西北工业大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第四章 向量组的线性相关性（4-3）向量组的秩与最大无关组

定理4设a1=(an1,an2,…,amn),i=1,2,…,m A 21a22 (1)a1,a2,…,an线性相关兮 ranka<m; (2)a1,a2,…,an线性无关分 rankA=m, 证设 k2a,+…+kna 比较等式两端向量的对应分量可得 au a k1 12a2 k 0 aIn a2n 即A'x=0.由定理3.5可得: a1,a2,…,an线性相关台A2x=0有非零解 φ ranka< me rankA<m 推论1在定理4中,当m=n时,有 (1)a1,a2,…,an线性相关edet4=0; (2)a1,a2,…,an线性无关分det4≠0 推论2在定理4中,当m<n时,有 (1)a1,a2,…,an线性相关分A中所有的m阶子式Dn=0; (2)a1,a2,…,an线性无关分A中至少有一个m阶子式Dn≠0 推论3在定理4中,当m>n时,必有a1,a2,…an线性相关 因为 rankA≤n<m,由定理4(1)即得

8 定理 4 设  i = (ai1 ,ai2 ,  ,ain ), i = 1,2,  ,m             = m A     2 1             = m m mn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 (1)    m , , , 1 2  线性相关 rankA  m ； (2)    m , , , 1 2  线性无关 rankA = m ． 证 设 k11 + k2 2 ++ km m =  比较等式两端向量的对应分量可得             =                         0 0 0 2 1 1 2 12 22 2 11 21 1         n n mn m m m k k k a a a a a a a a a 即 0 T A x = ．由定理 3.5 可得：    m , , , 1 2  线性相关 0 T  A x = 有非零解  A  m T rank  rankA  m 推论 1 在定理 4 中, 当 m = n 时, 有 (1)    n , , , 1 2  线性相关  detA = 0 ； (2)    n , , , 1 2  线性无关  detA  0． 推论 2 在定理 4 中, 当 m  n 时, 有 (1)    m , , , 1 2  线性相关  A 中所有的 m 阶子式 Dm = 0 ； (2)    m , , , 1 2  线性无关  A 中至少有一个 m 阶子式 Dm  0 ． 推论 3 在定理 4 中, 当 m  n 时, 必有    m , , , 1 2  线性相关． 因为 rankA  n  m, 由定理 4(1)即得．

推论4向量组T:a1=(an,a2,…,an),i=1,2,…,m 向量组T2:月=(an1,a12;…,an,a1,…,am),i=1,2,…, 若T线性无关,则T2线性无关 a12 21a22 mI a P B B2 B T线性无关→ rankA=m A是B的子矩阵→ rank B≥ rankA=m → rankB=m→T2线性无关 定理5划分A-m-1|=|1B1…B则有 (1)A中某个D≠0→A中“D所在的”r个行向量线性无关; A中“D所在的”r个列向量线性无关, (2)A中所有D,=0→A中任意的r个行向量线性相关; A中任意的r个列向量线性相关 证只证“行的情形” (1)设D位于A的,…行,作矩阵Bm=:则有

9 推论 4 向量组 T1 ：  i = (ai1 ,ai2 ,  ,air ), i = 1,2,  ,m 向量组 T2 ：  i = (ai1 ,ai 2 ,  ,ai r ,ai,r+1 ,  ,ai n ), i = 1,2,  ,m 若 T1 线性无关, 则 T2 线性无关． 证              = m Am r     2 1               = m m mr r r a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1              = m Bm n     2 1               = + + + m mr m r mn r r n r r n a a a a a a a a a a a a           1 , 1 21 2 2, 1 2 11 1 1, 1 1 T1 线性无关  rankA = m A 是 B 的子矩阵  rankB rankA = m  rankB = m  T2 线性无关 定理 5 划分   n m Am n         1 2 2 1 =              = , 则有 (1) A 中某个 Dr  0  A 中“ Dr 所在的” r 个行向量线性无关； A 中“ Dr 所在的” r 个列向量线性无关． (2) A 中所有 Dr = 0  A 中任意的 r 个行向量线性相关； A 中任意的 r 个列向量线性相关． 证 只证“行的情形”： (1) 设 Dr 位于 A 的 r i , ,i 1  行, 作矩阵            = r i i Br n    1 , 则有

rank B=r→a1,…,a1线性无关 (2)任取4中r个行设为…行作矩阵B灬、 则有 rankB<r→a1,…,a,线性相关 [注称a1,a2,…,an为A的行向量组,B1,B2,…,Bn为A的列向量组 s43向量组的秩与最大无关组 1.向量组的秩:设向量组为T,若 (1)在T中有r个向量a1,a2,…,a,线性无关 (2)在T中有r+1个向量线性相关(如果有r+1个向量的话 称ax1,a2…,a,为向量组为T的一个最大线性无关组 称r为向量组T的秩,记作:秩(T)=r [注](1)向量组中的向量都是零向量时,其秩为0 (2)秩(T)=r时,T中任意r个线性无关的向量都是T的一个 最大无关组 例如,a1 的秩为2 ax1,a2线性无关→a1,a2是一个最大无关组 ax1,a3线性无关→a1,ax3是一个最大无关组 定理6设 ranka=r≥1,则 (1)A的行向量组(列向量组)的秩为r;

10 r i i rankB r  , , =  1  线性无关． (2) 任取 A 中 r 个行, 设为 r i , ,i 1  行, 作矩阵            = r i i Br n    1 , 则有 r i i rankB r  , ,   1  线性相关． [注] 称    m , , , 1 2  为 A 的行向量组,    n , , , 1 2  为 A 的列向量组． §4.3 向量组的秩与最大无关组 1．向量组的秩：设向量组为 T , 若 (1) 在 T 中有 r 个向量    r , , , 1 2  线性无关； (2) 在 T 中有 r + 1 个向量线性相关（如果有 r + 1 个向量的话）． 称    r , , , 1 2  为向量组为 T 的一个最大线性无关组, 称 r 为向量组 T 的秩, 记作：秩 (T) = r ． [注](1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为 0． (2) 秩 (T) = r 时, T 中任意 r 个线性无关的向量都是 T 的一个 最大无关组． 例如,       = 0 1  1 ,       = 1 0  2 ,       = 1 1  3 ,       = 2 2  4 的秩为 2． 1 2  , 线性无关 1 2  , 是一个最大无关组 1 3  , 线性无关 1 3   , 是一个最大无关组 定理 6 设 rankAmn = r  1 , 则 (1) A 的行向量组（列向量组）的秩为 r ；

(2)A中某个D≠0→A中D所在的r个行向量(列向量)是 A的行向量组(列向量组)的最大无关组 证只证“行的情形”: ranka=r→A中某个D.≠0,而A中所有D=0 定理5→A中D所在的r个行向量线性无关 A中任意的r+1个行向量线性相关 由定义:A的行向量组的秩为r,且A中D所在的r个行向量是 A的向量组的最大无关组 例6向量组r:B1=01,B P3 ,月4=3 求T的一个最大无关组 解构造矩阵A=[B1B2B3]=02-13 2015 求得mnkA=2→秩(T)=2 矩阵A中位于12行12列的二阶子式/13=2≠0 故B1,B2是T的一个最大无关组 [注]T为行向量组时,可以按行构造矩阵A 定理7Am∞n,Bnmx 行 (1)若A→B,则“A的c1,…,c列”线性相关(线性无关) B的c1,…,c列”线性相关(线性无关); (2)若A→B,则“A的1,,行”线性相关(线性无关)

11 (2) A 中某个 Dr  0  A 中 Dr 所在的 r 个行向量（列向量）是 A 的行向量组（列向量组）的最大无关组． 证 只证“行的情形”： rankA = r  A 中某个 Dr  0 , 而 A 中所有 Dr+1 = 0 定理 5  A 中 Dr 所在的 r 个行向量线性无关 A 中任意的 r + 1 个行向量线性相关 由定义： A 的行向量组的秩为 r , 且 A 中 Dr 所在的 r 个行向量是 A 的向量组的最大无关组． 例 6 向量组 T ：           − = 2 0 1  1 ,           = 0 2 3  2 ,           − − = 1 1 2  3 ,           = 5 3 2  4 求 T 的一个最大无关组． 解 构造矩阵   A =  1  2  3  4           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 求得 rankA = 2  秩 (T) = 2 矩阵 A 中位于 1,2 行 1,2 列的二阶子式 2 0 0 2 1 3 =  故 1 2  , 是 T 的一个最大无关组． [注] T 为行向量组时, 可以按行构造矩阵 A ． 定理 7 Amn Bmn , (1) 若 A B 行 → , 则“ A 的 k c , ,c 1  列”线性相关（线性无关）  “ B 的 k c , ,c 1  列”线性相关（线性无关）； (2) 若 A B 列 → , 则“ A 的 k r , ,r 1  行”线性相关（线性无关） 

“B的r1,…,行”线性相关(线性无关) 证(1)划分Anm={a1a2 Ba=[B1B2…n] 由A5B可得 B 故方程组 1 与方程组 an…p 同解.于是有 线性相关 台存在x1,…,x不全为0,使得x1an+…+xan=0 台存在x1,…,x4不全为0,使得x1月+…+xB=0 兮月n,…,B.线性相关 同理可证(2) [注]通常习惯于用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵B,当阶梯形 矩阵B的秩为r时,B的非零行中第一个非零元素所在的r个列 向量是线性无关的 例如:求例6中向量组T的一个最大无关组.构造矩阵 A=[BB2B,B]=02-13

12 “ B 的 k r , ,r 1  行”线性相关（线性无关）． 证 (1) 划分   Amn = 1  2   n ,   Bmn =  1  2   n 由 A B 行 → 可得     k k  c   c  c   c 1 1 行 → 故方程组             =           0 1 0 1    k c c x x k   与方程组             =           0 1 0 1    k c c x x k   同解．于是有 k  c  c , , 1  线性相关  存在 x xk , , 1  不全为 0, 使得 0 1 1 + + = k x  c  xk c  存在 x xk , , 1  不全为 0, 使得 0 1 1 + + = k x  c  xk  c k  c  c , ,  1  线性相关 同理可证(2)． [注] 通常习惯于用初等行变换将矩阵 A 化为阶梯形矩阵 B ,当阶梯形 矩阵 B 的秩为 r 时, B 的非零行中第一个非零元素所在的 r 个列 向量是线性无关的． 例如：求例 6 中向量组 T 的一个最大无关组．构造矩阵   A =  1  2  3  4           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2