同济三版《线性代数》 Linear Algebra Edited by AlEX 2向量组的线性相关性 3向量组的税 第四章向量组的线性相关性 4向量空间 5线性方程组的解的结构 本章总结 Chapter Iv linear dependence of vector Sets 主讲张少强 主讲人:张少强 sqzhang@mail.tinu.edu.cn 计算机与信息工程学院 返回 天津师范大学 全屏显示 出
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 1 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Ó▲♥❻✺❶✺➇ê✻Linear Algebra Edited by LATEX ✶♦Ù ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ Chapter IV Linear Dependence of Vector Sets ❒ù❁➭Ü ✟ r sqzhang@mail.tjnu.edu.cn 计算机与信息工程学院 天津师范大学
本章主要内容f介 31n维向量 2向量组的线性相关性 3向量组的税 4向量空间 1.主要介绍n维向量( vector)、向量组( vector set)的线性组合、向 5线性方程组的解的结构 本章总结 量的线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极 大线性无关组、向量组的秩、向量组的等价等概念。 主讲张少强 2.介绍向量组线性相关( linearly dependent)的性质。矩阵的秩与 向量组的秩的关系,用矩阵的初等变换求向量组的秩和极大 标题页 无关组。 3.用向量组的性质分析线性方程组的结构。 4.向量空间、子空间的概念,向量空间的基( basis)和维 第2页共56页 数( dimension) 返回 全屏显示 出
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 2 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✢Ù❒❻❙◆④✵ 1. ❒❻✵☛n➅➉þ(vector)✦➉þ⑤(vector set)✛❶✺⑤Ü✦➉ þ✛❶✺▲➠✦➉þ⑤✛❶✺❷✬❺❶✺➹✬✦➉þ⑤✛✹ ➀❶✺➹✬⑤✦➉þ⑤✛➑✦➉þ⑤✛✤❞✤❱❣✧ 2. ✵☛➉þ⑤❶✺❷✬(linearly dependent)✛✺➓✧Ý✡✛➑❺ ➉þ⑤✛➑✛✬❳➜❫Ý✡✛Ð✤❈❺➛➉þ⑤✛➑Ú✹➀ ➹✬⑤✧ 3. ❫➉þ⑤✛✺➓➞Û❶✺➄➜⑤✛✭✟✧ 4. ➉ þ ➌ ♠ ✦ ❢ ➌ ♠ ✛ ❱ ❣ ➜ ➉ þ ➌ ♠ ✛ ➘(basis)Ú ➅ ê(dimension)✧
11n维向量 定义1n个有次序的数a1,a2,,an构成的n元数组称为一个n维向量;这 31n维向量 些数称为向量的分量,第i个数a;称为向量的第i个分量. 2向量组的线性相关性 3向量组的税 n维列向量记作a= ,n维行向量记作a=(a1,2,…,an) 主讲张少强 本书中的向量除特别指出是行向量外,都是列向量.列向量用黑体小写字 标题页 母表示,行向量用带转置符号的黑体小写字母表示.η维列向量和n维向量 分别是n×1列矩阵和1×η行矩阵,它们的运算规则与矩阵运算规则一致 例如同维向量的加减,数乘及其运算规律与矩阵的一样 第3页共56页 零向量是分量都为0的向量,用黑体的0表示,而零矩阵用黑体的O表示 返回 列向量a与行向量a由定义1知是同一个向量,但我们总看成两个不同的向 全屏显示 量.本书主要讨论分量是实数的实向量 出
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 3 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 1 §1 n➅ ➉ þ ➼➶ 1 n❻❦❣❙✛êa1, a2, . . . , an✟↕✛n✄ê⑤→➃➌❻n➅➉þ; ù ✡ê→➃➉þ✛➞þ, ✶i❻êai→➃➉þ✛✶i❻➞þ. n➅✎➉þP❾a = a1 a2 . . . an , n➅✶➉þP❾a T = (a1, a2, · · · , an). ✢Ö➙✛➉þØ❆❖➁Ñ➫✶➉þ✠, Ñ➫✎➉þ. ✎➉þ❫ç◆✂✕✐ ✶▲➠, ✶➉þ❫➅❂➌❰Ò✛ç◆✂✕✐✶▲➠. n➅✎➉þÚn➅➉þ ➞❖➫n × 1✎Ý✡Ú1 × n✶Ý✡, ➜❶✛✩➂✺❑❺Ý✡✩➂✺❑➌➋. ⑦❳Ó➅➉þ✛❭⑦, ê➛✾Ù✩➂✺➷❺Ý✡✛➌✘. ✧➉þ➫➞þÑ➃0✛➉þ, ❫ç◆✛0▲➠, ✌✧Ý✡❫ç◆✛O▲➠. ✎➉þa❺✶➉þa T❞➼➶1⑧➫Ó➌❻➉þ, ✂➲❶♦✇↕ü❻ØÓ✛➉ þ. ✢Ö❒❻❄Ø➞þ➫➣ê✛➣➉þ
在解析几何中向量的定义是“既有方向又有大小的量”引进坐标系,向 量用坐标表示就是三个有次序的实数.几何中的向量其实就是本书定义 的3维向量.在高等数学第七章就要学习 几何中,空间是点的集合,空间中的每个元素就是一个点.这样的空间叫点 空间.几何中的空间都是3维的把3维向量的全体成组成的集合R3={r= 31n维向量 2向量组的线性相关性 (x,y,2)|x,y,z∈R}叫做三维向量空间 3向量组的税 4向量空间 Z 5线性方程组的解的结构 本章总结 (x,y, z) 主讲张少强 标题页 第4页共56页 返回 全屏显 X 向量的集合丌={r=(x,y,2)Tax+b+cz=a}叫做向量空间R3中的平 面 出
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 4 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✸✮Û❆Û➙➉þ✛➼➶➫“◗❦➄➉q❦➀✂✛þ”. Ú❄❿■❳, ➉ þ❫❿■▲➠Ò➫♥❻❦❣❙✛➣ê. ❆Û➙✛➉þÙ➣Ò➫✢Ö➼➶ ✛3➅➉þ. ✸♣✤ê➷✶ÔÙÒ❻➷❙. ❆Û➙, ➌♠➫✿✛✽Ü, ➌♠➙✛③❻✄❷Ò➫➌❻✿. ù✘✛➌♠✗✿ ➌♠. ❆Û➙✛➌♠Ñ➫3➅✛. r3➅➉þ✛✜◆↕⑤↕✛✽ÜR 3 = {r = (x, y, z) T |x, y, z ∈ R}✗❽♥➅➉þ➌♠. ➉þ✛✽Üπ = {r = (x, y, z) T |ax + by + cz = d}✗❽➉þ➌♠R 3➙✛➨ →
2向量组的线性相关性 定义n维向量的全体所组成的集合 3向量组的税 4向量空间 R={r=(x1,x2,…,rn)x1,x2,…,xn∈R} 5线性方程组的解的结构 本章总结 叫做n维向量空间 主讲张少强 n维向量的集合丌={r=(x1,x2,……,xn)Ta1x1+a2x2+…anxn=b}叫做 标题页 向量空间R中的超平面 例如3维空间再加上时间作为一维就成了4维向量空间.n维向量有着广泛 的应用.例如线性方程组Aπ=b中的η个未知量组成的向量就是n维向 第5页共56页 量 返回 全屏显 出
天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 5 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼➶ n➅➉þ✛✜◆↕⑤↕✛✽Ü R n = {r = (x1, x2, . . . , xn) T |x1, x2, . . . , xn ∈ R} ✗❽n➅➉þ➌♠. n➅➉þ✛✽Üπ = {r = (x1, x2, . . . , xn) T |a1x1 + a2x2 + · · · anxn = b}✗❽ ➉þ➌♠R n➙✛❻➨→. ⑦❳3➅➌♠✷❭þ➒♠❾➃➌➅Ò↕✡4➅➉þ➌♠. n➅➉þ❦❳✷➁ ✛❆❫. ⑦❳❶✺➄➜⑤Ax = b➙✛n❻➍⑧þ⑤↕✛➉þxÒ➫n➅➉ þ