第3讲、 Sommerfeld模型基态 1、再论 Drude模型 1.再论 Drude模型 Wiedemann- Franz定律,成功 2.费米一狄拉克分布 金属电子比热,完全失败 3.比热的定性估计 ·实验淵量,电子对比热的贡就在低温下与温度成正 4. Sommerfeld模型 比在绝对度时消失 5.状态密度波夫空间 6.状态密度—能量空间 7.T=0时的性质 ”杯 量子統计,自由电子气的基态性质 mp:/a.45.24.132/chey 体学 即加452432/iche c体理学 看:模型如何得到电子气比热? 2、 Fermi-Dirac分布 经典理论 Drude模型用经典統计:在给定的电子气密 N个自由电子 自由度3N 热容32k3]但童温时,实际1% Paul原理 电子怎么能够参与传导过程 · Sommerfeld模型用 Fermi-Dirac分布代替 犹加可以迁移似的,但对热客 Maxwell- Boltzmann分布 却凡乎没有贡献? fED(E)=XE-EVAY 热容被严重高怙!→?加热,温度升高慢,所 ,能量为E的状态被占提的几率。式 有电子都得到能量热客大→Pau原理否定 子的化学势,是湿度的函数,当温度 模型假定仍可以!但統计?→经典还是量子? 子最高占据状态能量,称为费米能 hrp://0.45.24.132/-jgcher 物学 D分布性质 FD与MB分布比较 典型金属,在 基态 宣温下的分 布。MB(黑), f(E)= 0≤f(E)≤1 FD(红), FD(T=0K,绿) 费米能级EF,T=0时的电子的最 ·基态,零度时,电子都处于费米能级以下 级 思考:经典极限 ·温度升高时,即对它加热,将发生什么情况? 对应的费米温度EE=k1T ·某些空的能级将被占据,同时,原来被占据的 某些能级空了出来 种p45.2432/ gche 体是学 http:/10.45.24.132/-igchey 体物理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第3讲、Sommerfeld模型——基态 1. 再论Drude模型 2. 费米—狄拉克分布 3. 比热的定性估计 4. Sommerfeld模型 5. 状态密度——波矢空间 6. 状态密度——能量空间 7. T=0时的性质 量子统计，自由电子气的基态性质 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、再论Drude模型 • Wiedemann-Franz定律，成功! • 金属电子比热，完全失败 * 实验测量，电子对比热的贡献在低温下与温度成正 比，在绝对零度时消失 V B c nk 2 3 = • 为什么对比热失败？ • 对电导率呢？因为弛豫时间是个参数，并不能证明 没有困难。成功的只有Wiedemann-Franz定律 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 看：模型如何得到电子气比热？ 经典理论 N个自由电子 自由度 3N 但室温时，实际~1% ? 电子怎么能够参与传导过程， 犹如可以迁移似的，但对热容 却几乎没有贡献？ Pauli原理、 Fermi分布！ 热容~3/2 NkB ~ B 热容被严重高估！Æ？加热，温度升高慢，所 有电子都得到能量Æ热容大ÆPauli原理否定 模型假定仍可以！但统计？Æ经典还是量子？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 2、 Fermi—Dirac分布 • Drude模型用经典统计：在给定的电子气密 度，温度T，平衡态，Maxwell—Boltzmann分 布 E k T B MB B e k T m f E n / 3/ 2 2 ( ) − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = π • Sommerfeld模型用Fermi—Dirac分布代替 Maxwell—Boltzmann分布 ( ) 1 1 ( ) F B / + = FD E−E k T e f E • 在温度T下，能量为E的状态被占据的几率。式 中EF是电子的化学势，是温度的函数。当温度 为零时，电子最高占据状态能量，称为费米能 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 FD分布性质 基态 T = 0 K 1 1 ( ) ( )/ + = E−EF kBT e f E 0 ≤ f (E) ≤1 思考：经典极限？ 费米能级EF，T=0时的电子的最 高能级 对应的费米温度EF =kBTF http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 FD与MB分布比较 • 基态，零度时，电子都处于费米能级以下 • 温度升高时，即对它加热，将发生什么情况？ • 某些空的能级将被占据，同时，原来被占据的 某些能级空了出来 • 典型金属，在 室温下的分 布。MB(黑)， FD(红)， FD(T=0K，绿)
3、比热的定性估计(半经典) 被发电于数][电子经典能量 ·分析:电子从零度起被加热,不象经典 个电子都得到k7的能量,而仅仅 Fermi U≈N(T/7)ka7=c≈N(/T1)ka 近的电子被激发 Drud高估了对热容有贡献的电子数 ·什么是物理?这就是物理! 与严格的理论相比,只差一个因子丌2/2≈49 估计:有kBT/kaT比例 的电子被激发,这部分 T-104-10K,室温下,比热比经典值小两个量级 电子数目(即上面近似 三角区城内电子被激发 思考: Drude模型中还有什么应该也只考虑应 到下面三角区城) 用费米能级附近的电子起作用?会得到什么结 N(kBT/kB)=N(T/TE) 果? mp:/a.45.24.132/chey 体学 Er=kaTE 即加452432/iche c体理学 Drude成功的原因? 4、 Sommerfeldt模型(基态性质)-2n Drude模型对比热失败! ·在PL3内的N个自由电子独立电子近似分 Drude模型对 Wiedemann- Franz定律基本正 离变量→单电子方程→单电子波函数 确!对热传导系数 RVw(r)=Ev(r)v(r)=Ce lv(r)=C ·模为常数,表示电子在各处出现的几率都相同 比热的过高估计(两个敷量级)正好被速度的 ·k平面波波矢,方向为平面波传播方向 过低估计(同样教量级)所抵消! 与波长的关系k=2r/A ·除了碰拉瞬间,不考虑与离子实的作用也是非 常好的近似,因为周期性排列没有散射机制 ·波函数代入方程得到解,即自由电子的能量 k2+k2) hrp://0.45.24.132/-jgcher 物学 xB2)如2m 体物理学 讨论E()=k2=-(k2+k2+k) 周期边界条件 ·自由电子的状态用量子数k来描述! y(x+L,y,=)=v(x,y,=) ·k是电子动量的本征态 y(x,y+L,2)=v(x,y,=) L)=y(x,y=) ·则相应的遠度v 比较电子动能 Vi(r)=eke 即自由电子的能量也可写成这个形式 ·k如何取值?国体无限时,k可取任意值,E(k) 边界条件导致k 因此是连续的,否则,k由边界条件定 取值的量子化 分立值 k,k,k2=0,±一,± 种p45.2432/ gche 体是学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 3、比热的定性估计(半经典) • 分析：电子从零度起被加热，不象经典粒子每 个电子都得到kBT的能量，而仅仅Fermi能级附 近的电子被激发 • Drude高估了对热容有贡献的电子数 • 估计：有 kBT /kBTF比例 的电子被激发，这部分 电子数目（即上面近似 三角区域内电子被激发 到下面三角区域） ~ ( / ) ( / ) B BTF N T TF N k T k = EF = kBTF kBT http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 • 什么是物理？这就是物理！ • 与严格的理论相比，只差一个因子 / 2 4.9 2 π ≈ U ≈ N(T /TF )kBT F B c N(T /T )k el V ≈ TF~104-105K，室温下，比热比经典值小两个量级 • 思考：Drude模型中还有什么应该也只考虑应 用费米能级附近的电子起作用？会得到什么结 果？ 被激发电子数 电子经典能量 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 Drude成功的原因？ • Drude模型对比热失败！ • Drude模型对Wiedemann-Franz定律基本正 确！对热传导系数 κ τ 2 3 1 c v = V • 比热的过高估计（两个数量级）正好被速度的 过低估计（同样数量级）所抵消！ • 除了碰撞瞬间，不考虑与离子实的作用也是非 常好的近似，因为周期性排列没有散射机制 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 4、 Sommerfeld模型(基态性质) • 模为常数，表示电子在各处出现的几率都相同 • k平面波波矢，方向为平面波传播方向 • 与波长的关系 • 在V=L3内的N个自由电子。独立电子近似Æ分 离变量Æ单电子方程Æ单电子波函数 ( ) ( ) 2 2 2 r r r ψ Eψ m − ∇ = h k r k r • = i ψ ( ) Ce • 波函数代入方程得到解，即自由电子的能量 k = 2π / λ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z k k k m k m E = = + + h h k = C 2 (r) ψ k = ∑i i 2m ˆ 2 p H http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 讨论 • 自由电子的状态用量子数k来描述！ • k是电子动量的本征态 p = hk • 则相应的速度 m k v h = • 即自由电子的能量也可写成这个形式 2 2 1 比较电子动能 E = mv ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z k k k m k m E = = + + h h k • k如何取值？固体无限时，k可取任意值，E(k) 因此是连续的，否则，k由边界条件定 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 N L 周期边界条件 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z L x y z x y L z x y z x L y z x y z ψ ψ ψ ψ ψ ψ + = + = + = k r k r • = i ψ ( ) e = = =1 ikxL ik yL ikzL e e e ;L 6 ; 4 ; 2 , , 0; L L L k k k x y z π π π = ± ± ± 边界条件导致k 取值的量子化， 分立值 思考：无限深势 阱？
5、状态密度—波矢空间k= 基态,电子在k空间都处于半径 为kp的球内,即占据球内一点 每个点都是解,描写电子状态 最高被占据 征个状态在山空间占体积rPsF ermi能级速度温度 E 2m 间代表一个 Pu原理:每个k 态填两个电子由/平径k的球内的状态敷为 低到髙依次填充 形成半径为k的 状态密度:k空间单位体积内的状态数 自挽] 45.24.132/inche 体学 即加452432/iche c体理学 Ferm能级? 基态总能量(7=0 基态下电子填充的最高能级 单位体积自由电子气体的基态能量:Feim球 Ferm能级:把基态下已被占据的状态和未被 内所有电子能量之和 占据的状态分开 ·只有 Fermi能级附近的电子才容易被激发 b=2k2 如果加外场,也只有 fermi级附近的状态发生变 k<kF 2m 自旋 hrp://0.45.24.132/-jgcher 物学 种即加4524B32- Fache 体理学 为了将求和转换为积分,利用k空间单⊥ 6、状态密度能量空间 位体积内的状态数,可得 E_2、22、hk 状态空间,k点等间距分布,每个k点占有的体 838724aik=1A 2r h'k k空间草位体积内k点数—状态密度〔常数) r210m 再利用N=2 2k2 ·更常用的是能量空间的状态密度? 电子气五_11(2n)3=3A2F 平均能 r210mV2.452m5 种pma45.24132 ache 体是学 http:/10.45.24.132/-igchey 体物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 5、状态密度——波矢空间 • 每个点都是解，描写电子状态 • 每个状态在k空间占体积 2π / L ( ) 2 / L 8 /V 3 3 π = π •状态密度：k空间单位体积内的状态数 3 8 1 π V = Δk 每个 k值在该空间代表一个点 ;L 4 ; 2 , , 0; L L k k k x y z π π = ± ± http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 kF ky kx kz Fermi 能级 ( ) 3 3 F 3 4 2 2 k V N π π = 半径 kF 的球内的状态数为 基态，电子在k空间都处于半径 为kF的球内，即占据球内一点。 最高被占据面，Fermi面 Pauli原理：每个 k 态填两个电子，由 低到高依次填充， 形成半径为kF的 Fermi球 自旋 m k v F F h = B F F k E T = 速度 温度 m k E 2 2 F 2 F h = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 Fermi能级？ • 基态下电子填充的最高能级 • Fermi能级：把基态下已被占据的状态和未被 占据的状态分开 • 只有Fermi能级附近的电子才容易被激发 * 电流也是Fermi能级附近的能态占据状况发生变化 引起的 * 如果加外场，也只有Fermi能级附近的状态发生变 化 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 基态总能量 (T=0) • 单位体积自由电子气体的基态能量：Feimi球 内所有电子能量之和 ∑< = F 2 2 2 2 0 k k m k E h 自旋 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 3 8 1 π V k = Δ 为了将求和转换为积分，利用k空间单 位体积内的状态数，可得 ∑ ∑ < < = = Δ F F 8 2 2 2 2 2 2 3 2 2 0 k k k k m k m k V V E k h h π ∫ < = F 8 2 2 2 2 3 0 k k d m k V E k h π m k E F F 2 2 2 0 h = ( ) 3 3 F 3 4 2 2 k V N π π = ∫ < = F 2 2 2 3 4 8 2 2 k k k dk m k π π h 再利用 ( ) 3 F 2 5 3 2 0 2 4 2 3 10 1 F m V k k V N E π π π ⋅ = h m kF 5 2 3 2 2 h = 0 5 3 = EF m k 10 1 2 5 2 h F π = 电子气 平均能 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 6、状态密度——能量空间 • 状态空间，k点等间距分布，每个k点占有的体 积 3 3 2 8 L V π π ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δk = • k空间单位体积内k点数——状态密度（常数） 3 8 1 π V = Δk • 更常用的是能量空间的状态密度？
能量空间,k→E 能量态密度 ·k求和以积分代替,分立→连续 书中用单位体积内的D(Eg(E 已知k空间的状态密度(常数),由k空间的状 态密度可以得到能量空间的状态密度,利用 在能量空间,对分立能级的求和也可转换成积 k2+k2+k2)= h2k2 分S八E)→f(E) d)de →D(E) D(E状态密度:单位能量间隔E~E+dE 得到D(E) 内,电子状态数 思考:能量空间的状态密度什么物理意义? mp:/a.45.24.132/chey 体学 即加452432/iche c体理学 自 体积微元 ·三维时,能量状态蜜度与能量的平方根成正比 d N=2-dk=2-4zk2dA 经典:同一能量状态可以填任意电子 EsNk2→=b2JE 量子:泡利不相容原理 米分布:热平衡时,能量处在E时的几率 VE N=D/(E)D(E)dE=C /(E)EdE N状态数。如果全部用来填克电子,就是电子 敷。因此,假定电子总敷知道,可用上式来确 思考:二雏、一 定Ferm能量,总能等7=0时的基态性质 hrp://0.45.24.132/-jgcher 种即加424l32 gche 体物理学 if E<e 7、T=0时的性质 ifE>E 电子气的平均能量(平均动能) ·电子数 E I D(E)(EEdE T EdE ·费米能级 在了=0K电子仍具有相当大的动能!马量级 EO nk 米能的典型 相应的费来温度 得费米波矢k2=(3m)y3|为10k Pau不相容原理 种p45.2432/ gche 费米波夹为原子 四体幅学间距的侧敷 http:/10.45.24.132/-igchey 体物理学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 能量空间，kÆE • 在能量空间，对分立能级的求和也可转换成积 分 • k求和以积分代替，分立Æ连续 ∑ → ∫ k k f k dk V f ( ) 8 ( ) 3 π ∑ → ∫ i f (Ei) f (E)D(E)dE • D(E)——状态密度：单位能量间隔E~E+dE 内，电子状态数 • 思考：能量空间的状态密度什么物理意义？ dE dN D(E) = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 能量态密度 • 书中用单位体积内的D(E)/VÆg (E) • 已知k空间的状态密度（常数），由k空间的状 态密度可以得到能量空间的状态密度，利用 ( ) m k k k k m E x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 h h = + + = • 得到D(E) ( ) 8 3 D E V → π http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 3/ 2 2 2 2 2 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = h V m C D E C E π E m dE k dk m E 2 2 2 2 2 2 h h = ⇒ = D(E) E C E k dk V d V dN 2 3 3 4 8 2 8 2 π π π = k = 思考：二维、一维 自旋 密度 体积微元 dE dN D(E) = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 • 经典：同一能量状态可以填任意电子 • 量子：泡利不相容原理 • 费米分布：热平衡时，能量处在E时的几率 ∫ ∫ ∞ ∞ = = 0 0 N f (E)D(E)dE C f (E) EdE • 三维时，能量状态密度与能量的平方根成正比 3/ 2 2 2 2 2 ( ) , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = h V m D E C E C π • N状态数。如果全部用来填充电子，就是电子 数。因此，假定电子总数知道，可用上式来确 定Fermi能量，总能等T=0时的基态性质 ( ) 1/[ 1] ( )/ = + E−EF kBT f E e http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 7、T=0时的性质 • 电子数 ⎩ ⎨ ⎧ > < = F F E E E E f E 0 if 1 if ( ) ( ) ( )3/ 2 0 3/ 2 2 2 3/ 2 0 0 2 3 3 2 0 F F E E V m N C EdE C E F ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = ∫ π h ( )2/3 2 0 3 2 n m EF π h = 1/3 k (3 n) F = π • 费米能级 m k E F F 2 2 2 0 h = n = N /V • 利用 • 得费米波矢 费米能级的典型 数值是1~10eV 相应的费米温度 为104 ~ 105 K 费米波矢为原子 间距的倒数 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 电子气的平均能量（平均动能） N D E f E EdE E ∫ = ( ) ( ) 0 在 T = 0 K 电子仍具有相当大的动能！EF量级 Pauli 不相容原理 0 0 3/ 2 0 5 3 F E E dE E N C F ∫ = =
自由电子气能量密度g=ENE 自由电子气压强P 体积弹性横重B=-2 由于 由于 E P∝p-5/3 h2(,N 于是 与V是23关系,所以 S-Mlop B 37=3v mp:/a.45.24.132/chey 体学 即加452432/iche c体理学 本讲要点 概念要点 Drude模型失败的根本原因只有费米能级 费米狄拉克分布 附近的电子才在电导和热导中起作用 热平衡,温度T时,电子处于能量E的几率 Sommerfeld模型 ·化学势。零时,最高占据能级—费米能级 Fermi-Dirac分布代管 Maxwelk-Boltzmanr分布 货米能级 FD分布性质 ·电子最高的占据级 一个例子:半经典模型估计比热 ·只有米能级附近的电子才是活跃的,参与输运 ·基态的基本性质 状态密度 状态密度—极其重妥的物理量 k空间状态密度是常数 米能级、贵米波矢、贵米半径 单位能量间隔内电子状态数 基态能量 hrp://0.45.24.132/-jgcher 物学 种即加4524B32- Fache 体理学 思考问题 习题 · Drude模型中还有什么应该也只考虑应用费米 求零温庋时一雏、二维电子气体的费米能级和 能级附近的电子起作用?会得到什么结果?回 电子气体平均能量 顾上讲习题1和2。 能量空间的状态密度有什么物理意义? 维、二维能亚空间状态密度 种p45.2432/ gche 体是学 http:/10.45.24.132/-igchey 体物理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 • 自由电子气能量密度 0 F 0 0 5 3 nE V NE V E ε = = = • 自由电子气压强 V N E P ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = − 0 0 0 F 5 3 E = NE • 由于 ( ) 2/3 2 2/3 2 0 3 2 3 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = V N m n m EF π π h h ε 3 2 3 2 3 0 2 0 0 ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = − V E V E V E P N • 与V是-2/3关系，所以 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 • 体积弹性模量 V P B V ∂ ∂ = − P V P B V V 3 5 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = − • 由于 2/3 0 − E ∝V • 所以 −5/3 P ∝V • 于是 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 本讲要点 • Drude模型失败的根本原因——只有费米能级 附近的电子才在电导和热导中起作用 • Sommerfeld模型 * Fermi—Dirac分布代替Maxwell—Boltzmann分布 • F-D分布性质 • 一个例子：半经典模型估计比热 • 基态的基本性质 * 状态密度——极其重要的物理量 * 费米能级、费米波矢、费米半径 * 基态能量 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 概念要点 • 费米—狄拉克分布 * 热平衡，温度T时，电子处于能量E的几率 * 化学势。零度时，最高占据能级——费米能级 • 费米能级 * 电子最高的占据能级 * 只有费米能级附近的电子才是活跃的，参与输运 • 状态密度 * k空间状态密度是常数 * 单位能量间隔内电子状态数 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 思考问题 • Drude模型中还有什么应该也只考虑应用费米 能级附近的电子起作用？会得到什么结果？回 顾上讲习题1和2。 • 能量空间的状态密度有什么物理意义？ • 一维、二维能量空间状态密度。 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 习题 • 求零温度时一维、二维电子气体的费米能级和 电子气体平均能量