重庆交通大学：《地理数学方法》研究生课程教学资源（教材讲义）第八章 模糊数学方法及其应用

交集:C=A∩B台→C(x)=min(4(x),p2(x) 4(x)入2(x) 并集:C=AUB分(x)=max(u4(x),p2(x) 4(x)Vp2(x) 补集:A(x)=1-H1(x) 注:V:表示取大,∧表示取小 一个房地产商想将销售给客户的商品房进行分类。房子舒适如何的一个标志是其卧室的 多少。设X={1,2,3,4,5,6}是房子卧室数集,模糊集“对三口之家的舒适型房子”可以描 述为 A={(1,0.3),(2,0.8),(3,1),(4,0.7),(5,0.3)}(8.14) 模糊集“对三口之家的大面积型房子”可以描述为 B={(2,0.4),(3,0.6),(4,0.8)(5,1)2(6,1)}(815) A与B的并表示“大或者舒适的房子”,为 A∪B={(1,0.3)(2,0.8)(3,1),(4,08),(5,1),(6,1)}(816) A与B的交表示“又大又舒适的房子”,为 A∩B={(2,0.4)(3,06)(4,0.7),(5,0.3)}(8.7) B的补集表示“不大的房子”,为 B={(1,1),(2,06),(3,0.4),(4,0.2)}(8.18) 一些常用的算子: 1) Zadeh算子(v,∧) avb=maxa, b,,anb=mina, b(8.19) 2)取大、乘积算子(v,) avb=maxa, b,aob=ab(8.20) 3)环和、乘积算子(+,°) 234

234 交集： C A B (x) min( (x), (x)) =   C =  A  B ( ) ( ) A B =    x x 并集： C A B (x) max( (x), (x)) =    C =  A  B ( ) ( ) A B =    x x 补集： A (x) 1 (x)   A = −  A 注：∨:表示取大，∧:表示取小 一个房地产商想将销售给客户的商品房进行分类。房子舒适如何的一个标志是其卧室的 多少。设 X ={1,2,3,4,5,6} 是房子卧室数集，模糊集“对三口之家的舒适型房子”可以描 述为 A ={(1,0.3),(2,0.8),(3,1),(4,0.7),(5,0.3)} （8.14） 模糊集“对三口之家的大面积型房子”可以描述为 B ={(2,0.4),(3,0.6),(4,0.8),(5,1),(6,1)} （8.15） A 与 B 的并表示“大或者舒适的房子”，为： A B ={(1,0.3),(2,0.8),(3,1),(4,0.8),(5,1),(6,1)} （8.16） A 与 B 的交表示“又大又舒适的房子”，为： A B ={(2,0.4),(3,0.6),(4,0.7),(5,0.3)} （8.17） B 的补集表示“不大的房子”，为： B ={(1,1),(2,0.6),(3,0.4),(4,0.2)} （8.18） 一些常用的算子： 1）Zadeh 算子 ( , )  a b a b a b a b  =  = max{ , }, min{ , } （8.19） 2）取大、乘积算子 ( , )  • a b a b a b ab  = • = max{ , }, （8.20） 3）环和、乘积算子 ( , ) + • ˆ

a+b=a+b-ab aob=ab (8.21) 4)有界和、取小算子(,入) a⊕b=1∧(a+b),a∧b=min{a,b}(82) 5)有界和、乘积算子(,· 由b=1∧(a+b),a·b=ab 6) Einstain算子 +6 ab 8b b 1+ab 1+(1-a)(1-b (5)模糊集合的a水平截集 设A为U={x}的模糊子集,则对任意∈[O,1 A={x4(x)≥a;称为模糊子集的a水平截集 模糊子集本身没有确定边界,其水平截集有确定边界,并且不再是模糊集合,而是一个确 定集合 设年龄的取值集合为 U={50岁45岁,40岁,35岁,30岁,25岁 (8.25) 模糊集“年青”可表示为: A=0/50岁+0.1/45岁+0.3/40岁+0.5/35岁+0.9/30岁+125岁(826) A的不同的水平截集为 =0,A0={50岁,45岁,40岁,35岁,30岁,25岁 ={45岁,40岁,35岁,30岁,25岁} a=0.2,A02={40岁,35岁,30岁,25岁 =0.3,A03={40岁,35岁,30岁,25岁} ax=0.5,Aas={35岁,30岁,25岁} ={30岁,25岁} 0.9,A09={30岁,25岁 某医生今天给五个发烧病人看病,设为xx2,xyxx,其体温分别为:3890,372C, 378C,392°C,38.1℃C。医生在统计表上就可以这样写: 37C以上的五人:{x1,x2,x3x4,x 3℃c以上的二人:{x,x4,x5}

235 a b a b ab a b ab + = + − • = ˆ , （8.21） 4）有界和、取小算子 ( , )   a b a b a b a b  =  +  = 1 ( ), min{ , } （8.22） 5）有界和、乘积算子 ( , )  •a b a b a b ab  =  + • = 1 ( ), （8.23） 6）Einstain 算子 ( , )   + − , 1 1 (1 )(1 ) a b ab a b a b ab a b   + − + = = + + − − （8.24） （5）模糊集合的 α 水平截集 称为模糊子集 的 水平截集 设 为 的模糊子集，则对任意 ，     A x x A A U x { A ( ) } { } [0,1] =  =  模糊子集本身没有确定边界，其水平截集有确定边界，并且不再是模糊集合，而是一个确 定集合。 设年龄的取值集合为 U={50 岁,45 岁, 40 岁 ,35 岁,30 岁, 25 岁} （8.25） 模糊集“年青”可表示为： A=0/ 50 岁+0.1 / 45 岁 + 0.3/40 岁 + 0.5/ 35 岁 + 0.9/ 30 岁 +1/ 25 岁 （8.26） A 的不同的水平截集为： α=0 ， A0 ={50 岁，45 岁, 40 岁, 35 岁, 30 岁, 25 岁} α=0.1， A 0.1 ={45 岁, 40 岁, 35 岁, 30 岁, 25 岁} α=0.2， A 0.2 ={40 岁, 35 岁, 30 岁, 25 岁} α=0.3， A 0.3 ={40 岁, 35 岁, 30 岁, 25 岁} α=0.5， A 0.5 ={35 岁, 30 岁, 25 岁} α=0.7， A 0.7 ={30 岁, 25 岁} α=0.9， A 0.9 ={30 岁, 25 岁} α=1 ， A 1 ={25 岁} 某医生今天给五个发烧病人看病，设为 x x x x x 1 2 3 4 5 , , , ,  ，其体温分别为：38.9℃，37.2℃， 37.8℃，39.2℃，38.1℃。医生在统计表上就可以这样写： 37℃以上的五人： x x x x x 1 2 3 4 5 , , , ,  ； 38℃ 以上的三人： x x x 1 4 5 , ,  ；

39C以上的一人:{x4} 如果规定37.5℃C以下的不算发烧,问有多少发烧病人?医生就可以回答 x1,x3,x4,x5},但所谓发烧”实际上是一个模糊概念,它存在程度上的不同,也就是说要 用隶属函数来描述。如果根据医师的经验规定,对“发烧”来说: 体温3°℃以上的隶属函数/(x)=1 体温35℃以上不到39℃的求属函数(x)=09 体温3℃以上不到35℃的求属函数(x)=0.7 体温375℃以上不到38℃的隶属函数/(x)=04: 体温375℃以下的隶属函数4(x)=0 用模糊集合来处理这个问题: 0.900.4 0.7 一十 (8.27) 现在问:求属函数H(x)209的有哪些人,用4来表示这一集合,则A={x,x}, 同理有, 48={x1,x},46={x,x,x},A4={x1,x3,x,x3}。 (6)模糊关系及模糊矩阵 上面研究的都是单个集合的描述关系与定义,但往往更多时候需要研究的是模糊集与模糊集 之间的关系,比如:身高与体重的联系。这些涉及到关系的定义。 1)集合的笛卡儿乘积 设U={x},={y为两个集合,则它们的笛卡儿乘积集为 U×V={(x,y)x∈U,y∈} (8.28) (x,y)是U,元素间的有序对;(x,y)是一种无约束有顺序的组合;笛卡尔乘积的运算 不满足交换律 特殊的笛卡尔乘积:当A=U={x}时

236 39℃以上的一人： x4 ； 如果规定 37.5℃ 以 下 的 不 算 发 烧 ， 问 有 多 少 发 烧 病 人 ？ 医 生 就 可 以 回 答 ： x x x x 1 3 4 5 , , ,  ，但所谓“发烧”实际上是一个模糊概念，它存在程度上的不同，也就是说要 用隶属函数来描述。如果根据医师的经验规定，对“发烧”来说： 体温 39℃以上的隶属函数  ( x) =1 ； 体温 38.5℃ 以上不到 39℃的隶属函数  ( x) = 0.9 ； 体温 38℃以上不到 38.5℃的隶属函数  ( x) = 0.7 ； 体温 37.5℃以上不到 38℃的隶属函数  ( x) = 0.4 ； 体温 37.5℃以下的隶属函数  ( x) = 0。 用模糊集合来处理这个问题： 设 1 2 3 4 5 0.9 0 0.4 1 0.7 A x x x x x = + + + + （8.27） 现在问：隶属函数 ( ) 0.9 A  x  的有哪些人，用 A0.9 来表示这一集合，则 A x x 0.9 1 4 =  ,  ， 同理有， A x x 0.8 1 4 =  ,  ， A x x x 0.6 1 4 5 =  , ,  ， A x x x x 0.4 1 3 4 5 =  , , ,  。 （6）模糊关系及模糊矩阵 上面研究的都是单个集合的描述关系与定义，但往往更多时候需要研究的是模糊集与模糊集 之间的关系，比如：身高与体重的联系。这些涉及到关系的定义。 1）集合的笛卡儿乘积 设 U x ={ },V y ={ } 为两个集合，则它们的笛卡儿乘积集为： U V x y x U y V  =   {( , ) | , } （8.28） ( , ) x y 是 UV, 元素间的有序对； ( , ) x y 是一种无约束有顺序的组合；笛卡尔乘积的运算 不满足交换律。 特殊的笛卡尔乘积：当 A U x = ={ } 时

A×A={(x,x,)x,x,∈A (8.29) 2)关系及其表示 ①设U={x},={y}为两个集合,R为笛卡尔乘积U×V的一个子集,则称其为 U×V中的一个关系。关系R代表了对笛卡尔乘积集合中元素的一种选择约束。 ②关系的表示 集合表示法: R={(x,y)(x2,y2)(x3,y3) 描述表示法 R={(x,y)|x>y} (8.31) 图形表示法:关系图 矩阵表示法:例如 X×Y上的关系R X×X上的关系R i 2 x3 3“4 y11010 x11010 0101 110 y4L100 100 设U={张三李四,王五},V={数学,英语,政治},则关系R(选课)可表示为: 张李王 数学 (833) 英语110 政治(O X×K上的关系R(相似) d. x 1010 0101 1010 3)模糊关系 ①如果关系R是U×V的一个模糊子集,则称R为U×V的一个模糊关系,其隶属度 函数为(x,y)·隶属度函数H(x,y)表示x,y具有关系R的程度 ②若一个矩阵元素取值为o,1区间内,则称该矩阵为模糊矩阵。同普通矩阵一样,有模糊 单位阵,记为I;模糊零矩阵,记为0:元素皆为1的矩阵用J表示

237{( , ) | , } A A x x x x A  =  i j i j （8.29） 2）关系及其表示 ①设 U x ={ },V y ={ } 为两个集合， R 为笛卡尔乘积 U V 的一个子集，则称其为 U V 中的一个关系。关系 R 代表了对笛卡尔乘积集合中元素的一种选择约束。 ②关系的表示 集合表示法： 1 1 2 2 3 3 R x y x y x y ={( , ),( , ),( , )} （8.30） 描述表示法： R x y x y =  {( , ) | } （8.31） 图形表示法：关系图。 矩阵表示法：例如                           1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x y y y y x x x x x x x x X Y上的关系R X X上的关系R （8.32） 设 U＝{张三,李四,王五}，V＝{数学，英语，政治}，则关系 R（选课）可表示为：           1 0 1 1 1 0 0 1 1 张 李 王 数学 英语 政治 （8.33） X X 上的关系 R （相似） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 x x x x x x x x             （8.34） 3）模糊关系 ①如果关系 R 是 U V 的一个模糊子集，则称 R 为 U V 的一个模糊关系，其隶属度 函数为 ( , ) R  x y 。 隶属度函数 ( , ) R  x y 表示 x y, 具有关系 R 的程度。 ②若一个矩阵元素取值为[0, 1]区间内，则称该矩阵为模糊矩阵。同普通矩阵一样，有模糊 单位阵，记为 I；模糊零矩阵，记为 0；元素皆为 1 的矩阵用Ｊ表示

③模糊矩阵的表示 X×H上的模糊关系R yI uR(xu, y PR(x2,y)AR(x,,y) PR (x4,y) y2pa(x,y2)A(x2,y2)A(x3,y2)2(x4,y2) V3) AR y4R(x1,y4)(x2y4)(x3,y)p(x4,y) (835) ④例题 设x为身高,y为体重。x=(14,1,5,16,1171:8)(单位m),y=(40.50,60,70,80)(单位kg)。 模糊关系“合乎标准”表示为: 表81模糊关系“合乎标准表 0 60 80 14 0.8 0.2 0.8 0.8 0.2 1.6 0.2 0.8 0.8 0.2 1.7 0.2 0.8 0.8 1.8 0.2 0.8 也可记为: 0.80.200 0.810.80.20 R=0.20810.80.2 00.20.8 0.8 000.20.81 样本集X中各样本之间的相似关系可表示为 10.60.20.8 x2|0.610.309 0.20.310.1 x4080.90.1 (837) 4)模糊矩阵的关系及其运算 ①基本关系及运算 设A=(an)m,B=(b,)m∞m都是模糊矩阵,则定义 相等:A=B曰a=b:包含:A≤B曰an≤b 并:A∪B=(anyb2)mn:交:A∩B=(anAb2)m

238 ③模糊矩阵的表示              , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) 1 4 2 4 3 4 4 4 1 3 2 3 3 3 4 3 1 2 2 2 3 2 4 2 1 1 2 1 3 1 4 1 4 3 2 1 1 2 3 4 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y y y y x x x x X Y R （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 上的模糊关系 R R R R R R R R R R R R R R R R                 （8.35） ④例题 设 x 为身高， y 为体重。x=（1.4,1.5,1.6,1.7,1.8）（单位 m），y = (40,50,60,70,80) （单位 kg）。 模糊关系“合乎标准”表示为： 表 8.1 模糊关系“合乎标准”表 40 50 60 70 80 1.4 1 0.8 0.2 0 0 1.5 0.8 1 0.8 0.2 0 1.6 0.2 0.8 1 0.8 0.2 1.7 0 0.2 0.8 1 0.8 1.8 0 0 0.2 0.8 1 也可记为： 1 0.8 0.2 0 0 0.8 1 0.8 0.2 0 0.2 0.8 1 0.8 0.2 0 0.2 0.8 1 0.8 0 0 0.2 0.8 1 R       =           （8.36） 样本集 X 中各样本之间的相似关系可表示为：             0.8 0.9 0.1 1 0.2 0.3 1 0.1 0.6 1 0.3 0.9 1 0.6 0.2 0.8 4 3 2 1 1 2 3 4 x x x x x x x x （8.37） 4）模糊矩阵的关系及其运算 ①基本关系及运算 设 ( ) , ( ) A a B b = = ij m n ij m n   都是模糊矩阵，则定义 相等： A B a b =  =ij ij ；包含： A B a b   ij ij 并： ( ) A B a b = ij ij m n ；交： ( ) A B a b = ij ij m n