同余的算术应用1 ☆正整数a能被9整除if9整除a的十进制表示各数字 的和 证明若a=>a.10,则由 10}=1(mod9)(i=1,2,,n) 和定理1④可得 a=oa)(mod 9) 注:因为10≡1(mod3),同理,一个整数能被3整除的必 要充分条件是它的10进位数码的和能被3整除
* 正整数a能被9整除 iff 9整除a的十进制表示各数字 的和． 证明 若 , 则由 10i1(mod 9) (i=1,2,…,n) 和定理 1④可得: 注：因为10≡1(mod3)，同理, 一个整数能被3整除的必 要充分条件是它的10进位数码的和能被3整除. = = n i i a ai 0 10 = n i a ai 0 ( )(mod 9) 同余的算术应用1
同余的算术应用1 正整数a能被7(或11,或13)整除ifrf7(或11,或13)整 除的定理进制表示各数字的交错和a=∑(-1)a 证明:因为1000与-1对模7(或11,或13)同余, 由同余性质,a=∑(-1)amod7)(或modl,或 mod13). 所以,结论得证
同余的算术应用1 ** 正整数a能被7(或11，或13)整除 iff 7(或11，或13) 整 除a的定理十进制表示各数字的交错和 ． 证明：因为1000与-1对模7(或11，或13)同余， 由同余性质， (或mod11，或 mod13). 所以 ，结论得证。 （-1）（mod7） 0 i = n i a ai = = n i a ai 0 i （-1）
同余的算术应用2—弃九法 o*证明了“弃九法”(弃九验算法):把一个数的各 位数字相加,直到和是一个一位数(和是9,要减去 9得0),这个数就叫做原来数的弃九数.且一个数 的弃九数与其模9的余数相等。 o利用这种方法可以验算较大整数的加法、减法、乘 法运算的结果是否正确,也可验算除法,但需转化 成乘法
同余的算术应用2 ——弃九法 *证明了“弃九法”（弃九验算法）：把一个数的各 位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去 9得0），这个数就叫做原来数的弃九数．且一个数 的弃九数与其模9的余数相等。 利用这种方法可以验算较大整数的加法、减法、乘 法运算的结果是否正确，也可验算除法，但需转化 成乘法
弃九法 例1验算851+346=1198 解:先分别求出两个加数的弃九数与和的弃九数 851、346的弃九数分别是5,4,1198的弃九数1 两个加数的弃九数相加得4+5=9,弃掉9后是0,而题 目中和的弃九数是1,可以说这道题一定错误。 注:利用弃九法检验运算的结果是否正确时, >如果等号两边的九余数不相等,那么这个算式肯 定不正确; ≯如果等号两边的九余数相等,那么还不能确定算 式是否正确,因为九余数只有0,1,2,…,8九种 凊况,不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九 法检验运算的正确性,只是一种粗略的检验
弃九法 例1 验算 851+346=1198． 解： 先分别求出两个加数的弃九数与和的弃九数． 851、346的弃九数分别是5，4，1198的弃九数1． 两个加数的弃九数相加得4+5=9，弃掉9后是0，而题 目中和的弃九数是1，可以说这道题一定错误。 注：利用弃九法检验运算的结果是否正确时， ➢ 如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯 定不正确； ➢ 如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算 式是否正确，因为九余数只有0，1，2，…，8九种 情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九 法检验运算的正确性，只是一种粗略的检验
弃九法 例2求证1997×57≠113828 证明由于1997=1+9+9+7=8(mod9) 57=5+7≡3mod9) 113828≡1+1+3+8+2+8=5(mod9) o但是,8×3=24,而24≠5(mod9),得证
弃九法 例2 求证 1997×57≠113828. 证明 由于19971＋9＋9＋78 (mod 9) 57 5＋7 3(mod 9) 113828 l+1+3+8+2+8 5(mod 9) 但是, 8×3=24, 而24≠5(mod 9), 得证