则表示A和B的行数必须相等，列数也必须相等，且每一对应元 素都相等，即4i=b 4,矩阵的加减法 两个(”×m)矩阵可以相加减。例如 A+B=C 则 c)=a；十b 5矩阵和数的乘法 如 元A=:C (,=时 上述运算有如下性质： 对易律： A十B=B+A 1A=A2 (1.1-6) 结合律： A+(B+C)=(A+B)+C (a +B)A=@A+BA O(A+B)=A+aB (1.1-7) 6.矩阵和矩阵的乘法 参照(1.1-5)式的推广，Cayley定义矩阵的乘法规则如下：一 个：行m列的矩阵可以和m行列的矩阵相乘，得到一个n行 列的矩阵，即 a1au·a1m1bb12b1门 C=AB a2ia22*··42m b1b22b2t 、 Lan an2"、·anm 2···bm nX m mX克 n× 其中 Ci= (i=1,2,…2ni=1,2,…,) 二1 (1.1-8) 章30
由此定义可见，只有前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相等时才 能相乘，否则不能桁乘.例如 411412 a13 CI C12 C13 C1 b 43143233 则 C3=421b13+a22b23+a25b数 即乘积矩阵C的第二行第.三列的矩阵元c3等于A矩阵的第二行 和B矩阵的第三列各元的两两乘积之和.义如 2 B- 01 1 则 1-12 ”- BA- 所以，一般而言 AB≠BA (1.1-9) 即矩阵乘法的次序不能交换。但矩阵乘法满足结合律 ABC-(AB)C-A(BC) (1.1-10) 7.转置矩阵 把凭阵A={a]的行列互换，叫做矩阵的转置，转置后得 到的新矩阵称为A的转置矩阵，用符号AT来表示，即 A=[a] AT=[aii] 转置矩阵也叫位调矩阵。文献中也常用A,A'等符号表示A的转 置矩车. 若在转置矩阵AT中，每个矩阵元萘用它的共轭复数来代替， 4
则形成的新矩阵称为转置共轭矩阵(he transpose complex conjugate of a matrix)或共轭阵，用符号AH来表示，即 A=l2]A9=[e*] (1.1-11) A的转置共轭矩阵也有用符号A或A*或A*表示者. 例如 A-2] 则 A-2] 又如 a 则 a a】 A1= a 费 ai a*」 如A为(n×m)矩阵，B为(m×)矩阵，则AB可以相 乘，它们的转置共轭矩阵A为(m×n)矩阵，B虹为(？×m) 矩阵，所以只有BHA可以相乘，而AB不能相乘。不难证明， 如 C-AB 则 Ci =(AB)==BAH 推而广之，如 F=ABC.··X 则 F=X..CBA到 8.零矩阵 零矩阵[0]或0是全部矩阵元为零的矩陈，例如 lol-9日8ua=08]
9.矩阵的分块 高阶矩阵的运算广分繁复.有时可把高阶矩阵分块(pati tioning of a matrix).使高阶矩阵的运算化为低阶矩阵的运算.分块 后的矩阵，可把它的子阵(subnatrices)看作元素那样来进行加 减法和乘法的运算。例如二阶矩阵A可以划分四块如卜： A- A 21'422a2 (1.1-12) 其中 A:=Taul A,=[a12a1B] A.- A,= A,A2,A和A称为A的子矩阵。 如有同阶矩阵B,以同样的方式分块如下： Bib12 b13 BB, B b24:b2b23 B.B. (1.1-13) bat b32 ba3 其中 B,=[b] B2=Lb2b13] B.= 「b22b231 ba bss) 则 A+B-+B.A.+B. A,+BA,+B21 (1.1-14) AB-AAI8」-A8+A 「AB,+A.B AB2A.B1 3ABA,B4」 (1.1-15) (1.1-13)式的矩阵B也可川川另一种方式分块如下： Tin bi2 bia B B ba b bz B2 (1.1-16 ba 632 63 ▣6
其中 B.=[b1b2b3】 这样分块后的B和按(1.1-12)式分块的A不能相加（因为把子 矩阵当作元素看待，则分块后的A是2×2矩阵，而B是2×1 矩阵)，但A和B可以相乘 AB-1是A]8=食8+众 (1.1-17) 显然，B不能从左边乘A. §1.2行矩阵和列矩阵 1.行矩阵和列矩阵 仅有一行的矩陈称为行矩陈，例如 A西{a.]三【aa4·anl 1.2-1) 仅有一列的炬阵称为列矩阵，例如 B{b;} b2 (1.2-2) 为书写或印刷节省地位起见，我j有时把列矩阵横转来写，但用花 括号表示，或仍用方括号，但作有上角加上转置符号T,即 b2 B={b;}={bb,…}器[bb…b]r 2.行夫和列矢 行矢可用行矩阵表示，列矢可用列矩阵表示。因为在”维空 间的矢量有n个分量44·a,它行正好用一个行矩阵[a,]或列