《线性代数》习题解答

x-y+==0 x+2y+z+=0 0 x-2y+2w=0 x 0 y-二+w=0 解:1)对系数矩阵作初等变换 (-2H+r2「1-11 2107X-1 →03-2 01 02-3 r3×(-3/5) 1-32-35-3 2×(2H3。,3×(2/3)+r2 r3×(-1/3)+1 010 方程只有零解,x=y==0 2)对系数矩阵作初等变换 l-202 0-4-11 →02-11 02-11 102-11 r2×(-1)+1「10202×(1/2)「1020 02-11 r2×(-1/3) 01-1/21/2 00 ×(1/2)+12「1002 0100 001 因此,w为自由变元,令w=t为任意实数,则x=-2,y=0,=1,方程组的解集为 (21,0,1,D) 8.设一线性方程组的增广矩阵为 1432 求a的值使得此方程组有唯一解 解:对增方矩阵求初等变换 121|1 r 0-6 00a 因此,此方程组要有唯一解,就必须满足a+2≠0,即a≠-2 9.设一线性方程组的增广矩阵为

1)      + − = + = − + = 2 0 2 0 0 x y z x y x y z 2)      − + = − + = + + + = 2 0 2 2 0 2 0 y z w x y w x y z w 解: 1) 对系数矩阵作初等变换.           ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→  − +  +  −                 − ⎯⎯⎯⎯⎯→ −  − + +           − − − ⎯⎯⎯→            − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +  − +           − − 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ( 1/3) (2/3) ( 3/5) 3 5 0 0 3 2 0 1 3 1 1 0 ( 2) 0 2 3 3 2 0 1 1 1 1 3 1 0 2 3 0 3 2 1 1 1 ( 1) ( 2) 1 1 2 2 1 0 1 1 1 3 1 3 2 3 2 3 2 1 2 1 3 1 2 r r r r r r r r r r r r r r 方程只有零解, x=y=z=0. 2) 对系数矩阵作初等变换           − ⎯⎯⎯⎯ ⎯→  − +  +           − ⎯⎯⎯⎯⎯→ −  −            − ⎯⎯⎯⎯⎯→ −  +  − +           − − ⎯⎯ ⎯→ −            − ⎯⎯⎯⎯⎯→ − −  − +           − − 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 2 ( 2) (1/2) 0 0 1 1 0 1 1/ 2 1/ 2 1 0 2 0 ( 1/3) (1/2) 0 0 3 3 0 2 1 1 1 0 2 0 2 ( 1) 0 4 1 1 0 2 1 1 1 2 1 1 0 2 1 1 0 4 1 1 1 2 1 1 ( 1) 0 2 1 1 1 2 0 2 1 2 1 1 3 1 3 2 3 2 2 3 2 1 1 2 2 3 r r r r r r r r r r r r r r 因此, w 为自由变元, 令 w=t 为任意实数, 则 x=-2t, y=0, z=t, 方程组的解集为 (2t, 0, t, t). 8. 设一线性方程组的增广矩阵为           − − 2 2 3 1 4 3 2 1 2 1 1  求 α 的值使得此方程组有唯一解. 解: 对增方矩阵求初等变换           + ⎯⎯⎯→ +           − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − + +           − − 0 0 2 4 0 6 4 3 1 2 1 1 0 6 2 1 0 6 4 3 1 2 1 1 ( 2) 2 2 3 1 4 3 2 1 2 1 1 1 3 2 3 1 2    r r r r r r 因此, 此方程组要有唯一解, 就必须满足 α+2≠0, 即 α≠-2. 9. 设一线性方程组的增广矩阵为

2-530 14B0 1)此方程有可能无解吗?说明你的理由 2)B取何值时方程组有无穷多解? 解:1)此方程一定有解,因为此方程是齐次方程,至少有零解. 2)对此增广矩阵做初等变换 2-530 0-110×0-110 14B0 06B-1|0 00B+50 因此,只有当P+5=0,即B=-5时,方程才有无穷多解 10.求λ的值使得下述方程组有非零解 ∫(2-2)x+ -x+(2-2)y=0 解:对系数矩阵作初等行变换 f》2 11-21rxx-2)+r2 0(-2)2+1 因此,要使方程有非零解,必须有(4-2)2+1=0,但(-2)2+1≥0对A取任何实数值总是成立, 因此必有(λ-2)2+1≠0,因此,无论λ取什么值此方程组都不会有非零解 1l.求出下列电路网络中电流I1,2,l3的值 l3 R3=4 解:根据基尔霍夫定律可得如下方程组 1-12+13=0 2I,+4I,=8 3/1+212 对增广矩阵做初等行变换

          − − − − 1 4 0 2 5 3 0 1 2 1 0  1) 此方程有可能无解吗? 说明你的理由. 2) β 取何值时方程组有无穷多解? 解: 1) 此方程一定有解, 因为此方程是齐次方程, 至少有零解. 2) 对此增广矩阵做初等变换           + − − ⎯⎯⎯⎯→  +           − − − ⎯⎯⎯⎯→ +  +           − − − − 0 0 5 0 0 1 1 0 1 2 1 0 6 0 6 1 0 0 1 1 0 2 1 2 1 0 1 4 0 2 5 3 0 1 2 1 0 1 3 2 3 1 2    r r r r r r 因此, 只有当 β+5=0, 即 β=-5 时,方程才有无穷多解. 10. 求 λ 的值使得下述方程组有非零解.    − + − = − + = ( 2) 0 ( 2) 0 x y x y   解: 对系数矩阵作初等行变换:       − + − − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→  − +       − − − ⎯⎯ ⎯→        − − − 0 ( 2) 1 ( 2) 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2        r r r r 因此, 要使方程有非零解, 必须有(λ-2)2+1=0, 但(λ-2)2+1≥0 对 λ 取任何实数值总是成立, 因此必有(λ-2)2+1≠0, 因此, 无论 λ 取什么值此方程组都不会有非零解. 11. 求出下列电路网络中电流 I1,I2,I3 的值. 8V 5V R2=2Ω R1=3Ω I3 I2 I1 R3=4Ω 解: 根据基尔霍夫定律可得如下方程组:      + = + = − + = 3 2 5 2 4 8 0 1 2 2 3 1 2 3 I I I I I I I 对增广矩阵做初等行变换

11|01x(-3)+r 0248 (1/2) 0124 05-35 2×(-5)+3「1034 03|4 ×+0124×-1/13) 0124 3x(-2)+2「100|7/13 r2×(-3)+r 01022/13 00115/13 最后得l1=7/13,12=22/13,=15/13 12.一城市局部交通流如图所示(单位:辆/小时) l)建立数学模型 2)要控制x至多200辆/小时,并且x3至多50辆小时是可行的吗? 解:1}将上图的四个结点命名为A,B,C,D,如下图所示 200C 则每一个结点流入的车流总和与流出的车流总和应当一样,这样这四个结点可列出四个方 程如下 xI XI 150B +x5=200C x+x=350D 对增广矩阵进行变换

          ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +  − +           ⎯⎯⎯⎯⎯→  −           − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  +  − +           − − ⎯⎯⎯⎯⎯→   − +           − 0 0 1 15 /13 0 1 0 22 /13 1 0 0 7 /13 ( 3) ( 2) 0 0 1 15/13 0 1 2 4 1 0 3 4 ( 1/13) 0 0 13 15 0 1 2 4 1 0 3 4 1 ( 5) 0 5 3 5 0 1 2 4 1 1 1 0 (1/2) ( 3) 3 2 0 5 0 2 4 8 1 1 1 0 3 1 3 2 2 1 3 2 3 2 1 3 r r r r r r r r r r r r 最后得 I1=7/13, I2=22/13, I3=15/13 12. 一城市局部交通流如图所示.(单位: 辆/小时) 300 200 150 350 x1 x2 x3 x5 x4 1) 建立数学模型 2) 要控制 x2 至多 200 辆/小时, 并且 x3 至多 50 辆小时是可行的吗? 解: 1} 将上图的四个结点命名为 A, B, C, D, 如下图所示: 300 200 150 350 x1 x2 x3 x5 x4 A B C D 则每一个结点流入的车流总和与流出的车流总和应当一样, 这样这四个结点可列出四个方 程如下:        + = − + + = + − = + = x x D x x x C x x x B x x A 350 200 150 300 4 5 2 3 5 1 3 4 1 2 对增广矩阵进行变换:

11000300 1000|300 01-101507×(-1)+1、0-1 01200 00011350 00011350 F×(-1)「101-10|1501r×(-1)+P4「1010 500 /+ 2x-1+r、01-110150|7 r2×(-1)+F2 200 00011|350 000 1350 00011350 000000 可见x和x5为自由变量,因此令x3=s,x5=,其中s,t为任意正整数(车流量不可能为负值),则 可得x1=500-s-1,x2=s+1-200,x4=350-1 2)令x2=200,x=s=50,代入上面的x的表达式,得200=50+1-200,求出=350, 则x1=500-s-1=100,x4=0,是可行的 13.在应用三的货物交换经济模型中,如果交换系统由下表给出,试确定农作物的价值xi 农具及工具的价值x2,织物的价值x3的比值 M 131-313 解:根据上表可得关于x1,x2x3的三个齐次方程如下 x,tax2+ax x1-x2+元x3 0 323 0 对系数矩阵做行初等变换 rx 333 12 03 52 1-21 r×2+F 000 000 可见方程有非零解,x为自由变量,令x=为任意正实数,则有x1=x2=x=,即三种价值的比 值为1:1:1 第二章 2.1.写出下列方程组的矩阵形式

            − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ +  − +  − +             − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − + +  −             − − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +             − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 350 0 1 1 0 1 200 1 0 1 0 1 500 ( 1) ( 1) 0 0 0 1 1 350 0 0 0 1 1 350 0 1 1 1 0 150 1 0 1 1 0 150 ( 1) ( 1) 0 0 0 1 1 350 0 1 1 0 1 200 0 1 1 1 0 150 1 1 0 0 0 300 ( 1) 0 0 0 1 1 350 0 1 1 0 1 200 1 0 1 1 0 150 1 1 0 0 0 300 3 1 3 2 3 4 2 1 2 3 2 1 2 r r r r r r r r r r r r r 可见 x3 和 x5 为自由变量, 因此令 x3=s, x5=t, 其中 s,t 为任意正整数(车流量不可能为负值), 则 可得 x1=500-s-t, x2=s+t-200, x4=350-t. 2) 令 x2=200, x3=s=50, 代入上面的 x2 的表达式, 得 200=50+t-200, 求出 t=350, 则 x1=500-s-t=100, x4=0, 是可行的. 13. 在应用三的货物交换经济模型中, 如果交换系统由下表给出, 试确定农作物的价值 x1, 农具及工具的价值 x2, 织物的价值 x3 的比值. 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 C M F F M C 解: 根据上表可得关于 x1, x2,x3 的三个齐次方程如下:          + − = − + = − + + = 0 3 2 3 1 3 1 0 3 1 3 2 3 1 0 3 1 3 1 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 对系数矩阵做行初等变换:           − − ⎯⎯⎯⎯→  +           − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  −  +           − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→  − +  +           − − − ⎯⎯ ⎯→                     − − − 0 0 0 0 1 1 1 0 1 2 0 0 0 0 1 1 1 2 1 ( 1/3) 1 0 3 3 0 3 3 1 2 1 ( 1) 2 1 1 2 2 1 1 3 1 2 1 3 3 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 2 2 1 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 1 r r r r r r r r r r r r r r 可见方程有非零解, x3 为自由变量, 令 x3=t 为任意正实数, 则有 x1=x2=x3=t, 即三种价值的比 值为 1:1:1. 第二章 2. 1. 写出下列方程组的矩阵形式:

1)x1-2x2+5x=-1; x,+x2=1 5x+y+42=0 2y+二=0 3) 011 x3 000 3) 2.设 A B 求:1)3A-2B; 2)若X满足A+x=B,求X 解:1) 4321「3631「864 3A-2B 212 21-2636 3-86-63-4 50-1 6-(-4)3-26-(-4)L10110 因X满足A+X=B,等号两边同时转置,有 A+X=B 等号两边同时减去A,得 XB-A 因此有 X=B-A 21-2212 3.计算下列矩阵的乘积

1) x1-2x2+5x3=-1; 2)    + = − = 1 2 2 2 3 1 3 x x x x 3)      − = + = + + = 0 2 0 5 4 0 x z y z x y z 解: 1) 1, 2,5 1 3 2 1 =           − x x x ; 2)       − =                 1 2 0 1 1 2 0 1 3 2 1 x x x ; 3)           =                     − 0 0 0 1 0 1 0 2 1 5 1 4 z y x 2. 设       = 2 1 2 1 2 1 A ,       − − = 2 1 2 4 3 2 B 求: 1) 3A-2B; 2) 若 X 满足 A T +X T =B T , 求 X.. 解: 1)      − − =      − − − − − − − − =       − − −      =      − − −      − = 10 1 10 5 0 1 6 ( 4) 3 2 6 ( 4) 3 8 6 6 3 4 4 2 4 8 6 4 6 3 6 3 6 3 2 1 2 4 3 2 2 2 1 2 1 2 1 3A 2B 3 2) 因 X 满足 A T +X T =B T , 等号两边同时转置, 有 A+X=B, 等号两边同时减去 A, 得 X=B-A, 因此有       − − =       − − − − − − − − =      −      − − = − = 4 0 4 3 1 1 2 2 1 1 2 2 4 1 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 3 2 X B A 3. 计算下列矩阵的乘积: 1)             − 2 1 3 1 2 1 ; 2)  1 2 4 3 2 1 −             ;