图92-7 消去变量z得一垂直于xoy面的柱面x2+y2=2,立体镶嵌在其中,立体在xoy面的投 影区域就是该柱面在xoy面上所围成的区域 2.列出体积计算的表达式 =j[(6-2x2-y2)-(x2+2y2)klo=∫(6-3x2-3y3)d 3.配置积分限,化二重积分为二次积分并作定积分计算 图92-8 V=6do-3xdo-3Jy-do D D 而』d do=2丌 由xy的对称性有 ∫yda x2d=∫x2jh=2∫x22-x2k 4 x22-x2dx=4 4sin20cos2e
图 9-2-7 消去变量 z 得一垂直于 xoy 面的柱面 2 2 x y + = 2 ,立体镶嵌在其中,立体在 xoy 面的投 影区域就是该柱面在 xoy 面上所围成的区域 D: x y 2 2 + 2 2. 列出体积计算的表达式 V x y x y d D = [(6 − 2 − ) − ( + 2 ) ] 2 2 2 2 = (6 − 3 − 3 ) 2 3 x y d D 3. 配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算 图 9-2-8 V d x d y d D D D = 6 − 3 − 3 2 2 而 2 D d = 由 x y, 的对称性有 x d y d D D 2 2 = x d x dx dy x x dx D x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = 2 2 − − − − − − = 4 2 − = 4 4 2 2 0 2 2 2 0 2 x x dx sin cos
丌 16 (2+2) 4.22=丌 所求立体的体积为 =12x-6丌=6 利用极坐标计算二重积分 1.变换公式 按照二重积分的定义有 盯f(x,y)d=lim∑∫(5,n) △61 图9-2-9 现研究这一和式极限在极坐标中的形式。 用以极点0为中心的一族同心圆r=常数以及从极点出发的一族射线=常数,将D 剖分成个小闭区域。 除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域△a,的面积可如下计算 2(+M)2△-A日=(2r+△)M△ +(r+M;) N△b.=r1A△b 2 其中,F表示相邻两圆弧半径的平均值。 在小区域△上取点(,可),设该点直角坐标为(5,n),据直角坐标与极坐标的关系 有 os 0 sin e 于是
= − − + 16 2 1 2 1 2 2 2 ( )!!( )!! ( )!! = 16 1 1 4 2 2 = 所求立体的体积为 V =12 − 6 = 6 二、利用极坐标计算二重积分 1. 变换公式 按照二重积分的定义有 f x y d f D i i i i n ( , ) lim ( , ) = → = 0 1 图 9-2-9 现研究这一和式极限在极坐标中的形式。 用以极点 0 为中心的一族同心圆 r = 常数 以及从极点出发的一族射线 = 常数,将 D 剖分成个小闭区域。 除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域 i 的面积可如下计算 i i i i i i i i i i = r + r − r = (2r + r)r 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 2 i i i i i i i i r r r r r r = + + = 2 ( ) 其中, i r 表示相邻两圆弧半径的平均值。 在小区域 i 上取点 (ri i , ) ,设该点直角坐标为 ( i i , ) ,据直角坐标与极坐标的关系 有 i i i i i i = r cos , = r sin 于是