第4讲、自由电子气模型的其他性质 1、定量计算比热(k7<EF)(B)=am 1.定量计算比热 2. Sommerfeld积分 电于气在温度不为零时的性质 确定Ferm能级 3.费米能级 4.电子气总能量 N=f(E)D(E) 6E,r=0 5.金属电导率 6.Paul顺磁性 确定电子气能量 低温时自由电子气体的一些性质 EdE. T=o 思考:高温时,T>T;,自由电子气的性质 U=L f(E)D(E)EdE hmp:0.45.24.132/-igche 学 种即45.2413che c体理学 电子被热激发,看被积函数 T=OK T≠0K erm f(E)D(E)=C√E Fermi面以内被 k2T的范围 电子占满,形成 f(E)D(E)=-E-Er MEaT 所谓的负米球 Fermi面附近kT范 国内的电子 htp:/0.45.24.132// 物学 http:/10.45.24./chey 体理学 低温时费米分布函数的数学性质|y 低温性质 T≠0 ·总能量U=CDE(E)EdE 总电子数 kT<<e 类画数,且是(E-E1)的偶函数 两个式子求导,得-2“[D日 相减后,得=[(E-E)DE)g ·根据费米分布函数对温度导数的类8函教性 质,可以近似得到 体是学 即加45.24132che ac=D(ECdE(E-E 9
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第4讲、自由电子气模型的其他性质 1. 定量计算比热 2. Sommerfeld积分 3. 费米能级 4. 电子气总能量 5. 金属电导率 6. Pauli顺磁性 低温时自由电子气体的一些性质。 思考：高温时， T>>TF，自由电子气的性质？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、定量计算比热(kBT<<EF) • 电子气在温度不为零时的性质 • 确定Fermi能级 • 确定电子气能量 1 1 ( ) ( )/ + = E−EF kBT e f E ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ = = = ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ 0 0 0 ( ) , 0 , 0 ( ) ( ) 0 F C f E EdE T C EdE T N f E D E dE E ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ = = = ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ 0 3/ 2 0 3/ 2 0 ( ) , 0 , 0 ( ) ( ) 0 F C f E E dE T C E dE T U f E D E EdE E http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 Fermi 面以内被 电子占满，形成 所谓的费米球 T = 0 K T ≠ 0 K Fermi面 kBT的范围 Fermi 面附近kBT 范 围内的电子 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 T ≠ 0 电子被热激发，看被积函数 D(E) = C E EF ( ) ( ) 0 ( ) ( ) F F E E E E f E D E f E D E C E > < = = 1 ( ) ( ) ( )/ F + = E−E kBT e C E f E D E kBT http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 T ≠ 0 E f ∂ ∂ − T = 0 BT EF k << 类 函数, 且是(E EF )的偶函数 E f − ∂ ∂ − δ 低温时费米分布函数的数学性质 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 低温性质 • 总能量 ∫ ∞ = 0 U D(E) f (E)EdE • 总电子数 ∫ ∞ = 0 N f (E)D(E)dE • 对这两个式子求导，得 ∫ ∞ ∂ ∂ = ∂ ∂ = 0 el ( ) T f dEED E T U CV T f dEE D E ∂ ∂ = ∫ ∞ 0 F 0 ( ) ∫ ∞ = 0 F F E N E f (E)D(E)dE • 相减后，得 ( ) ∫ ∞ ∂ ∂ = − 0 F el ( ) T f CV dE E E D E • 根据费米分布函数对温度导数的类δ函数性 质，可以近似得到 ( ) ∫ ∞ ∂ ∂ ≈ − 0 F F el ( ) T f CV D E dE E E
对賣米分布求导可E-E,c (E-E,Vk,T 2、 Sommerfeld积分 I=L H(E)f(e)da 进行变量替换,x=(E-EF)kBT ·常通这样的积分,引入画数(E)=H(d kDE缸x2 +1 作分解积分1=o( 低温时,可将积分下限推至负无穷大,得 ·上武第一项为零。第二项中-d川dE为 处的类δ函数,宽度约kBT,是(EEF 数,可作近似计算,将Q(E展开到二 于是宁“号四÷自号 得到 Q()=QE)+(-E)(E)+(E-E1)Q"(E) 与前面的估计比较C=Mk 利用如+,则得,=0)50从 hmp:0.45.24.132/-igche 学 p45.24132gche c体理学 3、费米能级(T<T)=E)+6(Ek7 化学势随温度的变化N=CDf(EEdE 对于N=Cf(E)D(EME H(e)=D(E) T≠0K,kBT<EF T=OK O(E)= H(ee=C D(ele=Cl vEdE=CE N=3cE3(2//~>M=2cy g(E)=CE- T/E E≈EF1 Er< N=2c(" (E "=E 1+o(aT/,) 化学势随湿度变化 利用kBT<<EF Ee1-7kaTIEp) 所以室温下,与绝对温度零度时 的费米能级非常近 htp:/0.45.24.132// 物学 http:/10.45.24./chey 体理学 4、总能量(T<T)H(e)=aD(e U=Lf(ED(EEdE T≠0K,kT<<EF T=OK 2E U=2CErVE (,I 与定性的结 定性的解释是正确的,即 低温kT<<EF 果仅差常数 只有Perm面附近的电于被 因子 被激发的电子能量与估计值比较 (T/TkBT htp:0.45.24.132/gci 即加45.24132che 炸物理学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 • 对费米分布求导 ( ) ( ) [ ]2 / / 2 B F 1 F B F B + − = ∂ ∂ − − E E k T E E k T e e k T E E T f • 进行变量替换，x = (E − EF )/ kBT ( ) ∫ ∞ − + = E k T x x V e e C k TD E dxx F B / 2 2 F 2 B el 1 ( ) • 低温时，可将积分下限推至负无穷大，得 ( ) 1 3 2 2 2 π = + ∫ ∞ −∞ x x e e dxx F B 2 F 2 B 2 F 2 B 2 el 2 2 3 3 ( ) 3 T T N Nk E CV k TD E k T π π π = = = • 于是 • 与前面的估计比较 F B el T T C Nk V ≈ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 2、Sommerfeld积分 • 常遇这样的积分，引入函数 ∫ ∞ = 0 I H(ε ) f (ε )dε ∫ = E Q E H d 0 ( ) (ε ) ε • 作分部积分 ∫ ∞ ∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + − 0 0 ( ) ( ) ( ) ε ε ε ε ε d f I Q f Q • 上式第一项为零。第二项中-df/dE为中心在EF 处的类δ函数，宽度约kBT，是(E-EF)的偶函 数，可作近似计算，将Q(E)展开到二级近似， 得到 ( ) ( ) ''( ) 2 1 ( ) ( ) '( ) F 2 Q ε = Q EF + ε − EF Q EF + ε − EF Q E ( ) ( )2 F B 2 F 2 2 2 "( ) 6 ( ) 1 3 I Q E Q E k T e e dxx x x π π = = + + ∫ ∞ −∞ 利用 ，则得， http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 3、费米能级(T<<TF) H( ) ε = D(ε ) ( ) () () 3/2 0 0 0 3 2 Q E H d D d C d CE E E E = = = = ∫ ∫ ∫ ε ε ε ε ε ε ( ) -1/2 2 1 Q" E = CE ( )2 F B 2 F "( ) 6 I Q(E ) Q E k T π = + ∫ ∞ = 0 • 对于 N f (E)D(E)dE ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + 2 B F 2 3/2 F / 8 1 3 2 I CE k T E π ( ) 3/ 2 0 F 3 2 N = C E ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + 2 B F 2 3/ 2 F 3/ 2 0 F / 8 E E 1 k T E π ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≈ − 2 0 B F 2 0 F F / 12 E E 1 k T E π • 利用kBT<<EF http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 化学势随温度的变化 • 化学势随温度变化 * 因为TF=104~105，所以室温下，与绝对温度零度时 的费米能级非常接近 ∫ ∞ = 0 N C f (E) EdE BT EF T ≠ 0K, k << T = 0K ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 F B 2 3/ 2 F 8 1 3 2 E k T N CE π ( )3/ 2 0 F 3 2 N = C E ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≈ − 2 F 2 0 F F 12 1 T T E E π 0 EF < EF http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 4、总能量(T<<TF) • 被激发的电子能量与估计值比较 ∫ ∞ = 0 U f (E)D(E)EdE BT EF T ≠ 0K, k << T = 0K ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + 5/ 2 2 2 ( / ) 8 5 1 5 2 F BT EF U CE π k 低温 BT EF k << ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≈ + 2 0 2 0 / 12 5 1 5 3 F BT EF E k N U π 0 5 3 EF N U = U N ( ) T TF kBT 2 / 4 ~ π T T k T N U F B ( / ) 2 ~ H(ε ) () = εD ε http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 F B F B B V V T T Nk E k T Nk T U C 2 2 2 0 2 el π π ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = 与定性的结 果仅差常数 因子 定性的解释是正确的，即 只有Fermi面附近的电子被 激发！
低温时,电子气对热容的贡献很小 固体比热的实验结果 Cr=yr+br=Cp+Cr 并不只适用于自由电子气。电子许可 因此,只有在极低温度下,电子对比 能级形成能带时也是正确的 热的贡献才重要! 通过电子气比热测量,可以获得 Fermi 思考:一雄,二维电子气比热与温度的关 面附近能量态密度的信息 系,与有没有关系? hmp:0.45.24.132/-igche 学 种即45.2413che c体理学 ne T 5、金属电导率碰撞机制再讨论 实验事实→碰撞机制 经典模型=智 ·鈍净的铜晶体,液氯温度(4K)下的电导率接 个给出了这样结果的理论,一定会包含许多 近室温(300K)的10 真理 洛伦茨?—物理原因? 据此,弛时间约10秒量级l=vr,v~10°cm ·这样,平均自由程蹴是0.1厘米量级 实际情况是电p=M1<-1xny=n: 宣温下,电导率小10倍,平均自由程比原子间 子在金属中平 距大107倍 均自由程很大 由于电子的平均 自由程远大于原 缺陷〔浓度不太大)引起的电阻率,基本与温 子间距,因此经 p=P原子振动+P缺陷原子握动=P-P >h量子经典」典模型已是很好 的近似 与温度有关的电阻率对同一种金属的不同样品 相同—原子振动引起的电阻率 htp:/0.45.24.132// 物学 h即加45.24132/che 体物理学 电阻率<常湿:被原子振动散射 A低温:被缺陷散射 碰撞机制的量子观点 r额子振动「缺陷 电子与离子实没有碰撞! ·是指与固定在平衡点的高子实没有碰拉(周期 Oo oo 性势场) 如杲离子实抓动〔与温度有关),晶体中的这 为偏 被原子抓动散射 被杂质或晶格缺陪散射 位置,使原子核的周期性势场发生偏移,这样 电子就会与原子核发生碰撞 杂质,缺陷等当然也可以使周期性势场偏高 g ne TT 原子振动缺陷 使电子遭受碰(这基本与温度无关) 经典理论同样引入碰推,但机制不同!弛豫时 电阻率D=p子振动十P缺路原于抓动杂质 间的物理意义不同 http:10.45.24.132igcke 即加45.24132che 炸物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 低温时，电子气对热容的贡献很小 CV ∝ T el 并不只适用于自由电子气。电子许可 能级形成能带时也是正确的 通过电子气比热测量，可以获得Fermi 面附近能量态密度的信息！ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 固体比热的实验结果 3 el lat V CV CV C = γT + bT = + 因此，只有在极低温度下，电子对比 热的贡献才重要！ 思考：一维，二维电子气比热与温度的关 系，与维数有没有关系？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 5、金属电导率——碰撞机制再讨论 • 一个给出了这样结果的理论，一定会包含许多 真理！——洛伦茨？——物理原因？ F p ≈ hk ( ) sr k n n 1 3 1/3 1/3 2 F = π ≈ ≈ sr p h ≈ 实际情况是电 子在金属中平 均自由程很大 >> h >> xp x rs 量子——经典 由于电子的平均 自由程远大于原 子间距，因此经 典模型已是很好 的近似 • 经典模型Æ m ne τ σ 2 = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 实验事实Æ碰撞机制 • 纯净的铜晶体，液氦温度（4K）下的电导率接 近室温（300K）的105倍！ • 据此，弛豫时间约10-9秒量级 • 这样，平均自由程l就是0.1厘米量级 m ne τ σ 2 = • 室温下，电导率小105倍，平均自由程比原子间 距大107倍 • 外推至温度T=0的电阻率——剩余电阻率，由 缺陷（浓度不太大）引起的电阻率，基本与温 度无关 ρ = ρ 原子振动 + ρ 缺陷 • 与温度有关的电阻率对同一种金属的不同样品 相同——原子振动引起的电阻率 ρ 原子振动 = ρ − ρ 缺陷 l v , v ~ 10 cm/s 8 F F = τ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 电阻率 常温：被原子振动散射 低温：被缺陷散射 σ τ τ ρ 1 1 = = 2 ∝ ne m τ τ 原子振动 τ 缺陷 1 1 1 = + 电阻率 ρ = ρ 原子振动 + ρ 缺陷 原子振动 杂质 被原子振动散射 被杂质或晶格缺陷散射 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 碰撞机制的量子观点 • 电子与离子实没有碰撞！？ • 是指与固定在平衡点的离子实没有碰撞（周期 性势场） • 如果离子实振动（与温度有关），晶体中的这 种振动是一种整体的振动，这种振动偏离平衡 位置，使原子核的周期性势场发生偏移，这样 电子就会与原子核发生碰撞 • 杂质，缺陷等当然也可以使周期性势场偏离， 使电子遭受碰撞（这基本与温度无关） • 经典理论同样引入碰撞，但机制不同！弛豫时 间的物理意义不同 τ τ 原子振动 τ 缺陷 1 1 1 = +
准经典模型 电导率的量子模型解释 考虑自由程时,经典模型,取热运动速度, 有外场时,电流为零。在恒定外电场作用 准经典模型,诹取Ferm速度,比校 下,电子的状态变化 v≈2E/m=2k1/m ·无外场时,平衡态,费米球 ·温庋大于贤米温度—量子→经典 在这个外场作用下,电子状态 关于 Drude模型中金属因碰撞阻尼项导致电阻 发生改变,这时是非平衡态。 通过与杂质、缺陷的碰撞,建 的机制解释仍可用,只需将那里的与原子的碰 撞看作是与缺陷和周期性排列的原子集体振动 立新的热平衡,使贷米球移动 并保持在稳态→电流 的碰即可 对上式积分,可得km-k(0)= hmp:0.45.24.132/-igche 学 p45.24132gche c体理学 状态改变→漂移速度 电导图象:碰撞的作用→获得热平衡 eE 由此,建立平衡后,费米球的位移 电于状高发些与条质,原于□→m处 弛豫时间的意义! ·状态改变对应的漂移遠度增量 建立热平衡的时间→弛豫时间 mN漂移=hk=-ErV漂移=-eEr/ 状态改变→漂移遠度Va移=-eE/m ·在恒定电场E中,单位体积内含有n个电荷-e 则电流密度 j=-mev移=ned/m 电流密度j=-neva移=ne/mOhm定理 这就是Ohm定律me2r htp:/0.45.24.132// 物学 http:/10.45.24./chey 体理学 6、 Pauli顺磁性 Sommerfeld模型 Drude模型:无外磁场,由于电子本征矩的 ·加磁场后,电子自旋顺着磁场方向平移 子气体总磁矩为零 磁场后,自旋取向沿磁场方向—顺磁性 ·用经典MB分布, Ha B/ n)n=de+BH ).A=e+ B/, n)+e-P /4 I ·反转电子数约四nBg(E)/2总融矩变化M=ig(E1)B 总磁矩 磁化率x=MB=hg(E与温度无关 M=(n-nl=m2几= nHs tanh(B/k刀 湿时 F。B 与实验不符。实际上,几乎与温度无关 http:10.45.24.132igcke g(EM I(EM2 8+(EV2
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 准经典模型 • 温度大于费米温度——量子Æ经典 • 关于Drude模型中金属因碰撞阻尼项导致电阻 的机制解释仍可用，只需将那里的与原子的碰 撞看作是与缺陷和周期性排列的原子集体振动 的碰撞即可 v E m k T m v k T m 2 / 2 / / F B F 2 F B 2 th ≈ = ≈ • 考虑自由程时，经典模型，v取热运动速度， 准经典模型，v取Fermi速度，比较 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 电导率的量子模型解释 • 没有外场时，电流为零。在恒定外电场作用 下，电子的状态变化 dt d e k F = − E = h • 无外场时，平衡态，费米球 t e t h E k( ) − k(0) = − δk • 对上式积分，可得 • 在这个外场作用下，电子状态 发生改变，这时是非平衡态。 通过与杂质、缺陷的碰撞，建 立新的热平衡，使费米球移动 并保持在稳态Æ电流 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 状态改变Æ漂移速度 • 由此，建立平衡后，费米球的位移 • 弛豫时间的意义！ mv漂移 = hδk = −eEτ v漂移 = −eEτ / m δ τ h E k e = − ne ne / m 2 j = − v漂移 = τE • 在恒定电场E中，单位体积内含有n个电荷-e， 则电流密度 • 这就是Ohm定律 m ne τ σ 2 = • 状态改变对应的漂移速度增量 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 电导图象：碰撞的作用Æ获得热平衡 电子 状态发 生改变 Fermi球处 于稳态 建立热平衡的时间Æ弛豫时间 状态改变Æ漂移速度 v漂移 = −eEτ / m ne ne / m 2 电流密度 j = − v漂移 = τE Ohm 定理 τ 外场 m ne τ σ 2 = 与杂质、原子 振动发生碰撞 碰撞 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 6、 Pauli顺磁性 • Drude模型：无外磁场，由于电子本征磁矩的 无规取向，热平衡时，电子气体总磁矩为零。 加磁场后，自旋取向沿磁场方向——顺磁性 • 用经典M—B分布， ( ) ( ) ( )( ) B k T B k T B k T B k T n Ae n Ae A e e B B B B B B B B / / / / , , μ − +μ − +μ − −μ ↓ − − ↑ = = = + • 总磁矩 ( ) ( ) ( ) ( )( ) n ( ) B k T e e e e M n n n B k T B k T B k T B k T / / B B B / / B B tanh / B B B B B B B B μ μ μ μ μ μ μ μ = + − = − = − − − + − − − + ↑ ↓ • 低温时 B k T n k T n M n B 2 B B B B 3 3 μ μ ≈ μ = T k T n B M ~ 1/ 3 B 2 μ0 μ0μ B χ = = • 与实验不符。实际上，几乎与温度无关 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 Sommerfeld模型 • 加磁场后，电子自旋顺着磁场方向平移 * 与磁场方向相反的电子自旋能量高，磁矩反转，填 到另一自旋方向的能级上，平衡时，两个自旋方向 的费米能级一致 E EF g g ↑(E)/2 ↓(E)/2 g g ↑(E)/2 ↓(E)/2 E μBB g g ↑(E)/2 ↓(E)/2 E EF μ BBg(EF )/ 2 M g(EF )B 2 • 反转电子数约 总磁矩变化 = μ B • 磁化率 与温度无关 / ( ) F 2 χ = μ0M B = μ0μ Bg E
本讲要点 概念要点 低温时的性质 Sommerfeld模型中的碰撞 比热 米球漂移 总能量 弛豫时间 经典模型能够定性描述电导率的原因 电子自由程远远大于原子间距 位量与动量的乘积远远大于 Planck常数 弛豫时间 碰机制与经典理论的不同 物理意义与经典理论的 ·Pau顺職性 hmp:0.45.24.132/-igche 学 种即45.2413che c体理学 思考题 习题 高温时,T>TF,自由电子气的性质? 用无限深势阱代替周期性边界条件,即在边 ·一鳇,二维电子气比热与温度有没有关系? 界处有无限高势垒,试确定 1)波矢k的取值和k空闻状态密度 2)能量空间状态密度 3)导温度时的费米能级和电子气总能 4)电子出现在空间任何一点的几率 5)平均动量 6)由上面这些结果得出:无限深势阱边界条件与周 边界条件的解有什么不同?两种边界条件的 在那里?用哪个边界条件更符合实 理?为什么? htp:/0.45.24.132// 物学 http:/10.45.24./chey 体理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 本讲要点 • 低温时的性质 * 比热 * 总能量 • 经典模型能够定性描述电导率的原因 * 电子自由程远远大于原子间距 * 位置与动量的乘积远远大于Planck常数 • 弛豫时间 * 碰撞机制与经典理论的不同 * 物理意义与经典理论的不同 • Pauli顺磁性 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 概念要点 • Sommerfeld模型中的碰撞 • 费米球漂移 • 弛豫时间 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 思考题 • 高温时，T>>TF，自由电子气的性质？ • 一维，二维电子气比热与温度有没有关系？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 习题 • 用无限深势阱代替周期性边界条件，即在边 界处有无限高势垒，试确定： 1) 波矢k的取值和k空间状态密度 2) 能量空间状态密度 3) 零温度时的费米能级和电子气总能 4) 电子出现在空间任何一点的几率 5) 平均动量 6) 由上面这些结果得出：无限深势阱边界条件与周 期性边界条件的解有什么不同？两种边界条件的 解的根本差别在那里？用哪个边界条件更符合实 际情况？更合理？为什么？