北京大学数学科学学院高等代数(I)期末考试题 班级姓名 学号 成绩 (本题共40分)给定有理数域Q上的多项式f(x)=x4+3x2+3 (本题5分)证明f(x)为Q中的不可约多项式 (本题5分)设a是f(x)在复数域C内的一个根.定义 Ca]=tao+aia+a2a) 证明:对于任意的g(x)∈Q[],有g(a)∈Qa];又对于任意的β,y∈Qa],有βy∈Qa 3.(本题5分)接上题.证明:若β∈Qa],B≠0,则存在y∈Q[a],使得B=1 4.(本题15分)找出f(x)的一个 sturm序列.判断f(x)有几个实根 5.(本题10分)求下面三阶方阵在有理数域Q上的最小多项式 (本题10分)在欧氏空间R内求下列齐次线性方程组 +x2+3 000 +x2+9x3 的解空间的正交补空间的一组标准正交基 三.(本题15分)给定数域K上的多项式f(x)=x3+px+q设f(x)在复数域C内的三 个根是a1,a2,a3.求K上的首1三次多项式F(x),它以a2,a2,a3为三个根 四.(本题共15分)设A是m维酉空间V内的一个 Hermite变换 1.(本题5分)证明A-i可逆,这里i为虚单位 2.(本题10分)证明U=(A-iE)-1(A+iE)为酉变换 五.(本题10分)设A是n维酉空间V内的一个线性变换.如果A的特征向量都是A* 的特征向量,证明A是正规变换 六.(本题5分)证明在n维欧氏空间v中两两夹钝角(即夹角大于翌)的向量不能多于 +1个 七.(本题5分)考察复数域上全体m阶方阵所成的集合Mn(C,它关于矩阵的加法及实数 与矩阵的数乘组成实数域R上的线性空间.设M为其子空间,且满足:()若A,B∈M, 则AB∈M;(i)若A∈M,A≠0,则A可逆,且A 1.证明:任给A∈M,则A=aE(a∈或A=aE+B,这里a∈R且B2=bE (b∈Rb<0) 2.令N={A∈M42=bE,b∈R,b<0},证明N是M的子空间
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试题答案与评分标准 1.取p=3,利用 Eisenstein判别法 2.设g(x)=q(x)f(x)+r(x)(degr(x)<3或r(x)=0),则g(a)=r(a)∈Qa 到此得3分) 若β=h1(a),y=h2(a),令h(x)=h1(x)h2(x),则y=h(a)∈Qc] (到此得5分) 3.设B=b+b1a+b2a2.令g(x)=b+b1x+b2x2.因f(x)不可约且degg(x) degf(),t((a), g(a))=1 到此得2分) 于是有u(x),v(x)∈Q[z],使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.即得v(a)g(a)=1.而 (a)∈Qa],令γ=v(a)即可 到此得5分) 4.令()=f(,f(x)==3x=x2+2x, f6(x)=(x+1)f1(x)+(-2x+3),取f2(x)=2x-3 fi()=(2+f,(rtA 取∫3(x)=-1 于是f0(x),f1(x),f2(x),f3(x)为f(x)的一个 sturm序列 到此得8分) fo(a) fi(a) f2(a)f3(a) w(a) f(x)的实根数=W(-∞)-(+∞)=2-1=1 到此得15分) 若 sturm序列中f2(x),∫3(x)的符号弄错,其他做法正确,得8分) 5.A的特征多项式|E-4=3+3入2+3=f(X),有一个实根,两个共轭复根,故 A在C内的 Jordan标准形为对角矩阵,且主对角线元素互不相同 到此得6分) 于是A的最小多项式即为其特征多项式f(入 (到此得10分) 所求的正交补空间即为由系数矩阵的行向量生成的子空间. 到此得3分) 因 213-1 21 1060 320-2→11-3-1→01-9-1 319-1 1060 0000 故它的一组基.可取为a1=(1,0,6,0),a2=(0,1,-9,1)
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到此得5分 正交化 9 (到此得8分) 单位化,得 (1,0,6,0 (到此得10分) (若方法正确,计算有错,扣2-6分) F(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a3) σ1(a2,a2,a3)+o2(a2,a2,a2)-a3(a2,a2,a3) (到此得3分) 因为 σ1(a2,a2,a3)=a2+a2+a3 3)2-2(a1a2+ p2-2(-q(a1+a2+a3)=p2 03(a2,a2,a3)=(a1a2a3)2 (以上a,a2,a3各得4分) #X F(a)=x+2pz2+p2a-q 到此得15分) 四.1.因为 Hermite变换的特征值为实数,故对于任一a∈V,a≠0,都有Aa≠ia,即 (A-iE)a≠0.故A-iE可逆 2因A-iE和A+iE均可逆,而(A-iE)J=A+iE,故 U"F(A+iE=U(A-iE"=(A+iE=A-iE (到此得4分) 于是 (A -iEU U(A+iE=(A+iE(A-iE 由此得UU*=E
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到此得10分) 五.对n作数学归纳法.n=1时结论显然成立.设对n-1维酉空间结论成立.当 dimV=n时,设A0为A的一个特征值,Aa=Ma(a≠0),则A*a=/a.令 M=L(a).此时M为A*和(A*)=A的公共不变子空间 到此得5分) 限制在M-上,AM-和A*|M互为共轭变换.显然A|M±的特征向量也是AM 的特征向量.于是,按归纳法假设,A|M为M上的正规变换:A|Mr-A+lMr A|M⊥A|M.显然又有AA*a=M/a=A*Aa,故AA*=A*A,即A为正规变 换 到此得10分) 六.对n作数学归纳法.n=1时结论显然成立.设对n-1维欧氏空间结论成立.当 dim k=n时,若V内有n+2个向量a1,…,an+1,an+2两两夹钝角,于是(a,a)<0 (11i<j1n+2).令M=L(an+2.则V=M田M-,对于i 因(a,an+2)=k(an+2,an+2)<0,故k<0.又当i≠j时, 而kk(an+2,an+2)>0,故(1,月)<0.这样,M是m-1维欧氏空间,B1,B2,…,n+1 是M内n+1个两两夹钝角的向量,与归纳假设矛盾 (若证明中有实质性的思想,但没有完成证明,可得1-2分) 七.1.若M={0},结论显然成立.下面设M≠{0}.取A∈M,A≠0,则A-1∈M,于 是E=AA∈M.考虑 E.A. A 由于dimM1n2,故有 A=coE+CIA ∈R) 令∫(x) ∈R[x]有 f(x)=(x-an).(…(x-ar)."(x2+p1x+q)(…(x2+p+q0 其中a,P9∈R厉-4<0(11r,111).于是 0=f(4)=(4-a1E)(…(A-anE)"(42+p1A+qE)(…(42+p+q)0 因A-aE∈M,A2+pA+qE∈M,由上式及M满足的条件有知数有某个A-aE=0 或某个A2+PA+qE=0.若A2+pA+qE=0,即 PE)2-2 令B=A+eE,即为所求
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到此得3分) 将C看作R上的2维线性空间,定义映射 其中Tr(4)为A∈M的迹.Tr显然是R-线性映射 ()若A∈N且A≠0,则A2=bE(b≤0).A的最小多项式为A2-b无重根,故A 在C内相似于对角矩阵,主对角线上的元素为±vb为纯虚数.于是Tr(4)为纯虚数(注 意:相似矩阵的迹相同) i)反之,设A∈M且Tr(4)为纯虚数.若A=0,显然A∈N.否则A≠aE(a∈ 由上面1.的结果知A=aE+B,且B2=bE(a,b∈R,b<0).于是T(A)=ma+Tr(B) 而Tr(B)为纯虚数,故必有a=0,A=B∈N 由(),(i)知:N是M中迹为纯虚数的矩阵的全体,由此即知N关于(实数)数乘 和加法封闭,故N是M的子空间 到此得5分)
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