或(l-8)Unun<(l+e)Un(6)由定理12.6及（6）式推得，当 0<l<十o0（这里设 <l)时，级数（3）与（4）同时收敛或同时发散.这就证得（i）对于（ii），当「=O时，由（6）式右半部分及比较原则可得：若级数（4）收敛，则级数（3）也收敛对于（ii），若l=十oo，即对任给的正数 M，存在相应的正数Un ≥ M 或 u,>MUnN,当n>N时，都有Ur于是由比较原则知道，若级数（4）发散，则级数（3）也发散
或 ( ) ( ) . n n n l − u l + （6） 由定理12.6及（6）式推得，当 0 l + （这里设 l ） 时，级数（3）与（4）同时收敛或同时发散. 这就证得（i ）. 对于（ii），当 l = 0 时，由（6）式右半部分及比较原则可得： 若级数（4）收敛，则级数（3）也收敛. 对于（iii ），若 l = +, 即对任给的正数 M ，存在相应的正数 N, 当 n>N时，都有 M n un 或 . un M n 于是由比较原则知道，若级数（4）发散，则级数（3）也发散
1Z例2级数是收敛的，因为Y2-n112"2"-n_ = lim = limlim= 1nA12"-nn>00n-→8n->02n2"11M收敛，所以根据推论，级数以及等比级数nn2"-n2也收敛111Zsin- sin =+... + sin-= sin11+s1-+...例32nn1sin是发散的.因为n根据推论以及调和级数二1不lim1n→81nZnsin也发散发散，所以级数一L-n
例2 级数 − n n 2 1 是收敛的，因为 1 1 1 2 1 1 lim 2 2 lim 2 2 lim = = − = − → → → − n n n n n n n n n n n 以及等比级数 收敛，所以根据推论，级数 2 1 n − n n 2 1 也收敛. 例3 . 1 . sin 2 1 sin 1 sin 1 sin = + + + + n n 是发散的.因为 1. 1 1 sin lim = → n n n 根据推论以及调和级数 n 1 发散，所以级数 n 1 sin 也发散