作业 作业卡p22
作业： 作业卡 p22
第二节二重积分的计算法 教学目的:深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧 教学重点:熟练掌握二重积分计算 教学难点:二重积分在极坐标下的计算 教学内容 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定 积分的计算(即二次积分)来实现的。 利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分∫(x,y)do的计算问题。 讨论中,我们假定f(x,y)≥0 假定积分区域D可用不等式a≤x≤b0(x)≤y≤92(x)表示 其中a(x),2(x)在[a]上连续 =2(x) y=φ1( 图9-2-1 图9-2-2 据二重积分的几何意义可知,』f(xy)d的值等于以D为底,以曲面z=f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。 z=f(x,y) 2(x) 图9-2-3 在区间[a上任意取定一个点x,作平行于y0面的平面x=x,这平面截曲项柱体
第二节 二重积分的计算法 教学目的：深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧 教学重点：熟练掌握二重积分计算 教学难点：二重积分在极坐标下的计算 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定 积分的计算(即二次积分)来实现的。 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分 ( , ) D f x y d 的计算问题。 讨论中,我们假定 f x y ( , 0 ) ； 假定积分区域 D 可用不等式 a x b x y x 1 2 ( ) ( ) 表示, 其中 1 2 ( x x ), ( ) 在 ab, 上连续。 图 9-2-1 图 9-2-2 据二重积分的几何意义可知, ( , ) D f x y d 的值等于以 D 为底,以曲面 z f x y = ( , ) 为顶的曲顶柱体的体积。 图 9-2-3 在区间 ab, 上任意取定一个点 0 x ,作平行于 yoz 面的平面 0 x x = ,这平面截曲顶柱体
所得截面是一个以区间[q(x),2(x)为底曲线=f(xy)为曲边的曲边梯形,其面 积为 码()f(x0,y)dy 般地,过区间[a上任一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 A(x)=f(x,y)dy 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 r=∫4(xx=∫了f(x,y)dh 从而有 ∫ f(x, y)do= f(x, y)dy 1(x) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把x看作常数,f(x,y)只看作y的函 数,对∫(x,y)计算从9(x)到92(x)的定积分,然后把所得的结果(它是x的函数)再对 x从a到b计算定积分 这个先对y,后对x的二次积分也常记作 b￠2(x) ∫Jf(x,y)d=∫ax∫f(x,y) 1(x) 在上述讨论中,假定了f(x,y)20,利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算 公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的∫(x,y)(在D上连续),公式(1) 总是成立的。 I=(1-x2)daD={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤2} 例1计算 (-x)=-x)小
所得截面是一个以区间 1 0 2 0 ( x x ), ( ) 为底,曲线 z f x y = ( 0 , ) 为曲边的曲边梯形,其面 积为 ( ) ( ) ( ) 2 0 ( ) 1 0 0 0 , x x A x f x y dy = 一般地,过区间 ab, 上任一点 x 且平行于 yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 , x x A x f x y dy = 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 V A x a dx f x y dy dx b x x a b = = ( ) ( , ) ( ) ( ) 1 2 从而有 f x y d f x y dy dx b a x x D = ( ) 2 ( ) 1 ( , ) ( , ) (1) 上述积分叫做先对 Y ,后对 X 的二次积分,即先把 x 看作常数, f ( x, y) 只看作 y 的函 数,对 f ( x, y) 计算从 ( ) 1 x 到 ( ) 2 x 的定积分,然后把所得的结果( 它是 x 的函数 )再对 x 从 a 到 b 计算定积分。 这个先对 y , 后对 x 的二次积分也常记作 f x y d dx f x y dy D a b x x ( , ) ( , ) ( ) ( ) = 1 2 在上述讨论中,假定了 f x y ( , 0 ) ，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算 公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的 f ( x, y) (在 D 上连续),公式(1) 总是成立的。 例 1 计算 I x d D x y x y D = (1− ) = {( , )| −1 1,0 2} 2 解 I dx x dy x y dx 2 0 1 1 2 2 0 2 1 1 (1 ) (1 ) − − = − = −
2(1-x2h=2x、2 类似地,如果积分区域D可以用下述不等式 c≤y≤d,1(y)≤x≤中2(y) 表示且函数(y),2(y)在c,d连续,f(x,y)在D上连续,则 dφ2(y) 中2(y) ∫f(x,y)d=∫「f(x,y)x中=hJf(x,y)d 中1(y) x=1b) D n1( x=中2(y) p2(y) 图9-2-4 图 -5 显然,(2)式是先对x,后对y的二次积分。 二重积分化二次积分时应注意的问题 1.积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点 对于Ⅰ型(或II型)区域,用平行于y轴(x轴)的直线穿过区域内部,直线与区域的边 界相交不多于两点。 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并 集 2.积分限的确定 重积分化二次积分,确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的 方法一几何法 画出积分区域D的图形(假设的图形如下)
3 8 3 2 2(1 ) 2 1 1 3 1 1 2 = − = − = − − x dx x x 类似地,如果积分区域 D 可以用下述不等式 c y d , ( y) x ( y) 1 2 表示,且函数 1 ( y) , 2 ( y) 在 [c , d ] 上连续, f x y ( , ) 在 D 上连续,则 f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c d c d y y ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = 1 2 1 2 (2) 图 9-2-4 图 9-2-5 显然,(2)式是先对 x ,后对 y 的二次积分。 二重积分化二次积分时应注意的问题 1. 积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于 I 型(或 II 型)区域, 用平行于 y 轴( x 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边 界相交不多于两点。 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为 I 型(或 II 型)区域的并 集。 2. 积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的 方法 -- 几何法。 画出积分区域 D 的图形(假设的图形如下 )
(x,2(x) (x,9(x) 图9-2 在[ab]上任取一点x,过x作平行于y轴的直线,该直线穿过区域D,与区域D的边 界有两个交点(x29(x)与(x,O2(x),这里的1(x)、Q2(x)就是将x,看作常数而对 y积分时的下限和上限:;又因x是在区间[ab]上任意取的所以再将x看作变量而对x积 分时,积分的下限为a、上限为b 例2计算xdo,其中D是由抛物线y=x及直线y=x-2所围成的区域 解积分区域可用下列不等式表示 D:-1≤y≤2,y≤x≤y+2 2 45 21(y+2 例3求由曲面=x+2y及2=6-2x2-y所围成的立体的体积。 1.作出该立体的简图,并确定它在xoy面上的投影区域
图 9-2-6 在 ab, 上任取一点 x ,过 x 作平行于 y 轴的直线,该直线穿过区域 D ,与区域 D 的边 界有两个交点 ( , ( )) 1 x x 与 ( , ( )) 2 x x ,这里的 ( ) 1 x 、 ( ) 2 x 就是将 x ,看作常数而对 y 积分时的下限和上限；又因 x 是在区间 ab, 上任意取的,所以再将 x 看作变量而对 x 积 分时,积分的下限为 a 、上限为 b 。 例 2 计算 D xy d , 其中 D 是由抛物线 y x 2 = 及直线 y = x − 2 所围成的区域。 解 积分区域可用下列不等式表示 D: −1 y 2 , y x y + 2 2 xyd dy xydx x y dy D y y y y = = − + − + 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 = + − = − 1 2 2 45 8 2 5 1 2 y( y ) y dy 例 3 求由曲面 z = x + y 2 2 2 及 z = 6 − 2x − y 2 2 所围成的立体的体积。 解 1. 作出该立体的简图, 并确定它在 xoy 面上的投影区域