上讲要点:晶格、基元、格点、格矢 咬文嚼字→加深印象(牺号内为第一版页码) 晶体=晶格(几何结构数学)+基元(具体内容,物理) p23(p34):平移任何一个格夫,晶体保持不变 ·“晶体疑为“昌格”之误。 p24(p.35:“对有限大的晶体,所含原胞数和 格点敷相等” 晶体(简称)可以有两个含义: #理想晶体数学=晶格+基元无限的 晶格(点阵、格子),基元(原胞、晶融) #实际晶体→物理一原子规则排列的材料→有限的 格点,其位置由格夫R=1a1+l2a2+l1a3表示 但格子和格点是唯一的 a1,a2,a是基矢,格矢满足:R-R+R #格子是晶体周期性的数学抽象,一定是无限的; 基元内可以只有一个原子,也可不止一个 #原胞和格点都是对格子定义的 表示基元内每个原子相对 ·所以这句话不要误解成格子可以是有限的 心糊学 政中4524l3-iche 体理学 咬文嚼字(括号内为第一版页码) 易混淆概念:简单晶格、复式晶格 p.34(p.51):原胞只含一个格点,是体积最小 ·晶格:基元中只含有一个原子的晶格 重复单元,单胞则不同,可含一个或数个格点 Bravias格子 格盘雨最 基元中含有一个以上的原子的晶格 里蟲婚驾子只有化哥图除价 ·比如,面心立文结构和金刚石结构,都是面心 p40p.60):简单晶格与复式晶格 立方格于,按这概念,就成简单面心立方晶 格,复式面心立力晶格? 关键是绝对不要把基元里的原子当作格点 带芯格子( lattice with bases) 回体学 上讲复习:如何确定原胞和基矢? 例:嶂窝结构, honeycomb 给定一个原子排列站构,如何确定原胞和基 蜂窝结构的基元至少含两个原子,所以 选基元含两个原子,这时可先不考虑形状 1.根据原胞是最小重复单元,分析、判断 ·比如选a和b对 2.选定原胞的代表点—格点 2.诚基元能否覆盖晶体? 3.检验:是否选基矢便格夫可以表示每个格 点,没有遗漏,也没有多余 3.选基元中如a原子作格 举例 *基元中的等价点对应格点 4.选基失表达格点 5.其他检验程序如前 心立方结构 6.还需给出基元内原子坐 种的45.24132he园你物学 45.24132he国体物理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 上讲要点：晶格、基元、格点、格矢 • 晶格(点阵、格子)，基元(原胞、晶胞) • 格点，其位置由格矢Rl =l1a1+l2a2+l3a3表示 * a1，a2，a3是基矢，格矢满足：Rl =Rm+Rn • 基元内可以只有一个原子，也可不止一个。 * 由位矢τ1，τ2，τ3，…表示基元内每个原子相对 于格点的位置 晶体 =晶格(几何结构,数学) +基元(具体内容,物理) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 咬文嚼字Æ加深印象(括号内为第一版页码) • p.23(p.34)：平移任何一个格矢，晶体保持不变 * “晶体”疑为“晶格”之误。 • p.24(p.35)：“对有限大的晶体，所含原胞数和 格点数相等”。 * 晶体（简称）可以有两个含义： # 理想晶体Æ数学=晶格+基元Æ无限的 # 实际晶体Æ物理=原子规则排列的材料Æ有限的 * 但格子和格点是唯一的： # 格子是晶体周期性的数学抽象，一定是无限的； # 原胞和格点都是对格子定义的 * 所以这句话不要误解成格子可以是有限的 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 咬文嚼字(括号内为第一版页码) • p.34(p.51)：原胞只含一个格点，是体积最小的 重复单元。单胞则不同，可含一个或数个格点 * 格点不是原子，是基元（原胞或单胞）的代表点。 一旦用单胞作基元，实际就有它对应的格子，而单 胞由格点的代表。只有在代表原胞的格点这个意义 上(那是另一套格子)，单胞才可含那套格子的一个 或数个格点。因此，既然用单胞，就应视单胞为基 元，就用代表格点基元。因此这时格子就不是原来 与原胞对应的格点的格子。慎用这样的表述。 • p.40(p.60)：简单晶格与复式晶格 * 不能说复式晶格说法错，因为作为一个概念它有自 己的定义。但这种说法不好，容易引起对晶格的误 解，我们总是把格子理解成布拉维格子的简称。 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 易混淆概念：简单晶格、复式晶格 • 简单晶格：基元中只含有一个原子的晶格 =Bravias格子 • 复式晶格：基元中含有一个以上的原子的晶格 (相同或不同原子) 带芯格子（lattice with bases） 源自：复式晶格可以看成由几套简单晶格套构而成 考题：复式格子的倒格子是不是复式格子？ • 比如，面心立方结构和金刚石结构，都是面心 立方格子。按这个概念，就成简单面心立方晶 格，复式面心立方晶格？ * 关键是绝对不要把基元里的原子当作格点 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 上讲复习：如何确定原胞和基矢？ • 给定一个原子排列结构，如何确定原胞和基 矢？三个步骤： 1. 根据原胞是最小重复单元，分析、判断 2. 选定原胞的代表点——格点 3. 检验：是否选基矢使格矢可以表示每个格 点，没有遗漏，也没有多余 • 举例： * 蜂窝结构 * 六角密堆积结构 * 面心立方结构 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 例：蜂窝结构，honeycomb • 蜂窝结构的基元至少含两个原子，所以 1. 选基元含两个原子，这时可先不考虑形状 * 比如选a和b对 a b c d f e g h i k j l 2. 该基元能否覆盖晶体？ * 平移椭圆，可以覆盖！ 3. 选基元中如a原子作格点 * 基元中的等价点对应格点 5. 其他检验程序如前 4. 选基矢表达格点 * 比如a-k和a-e 6. 还需给出基元内原子坐标
例:蟑窝结构, honeycomb 例:六角密积: hexagonal close- packed(hep) 基元可以有多种选择 比如选b和c对 也能覆盖晶体 样,基失也可有 种选择 比如可选为bj和bd ·与前面完全等价 T1=(0,0,0),以基矢为单位 注意这里的椭圆并 不表示基元的形 ,以基矢为单位 状,只是表示基元 332 所包含的原子 种:a45.2432che回体学 邮45.2413 binche园体嚼理学 六角密积是ABAB复六角密堆积顶视 六角密积第3层不能重夏,立方密堆积顶视 先在y面内确定基失,图: ABABAB 有没有第3层满足重复条件 的晶体结构? 图: ABCABO 即a1和a2,如何确定 原子可代表格点的奈件 原子可代表格点的条件 路:票品原3子都到 勤晨繫領}原子橡到Q 移到第 两次平移后结构需重复 4层,寅色表。B 三次平移后结构重复 绿色表A层,黄t *功分量:a是轴的一半 次为c轴的13,色表(鼠 移后可以重复 在x方向平移 量:在x方向平移后位,而CB有同样 所愿子不代表格点亮高,再部0最教组合 在w方向的分量即错位矢量。 因此,这种结构中每个原立密堆积结构是 ABCABC 子可以是格点面心立方地置复,原子可代表格点 例:面心立方:face- centred cubic(fcc 例:面心立方: face-centred cubie(fec) ·沿对角线方向看,面心立方就是 ABCABC的六 角堆积而成 黄、白色的六角容易看出,在后面加一个晶胞 可看出绿色的六角 a ·移出单独看就很清楚 种的45.24132he园你物学 424l3iche物理学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 例：蜂窝结构，honeycomb a b c d f e g h i k j l • 基元可以有多种选择 * 比如选b和c对 • 也能覆盖晶体 • 同样，基矢也可有 多种选择 * 比如可选为b-j和b-d • 与前面完全等价 • 注意这里的椭圆并 不表示基元的形 状，只是表示基元 所包含的原子 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 例：六角密积: hexagonal close-packed(hcp) c a1 a2 a3 以基矢为单位 以基矢为单位 ), 2 1 , 3 1 , 3 2 ( (0,0,0), ˆ )ˆ 3 ˆ( 2 )ˆ 3 ˆ( 2 2 1 3 2 1 = = = = + = − τ τ a k a i j a i j c a a i j k http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 六角密堆积顶视 图：ABABAB… • 六角密积是ABAB重复 • 先在xy面内确定基矢， 即a1和a2，如何确定 a3？ • 原子可代表格点的条件 * 沿a3平移后将第1层原子 移到第2层原子位置！ * 沿a3平移将第2层原子移 到第3层原子位置！重复 • 两次平移后结构需重复 * z分量：a3是c轴的一半， 两次平移后可以重复 * xy分量：a3在xy方向平移 后不能重复，见图。 • 所以，原子不代表格点 绿色表A层，黄色表B层。 B 层和A层二维周期一样，但有 一错位，a3在xy方向的分量即 错位矢量。六角密堆积结构是 ABAB地重复。如原子可代表 格点，那a1,a2,a3整数组合(格 矢)可把所有绿黄点表示出来 10 立方密堆积顶视 图：ABCABC… • 六角密积第3层不能重复 • 有没有第3层满足重复条件 的晶体结构？ 绿色表A层，黄色表B层，白 色表C层。B、C层和A层二维 周期一样，但BA之间有错 位，而CB有同样的错位，a3 在xy方向的分量即错位矢量。 立方密堆积结构是ABCABC 地重复，原子可代表格点 • 原子可代表格点的条件 * 沿a3平移后将第1层原子移到 第2层原子位置！ * 沿a3平移后将第2层原子移到 第3层原子位置！ * 沿a3平移将第3层原子移到第 4层原子位置！以后重复 • 三次平移后结构重复 * z分量：a3可取为c轴的1/3， 三次平移后可以重复 * xy分量：a3在xy方向平移后 可重复，见图。 • 因此，这种结构中每个原 子可以是格点Æ面心立方 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 例：面心立方：face-centred cubic(fcc) ) ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ( 2 3 2 1 a i j a k i a j k = + = + = + a a a k j i a1 a2 a3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 例：面心立方：face-centred cubic(fcc) • 沿对角线方向看，面心立方就是ABCABC的六 角堆积而成 • 黄、白色的六角容易看出，在后面加一个晶胞 可看出绿色的六角 • 移出单独看就很清楚
例:面心立方:face- centred cubic(fcc) 第8讲、密堆积、晶列和晶面 前面是将面心立方看作与六角密堆积类似结构 分析,但面心立方习惯的基失选取如图,我们 1.密堆积 看看这样的基失是否满足前面提到过的要 2.配位教 即平移后能不能重复 3.密堆积和配位教举例 和a确定的平面 看a平 4.聶列和晶向指数 1+a3和a2+a3,在 5.面和晶面(Mier)指敷 (1,12,12)和(12,1,1/2) 6.咬文嚼字 是格点 2.a3+a3在顶角上,也 是格点 与晶体周期性站构有关的概念—晶列、晶向、 晶面、晶面指敷;以及其他一些概念—密 3.可证没有多余的点 堆积、堆积比,最近邻和配位数等 种:∥45.24324kche國体学 体理学 1、密堆积(与周期性无关) Kepler堆积问题 原子在晶体中的平衡位置,相应于体系能量最 低的位置,因此总是尽可能地紧蜜排列 ·二维问题1892年被挪 那么,如何排列同样大小的球,使空隙最小? 威数学家 Axel thue 这是一个古老的 Kepler堆积问题1611) 证明 三维问题的证明? 堆积比上限 密堆积:7404% 绝大多教数学家都相信而所有物理学家都知道」 回体学 趣452413 binche体理学 密堆积:只有两种,六角和立方 堆积比rc结构) 注意:原子平均占有的体积! 顶角原于共个原子每 f:每个晶駝头4个原子 顶角原 子8个晶胞共享 上层口口 相当于每个晶融1个顶角原 下层 口口 ·面上原子:共6个原子,每 口口 个面上原子2个晶胞共享 相当于每个晶胞3个原子 ·堆积比:相切的硬球体积与 堆积比 √2 CABO 整个体积之比 种的45.24132he园你物学 424l3iche物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 例：面心立方：face-centred cubic(fcc) • a1和a2确定的平面， 看a3平移 1. a1+a3和a2+a3，在 (1,1/2,1/2)和(1/2,1,1/2) 是格点 2. a3+a3在顶角上，也 是格点 3. 可证没有多余的点 • 前面是将面心立方看作与六角密堆积类似结构 分析，但面心立方习惯的基矢选取如图，我们 来看看这样的基矢是否满足前面提到过的要 素，即平移后能不能重复 a1 a2 a3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 第8讲、密堆积、晶列和晶面 1. 密堆积 2. 配位数 3. 密堆积和配位数举例 4. 晶列和晶向指数 5. 晶面和晶面(Miller)指数 6. 咬文嚼字 与晶体周期性结构有关的概念——晶列、晶向、 晶面、晶面指数；以及其他一些概念——密 堆积、堆积比，最近邻和配位数等 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 1、密堆积（与周期性无关） • 原子在晶体中的平衡位置，相应于体系能量最 低的位置，因此总是尽可能地紧密排列 • 那么，如何排列同样大小的球，使空隙最小？ • ——这是一个古老的Kepler堆积问题(1611) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 Kepler堆积问题 • 二维问题1892年被挪 威数学家Axel Thue 证明 • 三维问题的证明？ * 堆积比上限 # 77.97%(1958) # 77.84%(1988) • 密堆积：74.04% 绝大多数数学家都相信而所有物理学家都知道 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 密堆积：只有两种，六角和立方 • 注意：原子平均占有的体积！ 上层 下层 六角密积 ABABAB 立方密积 ABCABC http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 堆积比(fcc结构) • fcc：每个晶胞共4个原子 • 顶角原子：共8个原子，每 个顶角原子8个晶胞共享， 相当于每个晶胞1个顶角原 子 • 面上原子：共6个原子，每 个面上原子2个晶胞共享， 相当于每个晶胞3个原子 • 堆积比：相切的硬球体积与 整个体积之比 a2 4 2 max a r = 6 3 2 4 4 3 3 max π π = × = a r 堆积比
堆积比 2、配位数(与周期性无关) ·最近邻:高某一原子最近的原子,称为该原子 的最近邻 不必是同种原子,但距高相同 配位数:最近邻的原子数 描写原子排列密的程度 Sc:-丌=0.52 相切;上下两层名与三个原子相 由于对称关系,没有1l10,9,7,5的配位数 ·因此,可能的配位数依次是12;8;6;4;32 计算时需要将原胞沿基矢正负方向各延伸一个周期 种:∥45.24324kche國体学 体理学 3、举例(体积和配位数) 简立方 简立方 休心立方 面心立方 配位数 们45.24132che回体学 趣452413 binche体理学 体心立方 面心立方 原胞? 原胞? [配位数:8口 位数 种的45.24132he园你物学 424l3iche物理学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 堆积比 0.34 16 3 diamond : 0.52 6 1 sc : 0.68 8 3 bcc : 0.74 6 2 fcc : = = = = π π π π http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 2、配位数（与周期性无关） • 最近邻：离某一原子最近的原子，称为该原子 的最近邻 * 不必是同种原子，但距离相同 • 配位数：最近邻的原子数 * 描写原子排列紧密的程度 * 最大配位数=12(密堆积)：每个原子与同层六个原子 相切；上下两层各与三个原子相切 * 由于对称关系，没有11，10，9，7，5的配位数 * 因此，可能的配位数依次是12；8；6；4；3；2 * 计算时需要将原胞沿基矢正负方向各延伸一个周期 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 3、举例 (体积和配位数) • 简立方 • 体心立方 • 面心立方 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 简立方 V= a3 配位数：6 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 体心立方 V = ？ 配位数：？8 1/2 a3 原胞？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 面心立方 V = ？ 配位数：？12 1/4 a3 原胞？
金刚石结构 4、晶列和晶向指数 将面心立方结构,沿对角线方向移动1/4对角线 晶格中所有的格点都在 彼此平行的直线 长度重叠而成 晶列(晶列簇)晶列的方向(晶向) V=1/4a3 点答喜周口以想在一 所有格 原胞? 晶体外观上的晶棱就是某一昌列 金刚石结构 晶格,原胞 与面心立方 相同 配位教:」4 种:∥45.24324kche國体学 液4524l32iche 体理学 L.任一晶列上周期性地排列着无穷多个格点 R=la+mb+ne 2.任一晶列都有无穷多与之平行的晶 晶向 这些互相平行的晶列构成一个昌列族 同系列族是列上的格点具有相同的周期性 区分晶列→晶列方向→怎么表示? 3每簇晶列必将所有的格点包含无遗 两个格点的连线即一晶列,因此从任一格点沿 昌格中所有的格点都在同一晶列族内 晶列方向到最近邻格点的平移失量即晶 过一晶列的平面中含无限平行周期排列晶列 一簇晶列包含所有格点,所以一定包含原点 过原点沿晶列方向的最短格失即晶向 其中的l,m,n可用来表示该晶列晶向—{lml ·最近邻格点的平移夫量即最短格夫隐含什么? 已经隐含m,n为互质的整敷→最短的格失 00J[100→<100>1010010010>p01001→01> 问:这样的我示有没有问题?是否唯-? 回体学 基失的选取!结晶学原胞晶胞 5、晶面和晶面(iler)指数 1.任一晶面上二维周期性排列着无穷多个格点 2.任一晶面都有无限多与之平行的晶面 ·晶格的所有格点也可看成都在一族相互平行 这些互相平行的晶面构成一族晶面族 闷族昌面上的格点具有相同的二维周期性 的、间距相等的平面上—一晶面 3.每族晶面必将所有的格点包含无遗 ·面间距大的晶面族,面上格点的密度较高 ·昌格中所有的格点都在同一昌面族內 4.同族晶面中,相邻晶面的面间距相等,记为d 何区分晶面? ·曷面的方向→昌面方向指数(Milr指数)? 种的45.24132he园你物学 424l3iche物理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 金刚石结构 • 将面心立方结构，沿对角线方向移动1/4对角线 长度重叠而成 V = ？1/4 a3 配位数：？4 原胞？ 金刚石结构 属面心立方 晶格，原胞 与面心立方 相同 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 4、晶列和晶向指数 • 晶格中所有的格点都在一簇簇彼此平行的直线 上Æ晶列(晶列簇)Æ晶列的方向(晶向) * 一簇簇意即可以有无限多簇，每一簇都包含所有格 点没有遗漏——所有格点都在某一簇晶列上 * 晶体外观上的晶棱就是某一晶列 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 1. 任一晶列上周期性地排列着无穷多个格点 2. 任一晶列都有无穷多与之平行的晶列 * 这些互相平行的晶列构成一个晶列簇 * 同系列(簇)晶列上的格点具有相同的周期性 3. 每簇晶列必将所有的格点包含无遗 * 晶格中所有的格点都在同一晶列簇内 4. 过一晶列的平面中含无限平行周期排列晶列 * 相邻晶列间距相等 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 晶向 • 区分晶列Æ晶列方向Æ怎么表示？ • 两个格点的连线即一晶列，因此从任一格点沿 晶列方向到最近邻格点的平移矢量即晶向 [100],[100]→<100 > [010][010] →< 010 > [001],[001]→< 001> • 其中的l，m，n可用来表示该晶列晶向——[lmn] • 问：这样的表示有没有问题？是否唯一？ ——基矢的选取！结晶学原胞——晶胞 R = la + mb + nc O • 最近邻格点的平移矢量即最短格矢隐含什么？ • 已经隐含l，m，n为互质的整数Æ最短的格矢。 • 一簇晶列包含所有格点，所以一定包含原点。 过原点沿晶列方向的最短格矢即晶向 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 5、晶面和晶面(Miller)指数 • 晶格的所有格点也可看成都在一族相互平行 的、间距相等的平面上——晶面 • 面间距大的晶面族，面上格点的密度较高 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 1. 任一晶面上二维周期性排列着无穷多个格点 2. 任一晶面都有无限多与之平行的晶面 * 这些互相平行的晶面构成一族晶面族 * 同族晶面上的格点具有相同的二维周期性 3. 每族晶面必将所有的格点包含无遗 * 晶格中所有的格点都在同一晶面族内 4. 同族晶面中，相邻晶面的面间距相等，记为d • 如何区分晶面？ * 晶面的方向Æ晶面方向指数(Miller指数)Æ？