矩阵{a}表示.如果矢量的分量a:巾有复数、则称[a:]为n维 复矢量。 3.Dirac符号 Dirac把行矢叫做左矢(bra vector或bra),以〈|表示之，把 列矢叫做右矢(ket vector或ket),以|〉表示之.左矢和右矢互 为转置共轭.例如 X) iY)- y2 : (1.2-3) 则 X=:X)〉=[x*x*·x*} (1.2-4) 4.矢量的标积和失量的正交 在维复空间可中尖最X与Y的标积定义为 Ty17 (XY〉=XY=[x*]{y:}=[x*x.…x] y2 ∑x*y:=YX)H (1.2-5) 左矢和右矢相乘就成为一个括号.事实上.bra和kct两宁是Dirac 创造出来的，就是把bracket(括号)拆成两半片. 当X与Y的标积XY〉=0时，称失量X与￥正交，当- 组矢量1任何两个都互相正交时，称为正交矢量组. 5,矢量的长度或模 当Y一X时，标积X“X的平方根称为矢量X的长度或模 (norm),以1HX表示， 。8+
用X=√XX=√x*1+x*x2十··x声x (1.2-6) 长度等于1的矢量称为单矢量.如有一组矢量X(:=【,2,··, n),其长度都等于1，且全部互相正交，则称为正交归一矢量组. 6.右失与左矢的乘积 y1xyx·…y1r素 YX] y2x*yx.·yx ynx.…yax Ly,xilx (1.2-7) 所以”维右矢与”维左矢的乘积是一个“阶方阵，而左矢与右矢 的乘积（即标积）则是一个数， 51.3方 阵 1,方阵和对角阵 矩阵的行列数相等者（即n=m),称为方炬阵或方阵。：称 为方阵的阶。 除对角线上各元素外，其余棉是零的方矩阵称为对角阵，例如 11 0 0 A- 022 =fa6] 0 0 3 b (1.3-1) 0 B 0 0 =[b,6:] 0 b 式中a,称为克罗内克符号(Kronecker delta),它的意义是 (1.3-2) 定理1 两个同阶对角阵的乘积可以对易，即 AB-BA (1.3-3) 9·
证明：当：≠j时，则 (4B:-atb=0 (1.3-4) 式中(AB),表示A和B的乘积矩陈的第行第i列元素.在上 式右边的加和中，当=i时，五右=0；当=i讨，a=0；当 及=其它值时，4t=b:=0,所以等式(1.3-4)成立. （4B)n=∑ab划=ab (BA)i=∑bia=ba#=arbH (1.3-5) .AB-BA 所以A和B可以对易，且其乘积AB也是对角阵. 2.三对角阵 除4和b,各元素外，其余都是零的矩阵称为三对角阵，例 如 T×X000 01 大 X×0 00 0 XXX 0 0 A- (1.3-6) 0 0 p 0 0 0 ×X X 0 00 0 3.单位矩阵和纯量矩阵 对角线上各元素为1，其余均为零的方阵称为单位矩阵(nit matrix),以I或[8，]表示，即 I=[11=[8,] (1.3-7） 例如 -9 ▣10
定理2 单位矩阵1与同阶方阵A的乘积可以对易，即 [A-AI (1.3-8) 定理3单位矩车的任何整数次方等于单位矩阵，即 I"-I (1.3-9) 纯量矩阵(scalar matrix)对角元素为相同的数，其余都是零 的方阵称为纯量矩阵，例如 0 S- = (1.3-10) 0 定理4 纯量矩阵S和同阶方阵A的乘积可以对易，即 SA-AS (1.3-11) 侣对角阵与同阶方阵的乘积般不能对易 4.Hermite矩阵 凡方阵A和它的转置共轭陈AH相等者，则称A为Hermite 对称矩阵(Hermitian symmetric matris),简称fermite矩陈，即 A=A川 aii=a (1.3-12) 例如 2 3 就是Hermite矩阵. 当A之元券4全部为实数，且a;一4.时，则称A为对称 炬阵。 5.方阵的行列式，奇异和非奇异方阵 如 A-[ai]- 11
则 4]=lal 称为A的行列式. 方阵A的行列式|A」一0时，A称为奇异方阵(singular matrix),|A年0时，称为非奇异方阵(non-singular matrix). 只有同阶的方阵才能相乘 定理5两个同阶方车A和B的乘积的行列式等于它们的 行列式的乘积，即 1ABI=|A]川B (1.3-13) 这是因为矩阵的乘法规则和行列式的乘法规则相同。 6.方阵的迹 方阵A的各对角元素之和称为迹(trace or spur),以TrA或 SpA表示，即 TrA =SpA= (1.3-14) 定理6 几个方阵的乘积之迹，不因方阵的循环置换而变化， 例如 TrABC TrBCA TrCAB (1.3-15) 证明：因 TABC-∑(ABC:一2∑2abne TBCA= ∑(BCA):=∑5tcan -222,bcw TrABC TrBCA 同理可证，等于TCAB. ·12◆