《线性代数》习题解答

王晓峰著《线性代数》习题解答 第一章 1.1.解下列方程组,并在直角坐标系中作出图示 x+y=1 2 3x+3y=5 3) 2x-2y=2 解:1)将第一个方程减去第二个方程得2y=-1,y=-12,再代入第个方程解得x=1+1/2=3/2, 绘出图示如下图所示,两直线相将于一点22方程有唯一解 xty 2)将第二个方程除以3得 与第一个方程相比较知此方程组为矛盾方程组无解 绘出图示如下图所示 r+31=5 3)将第2个方程除以2,可以得到第一个方程,令y为任意实数,则x=1+,方程组的解集 为(1+1,1),图示如下图所示,方程的解集为一条直线 2 2x-2p=2

王晓峰著《线性代数》习题解答 第一章 1. 1. 解下列方程组, 并在直角坐标系中作出图示. 1)    − = + = 2 1 x y x y ; 2)    + = + = 3 3 5 1 x y x y ; 3)    − = − = 2 2 2 1 x y x y . 解: 1) 将第一个方程减去第二个方程, 得 2y=-1, y=-1/2, 再代入第个方程解得 x=1+1/2=3/2, 绘出图示如下图所示, 两直线相将于一点       − 2 1 , 2 3 方程有唯一解. -2 -1 2 1 1 y 2 3 x 2) 将第二个方程除以3 得 3 5 x + y = , 与第一个方程相比较知此方程组为矛盾方程组, 无解, 绘出图示如下图所示 3x+3y=5 x+y=1 -2 -1 2 1 1 y 2 3 x 3) 将第 2 个方程除以 2, 可以得到第一个方程, 令 y=t 为任意实数, 则 x=1+t, 方程组的解集 为(1+t, t), 图示如下图所示, 方程的解集为一条直线. 2x-2y=2 x-y=1 -2 -1 2 1 1 y 2 3 x       − 2 1 , 2 3

2.用Gaus消元法解下列线性方程组. x1+2x2-7x3 x1+x2 ∫x 2x,+5x3= 3x1+9x2-36x3=-33 2) x3 3x,=4 2x2-x3-x4=0 3 XA x1+3x2-x3=0 8x,+3x,+3x,=0 解:1)对增广矩阵进行变换 2-7-41r1×(-2)+ rx(_3)+r 39-36-33 03-15-21 r×1+r -7-4 10310 x-13)01-5-7×x-2)+01-5-7 则x3为自由变量,令x=为任意实数,则x1=10-31,x2=51-7,方程有无穷多解,解集为 (10-31,51-7,D) 2)对增广矩阵进行变换: -2521×(-3)+n 252 08-16-8 2×1/8「1-2 F×2十F 1010 则x为自由变量,令x3=1为任意实数,则x1=-1,x2=2-1 解集为(-1,21-1,1) 3)对增广矩阵进行变换:

2. 用 Gauss 消元法解下列线性方程组. 1)      + − = − + + = + − = − 3 9 36 33 2 13 2 7 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 2)    + − = − − + = 3 2 2 2 5 2 1 2 3 1 2 3 x x x x x x 3)        − + = − = − − = + = 2 4 5 3 2 1 2 0 3 4 1 2 3 2 4 2 3 4 1 4 x x x x x x x x x x 4)      + + = + − = + = 8 3 3 0 4 3 0 2 3 0 1 2 3 1 2 3 1 2 x x x x x x x x 解: 1) 对增广矩阵进行变换:           ⎯⎯⎯⎯⎯→ − −  − +           − − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  −  +           − − − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +  − +           − − − − 0 0 0 0 0 1 5 7 1 0 3 10 ( 2) 0 0 0 0 0 1 5 7 1 2 7 4 ( 1/3) 1 0 3 15 21 0 3 15 21 1 2 7 4 ( 3) ( 2) 3 9 36 33 2 1 1 13 1 2 7 4 3 2 1 2 3 1 3 1 2 r r r r r r r r r 则 x3 为自由变量, 令 x3=t 为任意实数, 则 x1=10-3t, x2=5t-7, 方程有无穷多解, 解集为 (10-3t, 5t-7, t). 2) 对增广矩阵进行变换:       − − ⎯⎯⎯⎯→  +       − − − ⎯⎯ ⎯→        − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +       − − − 0 1 2 1 2 1 0 1 0 0 1 2 1 1/8 1 2 5 2 0 8 16 8 ( 3) 1 2 5 2 3 2 1 2 1 2 5 2 2 2 1 1 2 r r r r r 则 x3 为自由变量, 令 x3=t 为任意实数, 则 x1=-t, x2=2t-1, 解集为(-t, 2t-1, t). 3) 对增广矩阵进行变换:

0034 0034 02 015 000 2-140 14-6-3 F2>F4 0034 2 0-14-6 3/D/ r3×(1/12) 1-46 3 007-13-6 x×( F 0034 F2×4+F 010-21x2+2「1000 2|×(=3)+0100 00101 000 33 方程有唯一解x1=x2=x3=x4=1 4)此为齐次方程,对系数矩阵进行变换 3011×(-2)+2「230 r3×(1/6) 2×(-3)+13「20 ×1+2「200 r×1+P 0-30 006 001 可知方程有唯一零解x1=x2=x=0 3.确定下列线性方程组中k的值满足所要求的解的个数 1)无解 2)有唯一解 x+2y+k==6 kx+y=14 2x-3y=-12 3)有无穷多解 x+y+k== 4 解 1)对增广矩阵作变换: 12k6 6 008-3k-14 因此,要使方程组无解,须使8-3k=0,解得k=8/3,即当k取值为8/3时,方程无解 2)对增广矩阵作变换:

            ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +  +  +  −                   − − − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +  +               − − − − − ⎯⎯⎯ ⎯→   −             − − − − − − − ⎯⎯⎯⎯→  +  +              − − − − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +             − − − − 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ( 3) ) 3 2 ( ) 3 5 ( ) 4 3 ( 3 4 3 4 0 0 0 3 2 3 5 0 0 1 3 1 3 2 0 1 0 1 0 0 3 4 ( 7) 4 0 0 7 13 6 3 2 3 5 0 0 1 0 1 4 6 3 1 0 0 3 4 (1/12) ( 1) 0 0 7 13 6 0 0 12 20 8 0 1 4 6 3 1 0 0 3 4 2 3 0 1 4 6 3 0 3 0 2 1 0 2 1 1 0 1 0 0 3 4 ( 2) 2 1 4 0 5 0 3 0 2 1 0 2 1 1 0 1 0 0 3 4 4 1 4 2 4 3 4 3 4 3 2 3 2 2 4 2 3 2 4 1 4 r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 方程有唯一解 x1=x2=x3=x4=1. 4) 此为齐次方程, 对系数矩阵进行变换           ⎯⎯⎯⎯→ −  +  +            − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  +  − +           − ⎯⎯⎯⎯⎯→ − −  − +  − +           − 0 0 1 0 3 0 2 0 0 1 1 (1/6) 0 0 6 0 3 1 2 0 1 1 ( 3) 0 9 3 0 3 1 2 3 0 ( 4) ( 2) 8 3 3 4 3 1 2 3 0 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1 3 1 2 r r r r r r r r r r r r r 可知方程有唯一零解 x1=x2=x3=0. 3. 确定下列线性方程组中 k 的值满足所要求的解的个数. 1) 无解: 2) 有唯一解:    + + = + + = 3 6 8 4; 2 6 x y z x y kz    − = − + = 2 3 12 14 x y kx y 3) 有无穷多解:      − + = + + = + + = 2 1 2 5 4 x y z x y z x y kz 解: 1) 对增广矩阵作变换:       − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +       0 0 8 3 14 ( 3) 1 2 6 3 6 8 4 1 2 6 1 2 k k r r k 因此, 要使方程组无解, 须使 8-3k=0, 解得 k=8/3, 即当 k 取值为 8/3 时, 方程无解. 2) 对增广矩阵作变换:

141<2 -3-12717x-2)+h2 12 k114 16k+14 因此,如要方程组有唯一解,必须有*1≠0k≠2 3)对增广矩阵作变换 11k411×(-1)+ 1k4 1215 /X+ →011-k1 211 0-31-k 004-4k0 因此,如要方程组有无穷多解,必须4-4k=0,即当k=1时,方程组才有无穷多解 4.证明:如果对所有的实数x均有ax2+bx+c=0,那么a=b=c=0 证:既然对所有的实数x都有ax2+bx+c=0成立,那么具体地分别取x=0,x=1,x=2代入上式也 成立,则有 C=0 a+b+c=0 4a+2b+c=0,这是关于a,b,c的齐次线性方程组,对其系数矩阵作变换 00 ror2 0-2-3 00 看出此方程只有唯一零解,因此有a=b=c=0 5.讨论以下述阶梯矩阵为增广矩阵的线性方程组是否有解,如有解区分是唯一解还是无穷 多解 12-30 0203 1-20|4 002-3 02 0004 00 0310 0000 解:1)方程组有一个自由变元x,因此方程组有无穷多解 2)方程组的三个变元均为首项变元,因此方程组有唯一解 3)第三个方程0=4说明此方程无解 4)方程组的三个变元均为首项变元,因此方程组有唯一解 6.对给定方程组的增广矩阵施行行初等变换求解线性方程组 3x+5y=-22 3x+4y=4 x-8y=32 2)(3x+9y-52-28W=30

        + + − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +       − − ⎯⎯ ⎯→        − − 1 6 14 2 3 0 ) 2 3 12 2 ( 1 14 2 3 12 2 3 12 1 14 1 2 1 2 k k r k r k k r r 因此, 如要方程组有唯一解, 必须有 1 0 2 3 +  k , 即 3 2 k  − . 3) 对增广矩阵作变换           − ⎯⎯⎯⎯→ −  +           − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ −  − +  − +           − 0 0 4 4 0 0 1 1 1 1 1 4 3 0 3 1 3 0 1 1 1 1 1 4 ( 1) ( 1) 1 2 1 1 1 2 1 5 1 1 4 1 3 2 3 1 2 k k k r r k k k r r k r r 因此, 如要方程组有无穷多解, 必须 4-4k=0, 即当 k=1 时, 方程组才有无穷多解. 4. 证明: 如果对所有的实数 x 均有 ax2+bx+c=0, 那么 a=b=c=0. 证: 既然对所有的实数 x 都有 ax2+bx+c=0 成立, 那么具体地分别取 x=0, x=1, x=2 代入上式也 成立, 则有      + + = + + = = 4 2 0 0 0 a b c a b c c , 这是关于 a,b,c 的齐次线性方程组, 对其系数矩阵作变换:           ⎯⎯⎯⎯⎯→ − −  − +           ⎯⎯ ⎯→             0 0 1 0 2 3 1 1 1 ( 4) 0 0 1 4 2 1 1 1 1 4 2 1 1 1 1 0 0 1 2 3 1 2 1 2 r r r r r r 看出此方程只有唯一零解, 因此有 a=b=c=0. 5. 讨论以下述阶梯矩阵为增广矩阵的线性方程组是否有解; 如有解区分是唯一解还是无穷 多解. 1)           − − − 0 0 0 0 0 0 2 3 1 2 3 0 2)           − − 0 0 1 4 0 2 0 3 1 3 2 1 3)             − − 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 2 3 1 2 0 4 4)             − − 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 3 1 1 2 0 1 解: 1) 方程组有一个自由变元 x2, 因此方程组有无穷多解. 2) 方程组的三个变元均为首项变元, 因此方程组有唯一解. 3) 第三个方程 0=4 说明此方程无解. 4) 方程组的三个变元均为首项变元, 因此方程组有唯一解. 6. 对给定方程组的增广矩阵施行行初等变换求解线性方程组.. 1)      − = + = − + = − 8 32 3 4 4 3 5 22 x y x y x y 2)    + − − = + − − = 3 9 5 28 30 4 12 7 20 22 x y z w x y z w

2x+ 2+ 3) 2y-22+2v=2 解:1)对增广矩阵进行变换 1-8321×(-3)+2「1-832 F2(>F r1×(3)+F 1-832 0-1974 1-832 1-832 ×(128)01 23rA9+r3不 01 81 方程组无解 2)对增广矩阵进行变换 412-7-2022r (/)、13-7 4 39-5-2830 5 4 13 r,×4/7+r,「130-96100 可以看出y和w为自由变元,则令y=s,w=t,s与t为任意常数,则x=100-3s+96 =54+521.方程的解集表示为(100-3s+961,s,54+52,1) 3)对增广矩阵进行变换 22 1-22 42-222 F2×(-2)+r3 r;x(-2)+r,1 1/2 0 x-4)+060206×12+06016 00040 0000 可知y与=为自由变元,令y=s,=1,s与t均为任意实数,则 t,w=0 方程组的解集为 7.对给定齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换求解下列方程组

3)      + − + = + − − = + − + = 4 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x y z w x y z w x y z w 解: 1) 对增广矩阵进行变换:                 − − ⎯⎯⎯ ⎯→  +           − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→            − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  +  − +           − − − ⎯⎯ ⎯→            − − − 7 81 0 0 7 23 0 1 1 8 32 19 0 19 74 7 23 0 1 1 8 32 (1/28) 0 19 74 0 28 92 1 8 32 (3) ( 3) 3 5 22 3 4 4 1 8 32 1 8 32 3 4 4 3 5 22 2 2 3 1 3 1 2 3 1 r r r r r r r r r 方程组无解. 2) 对增广矩阵进行变换       − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  +         − − − ⎯⎯⎯→            − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +         − − − − ⎯⎯⎯⎯→        − − − − 0 0 1 52 54 4/7 1 3 0 96 100 0 0 1 52 54 2 11 5 4 7 4 1 3 2 27 13 4 1 0 0 2 11 5 4 7 1 3 ( 3) 3 9 5 28 30 2 11 5 4 7 (1/4) 1 3 3 9 5 28 30 4 12 7 20 22 2 1 1 2 2 1 r r r r r r 可以看出 y 和 w 为自由变元, 则令 y=s, w=t, s 与 t 为任意常数, 则 x=100-3s+96t, z=54+52t. 方程的解集表示为(100-3s+96t, s, 54+52t, t). 3) 对增广矩阵进行变换 ( )               − ⎯⎯⎯⎯ ⎯→  +   − +               − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +  − +               − − − − ⎯⎯ ⎯→            − − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 1 0 2 1 2 1 1 (1/2) 1/ 2 ( 2) 0 0 0 4 0 0 0 0 2 0 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ( 4) ( 2) 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 4 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 3 1 3 1 2 1 2 r r r r r r r r r r r 可知 y 与 z 为自由变元, 令 y=s, z=t, s 与 t 均为任意实数, 则 , 0 2 1 2 1 2 1 x = − s + t w = , 方程组的解集为       − + , , ,0 2 1 2 1 2 1 s t s t 7. 对给定齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换求解下列方程组