《高等代数》教学大纲(教学计划) 第一学期 第一周: (第一章§1) 代数系统的概念:数域的定义; 定理任一数域都包含有理数域 集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念:求和号与求积号 (第一章§2) 高等代数基本定理及其等价命题; 推论数域上的两个次数小于m的多项式如果在m个不同的复数处的取值相等,则此 二多项式相等 韦达定理 实系数代数方程的根成对出现 推论实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。 第二周: (第一章§3) 数域K上的线性方程组的初等变换的定义 命题线性方程组经过初等变换后与原方程组同解; 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的以及矩阵的初等变换的定义; 线性方程组无解、有唯一解和有无穷多解的判别准则 命题变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解: 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关(这不同于高次代数方程)。 (第二章§1) 向量和n维向量空间的定义及性质 线性组合和线性表出的定义 向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述。 第三周: (第二章§1) 向量组的秩
《高等代数》教学大纲（教学计划） 第一学期 第一周： （第一章 §1） 代数系统的概念；数域的定义； 定理 任一数域都包含有理数域； 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念；求和号与求积号。 （第一章 §2） 高等代数基本定理及其等价命题； 推论 数域上的两个次数小于 m 的多项式如果在 m 个不同的复数处的取值相等，则此 二多项式相等； 韦达定理； 实系数代数方程的根成对出现； 推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。 第二周： （第一章 §3） 数域 K 上的线性方程组的初等变换的定义； 命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解； 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的以及矩阵的初等变换的定义； 线性方程组无解、有唯一解和有无穷多解的判别准则； 命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。 （第二章 §1） 向量和 n 维向量空间的定义及性质； 线性组合和线性表出的定义； 向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述。 第三周： （第二章 §1） 向量组的秩；
向量组的线性等价;极大线性无关组; 集合上的等价关系。 (第二章§2) 矩阵的行秩与列秩,行(列)初等变换不改变行(列)秩; 命题矩阵的行(列)初等变换不改变列(行)秩; 矩阵的转置 推论矩阵的行、列秩相等,称为矩阵的秩,矩阵A的秩记为r(A); 满秩方阵; 矩阵的相抵:;相抵是等价关系;秩是相抵等价类的完全不变量 用初等变换求矩阵的秩。 第四周: (第二章§3) 齐次线性方程组的基础解系 定理数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵 的秩 基础解系的求法 非齐次线性方程组的解的结构。 (第二章§4) 矩阵的加法和数乘的定义 矩阵的乘法的定义, 矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置)的性质 矩阵的和与积的秩。 第五周 (第二章§5) n阶方阵,对角矩阵,数量矩阵,单位矩阵,初等矩阵,对称、反对称、上三角、下三 角矩阵 命题矩阵的初等行(列)变换等价于左(右)乘初等矩阵 定理一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。 推论设A是满秩矩阵,对于任意矩阵B,C,有r(AB)=r(B),r(CA)=r(C)(只要 乘法有意义) 可逆矩阵,方阵的逆矩阵的定义;
向量组的线性等价；极大线性无关组； 集合上的等价关系。 （第二章 §2） 矩阵的行秩与列秩，行（列）初等变换不改变行（列）秩； 命题 矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩； 矩阵的转置； 推论 矩阵的行、列秩相等，称为矩阵的秩，矩阵 A 的秩记为 r (A) ； 满秩方阵； 矩阵的相抵；相抵是等价关系；秩是相抵等价类的完全不变量； 用初等变换求矩阵的秩。 第四周： （第二章 §3） 齐次线性方程组的基础解系； 定理 数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵 的秩； 基础解系的求法； 非齐次线性方程组的解的结构。 （第二章 §4） 矩阵的加法和数乘的定义； 矩阵的乘法的定义， 矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）的性质； 矩阵的和与积的秩。 第五周： （第二章 §5） n 阶方阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，初等矩阵，对称、反对称、上三角、下三 角矩阵； 命题 矩阵的初等行（列）变换等价于左（右）乘初等矩阵； 定理 一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。 推论 设 A 是满秩矩阵，对于任意矩阵 B, C ，有 r (AB) = r (B) ，r (CA) = r (C) （只要 乘法有意义）. 可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义；
群和环的定义 命题数域K上的n阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群,称为K上的二般线性 群,记为GL,(K):数域K上的n阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环,称为K上的 全矩阵环,记为Mn(K) 可逆矩阵转置的逆矩阵 命题矩阵可逆当且仅当满秩; 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵,矩阵方程AX=B和XA=B的解法(A为可逆阵); 例设A和B为数域K上的m×n和n×s矩阵,则 r(AB)≥r(A)+r(B)-n 第六周: (第二章§6) 分块矩阵的乘法,准对角阵的乘积和秩,可逆准对角阵的逆矩阵; 命题分块矩阵 的秩大于等于A与B的秩的和 命题设A、B、C为数域K上的三个可以连乘的矩阵,则 r(ABC)+r(B)>r(AB)+ r(BC) 矩阵分块技巧的运用(挖洞法) (第三章§1,§2) 平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质 利用上述三条性质定义n阶方阵的行列式函数的det 定理行列式函数存在、唯 行列式的六条性质 第七周 (第三章§2) 行列式的展开式 范德蒙行列式 准对角阵的行列式 可微函数的方阵的行列式的微商 (第三章§3) 行列式的应用:用行列式求逆矩阵:克莱姆法则(解线性方程组); 矩阵乘积的行列式
群和环的定义； 命题 数域 K 上的 n 阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群，称为 K 上的一般线性 群，记为 GL (K) n ；数域 K 上的 n 阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环，称为 K 上的 全矩阵环，记为 M (K) n ； 可逆矩阵转置的逆矩阵； 命题 矩阵可逆当且仅当满秩； 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，矩阵方程 AX = B 和 XA = B 的解法（ A 为可逆阵）； 例 设 A 和 B 为数域 K 上的 m n 和 n s 矩阵，则 r (AB) r (A) +r (B) − n. 第六周： （第二章 §6） 分块矩阵的乘法，准对角阵的乘积和秩，可逆准对角阵的逆矩阵； 命题 分块矩阵 B A C 0 的秩大于等于 A 与 B 的秩的和； 命题 设 A 、 B 、C 为数域 K 上的三个可以连乘的矩阵，则 r (ABC) + r (B) r (AB) + r (BC). 矩阵分块技巧的运用（挖洞法）。 （第三章 §1，§2） 平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质； 利用上述三条性质定义 n 阶方阵的行列式函数的 det； 定理 行列式函数存在、唯一； 行列式的六条性质。 第七周： （第三章 §2） 行列式的展开式； 范德蒙行列式； 准对角阵的行列式； 可微函数的方阵的行列式的微商。 （第三章 §3） 行列式的应用：用行列式求逆矩阵；克莱姆法则（解线性方程组）； 矩阵乘积的行列式；
用矩阵的子式的行列式刻画矩阵的秩。 第八周: (第三章§4) 行列式的完全展开式 期中考试 第九周: (第四章§1) 线性空间的定义及例 零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、 乘法类似的性质 线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价 表述,向量组的秩,向量组的线性等价;极大线性无关组 线性空间的基与维数,向量的坐标。 第十周: (第四章§1,§2) 线性空间的基变换,基的过渡矩阵 向量的坐标变换公式:K"中的两组基的过渡矩阵 线性空间的子空间的定义(等价于在减法和数乘下封闭) 子空间的交与和,生成元集 维数公式 第十一周: (第四章§2) 子空间的直和的四个等价定义; 直和因子的基的并构成直和的基 补空间的定义及存在性(通常不唯一)。 线性空间关于一个子空间的同余关系(是等价关系) 商空间的定义(线性空间V关于子空间W的商空间记为V/W),定义的合理性 命题dm=dmW+dmV/W 商空间的基的选取 第十二周:
用矩阵的子式的行列式刻画矩阵的秩。 第八周： （第三章 §4） 行列式的完全展开式。 期中考试。 第九周： （第四章 §1） 线性空间的定义及例； 零向量和负向量的唯一性，向量减法的定义，线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、 乘法类似的性质； 线性空间中线性组合和线性表出的定义，向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价 表述，向量组的秩，向量组的线性等价；极大线性无关组。 线性空间的基与维数，向量的坐标。 第十周： （第四章 §1，§2） 线性空间的基变换，基的过渡矩阵； 向量的坐标变换公式； n K 中的两组基的过渡矩阵； 线性空间的子空间的定义（等价于在减法和数乘下封闭）。 子空间的交与和，生成元集； 维数公式。 第十一周： （第四章 §2） 子空间的直和的四个等价定义； 直和因子的基的并构成直和的基； 补空间的定义及存在性（通常不唯一）。 线性空间关于一个子空间的同余关系（是等价关系） 商空间的定义（线性空间 V 关于子空间 W 的商空间记为 V /W ），定义的合理性； 命题 dimV = dimW + dimV /W ； 商空间的基的选取。 第十二周：
(第四章§3) 线性映射的定义(由数域K上的线性空间U到V的K-线性映射的全体记为 omx(U,V),或简记为Hom(U,V); 线性空间的同构的定义,同构映射的逆映射也是同构映射 线性映射的核(ker)、像(im)与余核( coker)的定义 命题线性映射∫是单的当且仅当ker∫={0},∫是满的当且仅当 coker∫={0 定理(同态基本定理)设∫:U→V是数域K上的线性空间的满线性映射,则映射 kerb(a) 是同构映射 线性映射的加法和数乘的定义,Homx(U,V)在加法和数乘下构成数域K上的线性空 线性映射在一组基下的矩阵的定义 命题设U和V是数域K上的线性空间,dmU=n,dmV=m,则Homκ(U,V)同 构于K上的m×n矩阵的全体构成的线性空间 线性映射的复合的矩阵等于矩阵的乘积。 第十三周: (第四章§3) 线性空间到自身的线性映射称为线性变换(Homk(,V)记为Endk()或End(V)); End()关于加法和复合(作为乘法)构成环,称为V的自同态环;设V为数域K上的 n维线性空间,则End()同构于Mn(k) 线性变换(在一组基下)的矩阵的定义是线性映射的矩阵的特例;在给定的基下向量在 线性变换下的像的坐标等于的线性变换的矩阵乘以原来向量的坐标 命题设线性变换A在一组基E1,…6n下的矩阵为A,由基E1,…En到基刀1,…,nn的 过渡矩阵为T,则A在刀1,…刀n下的矩阵为TAT 矩阵的相似的定义;二矩阵相似当且仅当它们是同一个线性变换在两组基下的矩阵 (第四章§4 线性变换的特征值与特征向量的定义 线性空间V中属于确定的特征值λ的特征向量(添加上零向量)构成子空间,称为属于 特征值λ的特征子空 特征值和特征子空间的计算(用特征多项式以及线性方程组)
（第四章 §3） 线性映射的定义（由数域 K 上的线性空间 U 到 V 的 K - 线性映射的全体记为 Hom (U,V) K ，或简记为 Hom (U,V) ）； 线性空间的同构的定义，同构映射的逆映射也是同构映射； 线性映射的核（ker）、像（im）与余核（coker）的定义； 命题 线性映射 f 是单的当且仅当 ker f = {0}， f 是满的当且仅当 coker f = {0} . 定理（同态基本定理） 设 f :U →V 是数域 K 上的线性空间的满线性映射，则映射 ker ( ) / ker , f f U f V + → 是同构映射. 线性映射的加法和数乘的定义，Hom (U,V) K 在加法和数乘下构成数域 K 上的线性空 间； 线性映射在一组基下的矩阵的定义； 命题 设 U 和 V 是数域 K 上的线性空间， dimU = n ，dimV = m ，则 Hom (U,V) K 同 构于 K 上的 m n 矩阵的全体构成的线性空间. 线性映射的复合的矩阵等于矩阵的乘积。 第十三周： （第四章 §3） 线性空间到自身的线性映射称为线性变换（Hom (V,V) K 记为 End (V) K 或 End (V ) ）；. End (V ) 关于加法和复合（作为乘法）构成环，称为 V 的自同态环；设 V 为数域 K 上的 n 维线性空间，则 End (V ) 同构于 M (K) n ； 线性变换（在一组基下）的矩阵的定义是线性映射的矩阵的特例；在给定的基下向量在 线性变换下的像的坐标等于的线性变换的矩阵乘以原来向量的坐标； 命题 设线性变换 A 在一组基 n , , 1 下的矩阵为 A ，由基 n , , 1 到基 n , , 1 的 过渡矩阵为 T ，则 A 在 n , , 1 下的矩阵为 T AT −1 . 矩阵的相似的定义；二矩阵相似当且仅当它们是同一个线性变换在两组基下的矩阵。 （第四章 §4） 线性变换的特征值与特征向量的定义； 线性空间 V 中属于确定的特征值 的特征向量（添加上零向量）构成子空间，称为属于 特征值 的特征子空间； 特征值和特征子空间的计算（用特征多项式以及线性方程组）