 2 1 1 0 0 [ | ] 1 2 r r A I           − ⎯⎯⎯⎯ ⎯→ − −  +  − +           − − − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +  − + 0 0 9 3 1 1 0 6 9 1 2 0 1 0 1 1/ 3 1/ 3 0 (1/3) ( 3) 0 18 18 0 5 1 0 6 9 1 2 0 1 2 4 0 1 0 ( 5) ( 2) 2 1 2 3 1 3 1 2 r r r r r r r r           − − − − ⎯⎯ ⎯→             − − − − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→  − + + 0 0 1 1/ 3 1/ 9 1/ 9 0 1 0 1/ 3 1/ 6 1/ 6 1 0 0 2 / 3 2 / 9 1/ 9 1/9 1/6 0 0 9 3 1 1 0 6 0 2 1 1 1 0 0 2 / 3 2 / 9 1/ 9 ( 1/9) 3 2 3 1 3 2 r r r r r r 因此, 最后得           − − − − = − 1/ 3 1/ 9 1/ 9 1/ 3 1/ 6 1/ 6 2 / 3 2 / 9 1/ 9 1 A 2)             − − − − − − = 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 [A | I]             − − − − − − − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +  − +  − + 0 2 2 0 1 0 0 1 0 2 0 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 ( 1) ( 1) ( 1) 1 4 1 3 1 2 r r r r r r

1000 r+;,0-20-2-1010 0-2 0-1001 010|1/201/20 r2×(-1)+F 2(1/2)+0-20-2-10 00-2-2-1100 00-2200-11 100-101/21/20 r×(-1)+F /2+10-20-2-1010 00041 r×14+「10001/41/41/41/4 r4×1/2+ r×/2+n10-200-1/2-1/21/21/2 00-20-1/21/2-1/21/2 00041 h2×(-1/2)「100011/41/41/41/4 r3×(-1/2) r×1/4 01001/41/4-1/4-1/4 00101/4-1/41/4-1/4 00011/4-1/4-1/41/4 因此有 1/41/41/41/4 1/41/4-1/4-1/41 1/4-1/41/4-1/4 1/4-1/4-1/41/4 0 0|100 0010 [A门= 000 000 a0 o 0|00 0a10 0|10 00 外00a2 001 00

            − − − − − − − − − ⎯⎯ ⎯→  0 2 2 0 1 0 0 1 0 0 2 2 1 1 0 0 0 2 0 2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 3 2 r r             − − − − − − − − ⎯⎯⎯⎯ ⎯→  +  − + 0 0 2 2 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 0 2 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1/ 2 0 1/ 2 0 (1/2) ( 1) 2 1 2 4 r r r r             − − − − − − − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  +  − + 0 0 0 4 1 1 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 0 2 0 2 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1/ 2 1/ 2 0 1/2 ( 1) 3 1 3 4 r r r r             − − − − − − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  +  +  + 0 0 0 4 1 1 1 1 0 0 2 0 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 2 0 0 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 0 0 0 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/2 1/2 1/4 4 3 4 2 4 1 r r r r r r             − − − − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→   −  − 0 0 0 1 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 0 0 1 0 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 0 1 0 0 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1 0 0 0 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/4 ( 1/2) ( 1/2) 4 3 2 r r r 因此有 A A 4 1 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1 =             − − − − − − = − 3)                 = − 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 [ | ] 1 2 1                   n n a a a a A I                 ⎯⎯⎯⎯⎯→    − − − − 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 1 2 1 2 1                    n n n n n n a a a a r r r r r r

xl/a 100 000…01/an 01/a10 0 rxl/a 因此,最后得 00 01/a 0 0 0 00 1/a 19.解下列矩阵方程,求出未知矩阵X 021 4-6 解:令 则要解的方程为AX=B 将方程两边左乘上A的逆A1,可得AAX=AB,即 上=A-1B 下面求A [A|门 13|011r;x(-2)+n 130 2510 因此有 3-514-6 23 X=AB= 因此 1221 A=2-13B 2)令 则矩阵方程为XA=B 设A的逆存在为A-1,则方程两边右乘A-1,得XA-1=BA YBA-1 下面求A-1 021|1001r2「1-1/23/2|01/20 33-400 400

                ⎯⎯⎯ ⎯→    − − 0 0 0 1 0 0 1/ 0 0 0 1 0 0 1/ 0 0 0 1 0 0 1/ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1/ 1/ 1/ 1/ 1 2 1 1 2 1 1 n n n n n a a a a r a r a r a                    因此, 最后得                 = − − 0 0 1/ 0 0 1/ 0 0 1/ 0 0 0 0 0 0 1/ 1 2 1 1 n n a a a a A          19. 解下列矩阵方程, 求出未知矩阵 X. 1)       − =       2 1 4 6 1 3 2 5 X 2)       − =           − − 2 3 1 1 2 3 3 3 4 2 1 3 0 2 1 X 解: 令       − =       = 2 1 4 6 1 3 2 5 A B , 则要解的方程为 AX=B 将方程两边左乘上 A 的逆 A-1 , 可得 A-1AX=A-1B, 即 X=A-1B 下面求 A-1 :       − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +       ⎯⎯ ⎯→        = 0 1 1 2 ( 2) 1 3 0 1 2 5 1 0 1 3 0 1 1 3 0 1 2 5 1 0 [ | ] 1 2 1 2 r r r r A I       − − ⎯⎯⎯⎯→  −  + 0 1 1 2 ( 1) 1 0 3 5 3 2 2 1 r r r 因此有       − − = − 1 2 3 5 1 A 因此       − =      −       − − = = − 0 8 2 23 2 1 4 6 1 2 3 5 1 X A B 2) 令       − =           − − = − 2 3 1 1 2 3 3 3 4 2 1 3 0 2 1 A B 则矩阵方程为 XA=B 设 A 的逆存在为 A-1 , 则方程两边右乘 A-1 , 得 XAA-1=BA-1 , 即 X=BA-1 下面求 A-1 :             − − − ⎯⎯ ⎯→             − − = − 3 3 4 0 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1/ 2 3/ 2 0 1/ 2 0 1/2 3 3 4 0 0 1 2 1 3 0 1 0 0 2 1 1 0 0 | 1 1 2 r r r A I

F×3+F 123/2|0 011/21/200 03/21/203/21 r×1/2+ 2×-3/2)+ 07/4|1/41/20 1/21/200 00-1/4-3/43/2 07/41/41/20 l/2|1/200 0013-6-4 r3×(-1/2)+2「100|-5117 (-7/4)+ 010-132 0013-6-4 5117 因此, 5117 23 X= BA 132 最后得 20.求矩阵X满足AX=A+2X,其中 301 014 解:将方程两边减去2X,得AX-2=A 因2X=2IX,因此上面的方程可以从右边提取公因子X,得 (A-20X=A 假设A-2/可逆,则方程两边同时左乘(A-2-1,得(A-2(A-2n=(A-2)A, 即X=(A-2)A 3011「2001「101 B=110-020=1-10 设B=4-2l,则Y=BA,而 014002|012 下面用行初等变换求B的逆B-1 00 B=1-100102 1-110 012001 01|1001×(-1)+12 F2×( 0 (-1)+ 0102-2 001

          − ⎯⎯⎯⎯→   + 0 3/ 2 1/ 2 0 3/ 2 1 0 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1 1/ 2 3/ 2 0 1/ 2 0 1/2 3 2 1 3 r r r           − − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→  − +  + 0 0 1/ 4 3/ 4 3/ 2 1 0 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1 0 7 / 4 1/ 4 1/ 2 0 ( 3/2) 1/2 2 3 2 1 r r r r           − − ⎯⎯⎯⎯→  − 0 0 1 3 6 4 0 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1 0 7 / 4 1/ 4 1/ 2 0 ( 4) 3 r           − − − − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→  − +  − + 0 0 1 3 6 4 0 1 0 1 3 2 1 0 0 5 11 7 ( 7/4) ( 1/2) 3 1 3 2 r r r r 因此,           − − − − = − 3 6 4 1 3 2 5 11 7 1 A 最后得       − − − =           − − − −       − = = − 4 7 4 2 1 1 3 6 4 1 3 2 5 11 7 2 3 1 1 2 3 1 X BA 20. 求矩阵 X 满足 AX=A+2X, 其中           = 0 1 4 1 1 0 3 0 1 A 解: 将方程两边减去 2X, 得 AX-2X=A 因 2X=2IX, 因此上面的方程可以从右边提取公因子 X, 得 (A-2I)X=A 假设 A-2I 可逆, 则方程两边同时左乘(A-2I) -1 , 得(A-2I) -1 (A-2I)X=(A-2I) -1A, 即 X=(A-2I) -1A 设 B=A-2I, 则 X=B-1A, 而           = −           −           = 0 1 2 1 1 0 1 0 1 0 0 2 0 2 0 2 0 0 0 1 4 1 1 0 3 0 1 B 下面用行初等变换求 B 的逆 B-1 :             ⎯⎯⎯⎯⎯→ − − −  − +           = − 0 1 2 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 ( 1) 0 1 2 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 | 1 2 r r B I           − − − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +  − +           − ⎯⎯⎯⎯→ −  −  + 0 0 1 1 1 1 0 1 0 2 2 1 1 0 0 2 1 1 ( 1) ( 1) 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 ( 1) 1 3 1 3 2 2 2 3 r r r r r r r

2-1-13011「5-2-2 X=B-A=2-2-1110 最后得 验算 A+2X=110+8-6-4=9-5 AX=1104-3-2=9-5-4 014|-2 4510 21.利用分块的方法,求下列矩阵的乘积 00b 0010 011‖10 000d 0c0 10 102|0 2)L010b000d 1)将乘积分块为 102|01 A=0B=11c=p 其中 02 LA\AC+BI2 2)将乘积分块为 0|00T10|c0 0a00010c「a2O2Tl2cl2 0b000d0 1 2 bodi 010b000d 0 12 (c+bd)/

则           − − − − − = − 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 B 最后得           − − − − − =                     − − − − − = = − 2 2 3 4 3 2 5 2 2 0 1 4 1 1 0 3 0 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 X B A 验算:           − − − − − =           − − − − − +           + = 4 5 10 9 5 4 13 4 3 4 4 6 8 6 4 10 4 4 0 1 4 1 1 0 3 0 1 A 2X           − − − − − =           − − − − −           = 4 5 10 9 5 4 13 4 3 2 2 3 4 3 2 5 2 2 0 1 4 1 1 0 3 0 1 AX 21. 利用分块的方法, 求下列矩阵的乘积: 1)                     − 0 1 1 0 0 1 1 0 2 0 1 1 1 2 0 ; 2)                         d d c c b b a a 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 解: 1) 将乘积分块为         =                     − 2 | 0 1 1 0 0 1 1 0 2 0 1 1 1 2 0 I C A B 其中 , 0 1 0 2 1 1 2 0 , 1 0 1 =          − =           A = B C              − =          − +           =          − +           = + =       0 3 1 1 2 1 0 2 1 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 1 2 0 0 1 1 0 1 | 2 2 AC BI I C A B 2) 将乘积分块为             =                         2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 O dI I cI I bI aI O d d c c b b a a             + + =      + = c bd c bd a ac a ac I c bd I aI acI 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 ( ) 2 2 2 2