北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第十二章 张量积与外代数 12.4 外代数

第二学期第三十次课 §4外代数 12.4.1 域K上的线性空间V的到域K上的线性空间W的r重交错映射的定义 定义129设V是数域K上的n维线性空间,又设W也是K上的一个线性空间。从 项 到W的一个多线性映射∫如果满足如下条件 f(ax1…,ar,a12…,a1)=0(=1,2,,r-1) (即第i,+1两个变元取V内同一个向量a),则称f为一个r重交错映射 1232r重交错映射的三条性质 性质1f(a1,…,.1,…,a…,a,)=-f(a1,…,a1,…,.1,…,a),即交换∫中两变元 的位置时应改变符号。 证明首先证明相邻两个变元a1,an1时函数值反号。按交错映射的定义,有 0=f(a12…a1+a1,a1+ax+12…,a1) =f(a12…,a1,a12…a1)+f(a1,…,ax2a1,a) +f(ax1…,x+1,a1,…,axn)+f(a1…,a1+12a1+1x…,ax) f(a1,…,a1,a12…a)+f(a1…a1+12a1,…,ax,) 移项后即得 f(a1,x,a1…,an)=-f(a1,…,a1,a2…,ax,) 对于交换a,∝1(设i<j)两个变元的情况,可由逐次交换相邻两变元位置 (-1)+(-1-1)=2(-1)-1次来实现。每次交换函数值都变号,共变号奇数次,故最后 两个函数值反号 性质2如果∫中两个变元取V中同一向量,则其函数值为零 证明设f(a1,…,a)中a1=a1=a,则交换a,a,位置时函数值应反号,但此时 函数值实际上未变化,故必为零 性质3当r>n时,r重交错映射f(ax1…,xn)≡0 证明时,取V中一组基,运用性质2即可得证 12.3.3用坐标计算r重交错映射的像的公式 约定命Ω={,2,…,m},以9,表示9的一个包含r个元素的子集。对每一个子集

第二学期第三十次课 §4 外代数 12.4.1 域 K 上的线性空间 r V 的到域 K 上的线性空间 W 的 r 重交错映射的定义 定义 12.9 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间，又设 W 也是 K 上的一个线性空间。从 r V V V    项 到 W 的一个多线性映射 f 如果满足如下条件 1 ( ,..., , ,..., ) 0( 1,2,..., 1) i i r f i r     = = − （即第 i i, 1 + 两个变元取 V 内同一个向量 i ），则称 f 为一个 r 重交错映射。 12.3.2 r 重交错映射的三条性质 性质 1 1 1 ( ,..., ,..., ,..., ) ( ,..., ,..., ,..., ) i j r j i r f f         = − ,即交换 f 中两变元 的位置时应改变符号。 证明 首先证明相邻两个变元 1 ,  i i+ 时函数值反号。按交错映射的定义，有 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ( ,..., , ,..., ) ( ,..., , ,..., ) ( ,..., , ,..., ) ( ,..., , ,..., ) ( ,..., , ,..., ) ( ,..., , ,..., ) ( ,..., , ,..., ). i i i i r i i r i i r i i r i i r i i r i i r f f f f f f f                               + + + + + + + + = + + = + + + = + 移项后即得 1 1 1 1 ( ,..., , ,..., ) ( ,..., , ,..., ). i i r i i r f f         + + = − 对于交换 ,  i j （ 设 i j  ）两个变元的情况，可由逐次交换相邻两变元位置 ( ) ( 1) 2( ) 1 j i j i j i − + − − = − − 次来实现。每次交换函数值都变号，共变号奇数次，故最后 两个函数值反号。 性质 2 如果 f 中两个变元取 V 中同一向量，则其函数值为零。 证明 设 1 ( ,..., ) r f   中    i j = = ，则交换 i ， j 位置时函数值应反号，但此时 函数值实际上未变化，故必为零。 性质 3 当 r n  时， r 重交错映射 1 ( ,..., ) 0 r f    证明时，取 V 中一组基，运用性质 2 即可得证。 12.3.3 用坐标计算 r 重交错映射的像的公式 约定 命  = {1,2,..., }n ，以  r 表示  的一个包含 r 个元素的子集。对每一个子集

Ω2=(,2,…,i),我们约定按自然数的大小排列其次序:1<2<…<。对K上的一个 n矩阵A,取A得第,2…列所组成的r×r矩阵记作A(g),又用|A(g)表示其 行列式 按照这个约定,根据多线性映射和交错线性映射的性质、行列式的性质,我们可以得 到下面这个命题 命题设是数域K上的n维线性空间,E1,E2…,En是它的一组基。又设∫是 ×…×F到K上线性空间W的一个r重交错映射。对于V内任意r个向量ax1…,n,设 1=a1E1+a12E2+…+anEn( 而A=(an)°则 f(a1…)=∑4(9,川f(61…) 其中和号是对所有可能的个子集9=(,2,…,)求和 123.4外积的定义 现在我们来指出,对每个正整数r≤m,r重交错映射都存在。为此取一个K上的 维线性空间,记为E,(V)。在E,(V)内取定一组基,并且把每个子集9对应于一个基向量 7(2)。对于V内任意r个向量a12a2…ar,设 1=a1E1+…+anEn(i 我们定义V×…×V到E()的映射∫如下 f(axna)=∑|A(9)m2)(*) 可以验证(*)式所定义的映射∫是V=Vx…xV到E,(V)的r重交错映射。 定义1210对任意a1…,an∈V,由(*)式定义的f(a1…a)称为这r个向量的 外积,记作a1Aa2A 1235外积的泛性质(与张量积的定义性质类似 命题设72…,nn是V内任一组基,则让Ω={12…,}取遍g2的所有r个元素的 子集(<2<…<)时,集合{…∧n}组成E()的一组基

1 2 ( , ,..., ) r r  = i i i ，我们约定按自然数的大小排列其次序： 1 2 r i i i    。对 K 上的一个 r n 矩阵 A ，取 A 得第 1 2 , ,..., r i i i 列所组成的 r r  矩阵记作 ( ) A  r ，又用 | ( ) | A  r 表示其 行列式。 按照这个约定，根据多线性映射和交错线性映射的性质、行列式的性质，我们可以得 到下面这个命题： 命题 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间， 1 2 , ,..., n    是它的一组基。又设 f 是 V V   到 K 上线性空间 W 的一个 r 重交错映射。对于 V 内任意 r 个向量 1 ,...,  r ，设 1 1 2 2 ( 1,2,..., ) i i i in n  =  +  + +  = a a a i r ， 而 ( ) A a = ij r n 。则 1 1 ( , ) | ( ) | ( , ) r r r r i i f A f    =     ， 其中和号是对所有可能的 n r       个子集 1 2 ( , ,..., ) r r  = i i i 求和。 12.3.4 外积的定义 现在我们来指出，对每个正整数 r n  ，r 重交错映射都存在。为此，取一个 K 上的 n r       维线性空间，记为 ( ) E Vr 。在 ( ) E Vr 内取定一组基，并且把每个子集  r 对应于一个基向量 ( )  r 。对于 V 内任意 r 个向量 1 2 , ,...,   r ，设 1 1 ( 1,2, , ) i i in n    = + + = a a i r 我们定义 r V V   项 到 ( ) E Vr 的映射 f 如下： 1 ( ,..., ) | ( ) | ( ) r r r r f A       = （*） 可以验证（*）式所定义的映射 f 是 r r V V V =   项 到 ( ) E Vr 的 r 重交错映射。 定义 12.10 对任意 1 ,...,  r V ，由（*）式定义的 1 ( , , ) r f   称为这 r 个向量的 外积，记作    1 2    r 。 12.3.5 外积的泛性质（与张量积的定义性质类似） 命题 设 1 ,...,  n 是 V 内任一组基，则让 1 { , , } r r  = j j 取遍  的所有 r 个元素的 子集 1 2 ( ) r j j j    时，集合 1 { } r   j j   组成 ( ) E Vr 的一组基

证明设( (7h,…,mn)(t),则 7(2) =∑47 (, ……n ∑∑(-1)l (k…k尼∈ 由于{(2)是E,()的一组基,而{个…A7}中向量个数为=dimE() 故它是E()的一组基 外积具有一个类似与张量积的重要性质 定理设g是从V到K上线性空间W的一个交错映射,则存在E,(V)到W的唯一线 性映射σ,使下图交换: E,( 证明若r>n,则E,()={0},又g为零映射,故结论显然成立 下面设厂≤m对于V内取定的一组基E1…,En已知{1A…AE1<2<…<}组 成E()的一组基,且f(1…,1)=A…A,所以我们只要定义σ在这组基下的像 就可以了 o(a )=g(E4,…,E,) 对任意 V,设 a1=a1与1 linEn 我们有 )=o∑|4(9,)(n…) A (22)b(e ∧E ∑|4(9)g(s1…,5)=g(a1…a,)

证明 设 1 1 ( , ) ( , , )( ) n n ij     = t ，则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) = r r r r r r r r r r r r r r r r n n r i i k i k k i k k k n n k i k i k k k k N k k k i k i k k k k t t t t t t             = = = =      =   =           =   −         由于 { ( )}  r 是 ( ) E Vr 的一组基，而 1 { } r   j j   中向量个数为 dim ( ) r n E V r     =   故它是 ( ) E Vr 的一组基。 外积具有一个类似与张量积的重要性质。 定理 设 g 是从 r V 到 K 上线性空间 W 的一个交错映射，则存在 ( ) E Vr 到 W 的唯一线 性映射  ，使下图交换： 证明 若 r n  ，则 ( ) E Vr ={0}，又 g 为零映射，故结论显然成立。 下面设 r n  。对于 V 内取定的一组基 1 ,..., n   。已知 1 1 2 { | } r i i r        i i i 组 成 ( ) E Vr 的一组基，且 1 1 ( ,..., ) r r i i i i f     =   。所以我们只要定义  在这组基下的像 就可以了。命 1 1 ( ) ( ,..., ) r r i i i i        = g （*） 对任意 1 , ,  r V ，设 1 1 ( 1,2, , ) i i in n    = + + = a a i n 我们有 1 1 1 1 1 ( , , ) | ( ) | ( , , ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( , , ) ( , , ) = = r r r r r r r r i i r i i r i i r f A f A A g g                      =       =    f g  r V ( ) E Vr W

这说明g=σf∫,即命题中的图可交换。 反之,任何满足命题要求的映射在E,()的基处的作用要满足(*),而线性映射有 它在一组基处的作用为一决定,故O是唯一的 12.36外代数中乘法的定义 定义1211 (∧V)×(∧V)→∧ (a1∧…Aa)×(B1A…AB,)=a1A…∧1AB1A…B 此乘法定义的合理性可见书上的命题45

这说明 g f = ，即命题中的图可交换。 反之，任何满足命题要求的映射  在 ( ) E Vr 的基处的作用要满足（*），而线性映射有 它在一组基处的作用为一决定，故  是唯一的。 12.3.6 外代数中乘法的定义 定义 12.11 ( ) ( ) ( ) r r r s V V V +    →  1 1 1 1 ( ) ( )              =      r s r s 此乘法定义的合理性可见书上的命题 4.5