第三节关联函数 经典数学建立在集合论的基础上,用以描述经典集合的是特征函数,其值域为{0,1}。模 糊数学建立在模糊集合论的基础上,用以描述模糊集合的是隶属函数,隶属函数是值域为[O,1 的实数值。可拓集合是用关联函数来刻画的,关联函数的取值范围是整个实数轴。我们用代 数式子来表征可拓集合的关联函数,这使解决不相容问题的过程定量化成为可能。一般地 实际问题不同,关联函数的形式不同 模 有界区间X=<ab>的模为 X=b-al (58) 特别的,规定点x0的模为 二、距 点与点之距:设x,y为实轴上任意两点,则称 (5.10) 为x与y之距。显然, P(x, y)=p(, x) (5.11) 等式 p(x,y)=0 (5.12) 当且只当x=y时成立。 点与区间的距:点x0与有限实区间X=<ab>之距为 b P(ro, X)=r a+b1 (513) a+ b b 例:设区间X=<3,5>,则有 p(2,x)=1,p(3.5,x)=-0.5,p(8,x)=3,p(3,x)=p(5,x)=0。 给定区间X=ab>,则:①点x∈H,且x≠a,b的充要条件是p(x,)<0:②点 xgH,且x≠a,b的充要条件是p(x,H)>0:③点x=a或x=b的充要条件是 三、正域为有限区间ab>的简单关联函数 设X=<a,b>,作函数
136 第三节 关联函数 经典数学建立在集合论的基础上，用以描述经典集合的是特征函数，其值域为{0,1}。模 糊数学建立在模糊集合论的基础上，用以描述模糊集合的是隶属函数，隶属函数是值域为[0,1] 的实数值。可拓集合是用关联函数来刻画的，关联函数的取值范围是整个实数轴。我们用代 数式子来表征可拓集合的关联函数，这使解决不相容问题的过程定量化成为可能。一般地， 实际问题不同，关联函数的形式不同。 一、模 有界区间 X=<a,b>的模为 X = b-a （5.8） 特别的，规定点 x0 的模为 0 x =0 （5.9） 二、距 点与点之距：设 x，y 为实轴上任意两点，则称 ( , ) x y x y = − （5.10） 为 x 与 y 之距。显然， ( , ) ( , ) x y y x = （5.11） 等式 ( , ) 0 x y = （5.12） 当且只当 x=y 时成立。 点与区间的距：点 x0 与有限实区间 X=<a,b>之距为 0 0 0 0 0 0 1 2 ( , ) ( ) 2 2 2 a b a x x a b x X x b a a b x b x + − + = − − − = + − （5.13） 例：设区间 X=<3,5>，则有 (2, ) 1 x = ， (3.5, ) 0.5 x = − ， (8, ) 3 x = ， (3, ) (5, ) 0 x x = = 。 给定区间 X=<a,b>，则：①点 x X ，且 x a b , 的充要条件是 ( , ) 0 x X ；②点 x X ，且 x a b , 的充要条件是 ( , ) 0 x X ；③点 x=a 或 x=b 的充要条件是 ( , ) 0 x X = 。 三、正域为有限区间 a,b 的简单关联函数 1）设 X = a,b ，作函数
b K(x)=b-a 2(b-x) +b 则K(x)具有如下性质:①maxK(x)=K( 2)=1:②x∈H且x≠a,b的充要条件 是K(x>0:xg且x≠a,b的充要条件是K(x)<0;点x=a或x=b的充要条件是K(x)=0。 2)设X=<a,b>,点x∈(-∞+∞),M∈X,作函数 a x<M M-a K(x)=b-x x2M (5.15) b-M 则K(x)具有如下性质:①maxK(x)=k(M)=1:②x∈且x≠a,b的充要条件是 K(x)>0:x∈H且x≠a,b的充要条件是K(x)<0;点ⅹ=a或x=b的充要条件是K(x=0 当M=a时取 K(x) x-bb-ba (5.16) K( 当M=b时取 xbbb X< K(x) x>b K(b)=0/1x=b 四、正域为无限区间a的简单关联函数 设X=<a,+∞>,点x∈(-∞,+∞),M∈H,作函数 x-a x< M K(x) M (5.18) x≥M 则K(x)具有如下性质:①maxk(x)=K(M)=1;②x∈H且x≠a的充要条件是 137
137 2( ) 2 ( ) 2( ) 2 x a a b x b a K x b x a b x b a − + − = − + − （5.14） 则 K(x)具有如下性质：① max ( ) ( ) 1 x X 2 a b K x K + = = ；② x X 且 x a b , 的充要条件 是 K(x)>0； x X 且 x a b , 的充要条件是 K(x)<0；点 x=a 或 x=b 的充要条件是 K(x)=0。 2）设 X = a,b ，点 x(−,+)， M X ，作函数 − − − − = x M b M b x x M M a x a K(x) (5.15) 则 K(x)具有如下性质：① max ( ) ( ) 1 ( , ) = = − + K x K M x ；② x X 且 x a b , 的充要条件是 K(x)>0； x X 且 x a b , 的充要条件是 K(x)<0；点 x=a 或 x=b 的充要条件是 K(x)=0。 当 M = a 时取： = = − − − − = K a x a x a b a b x x a b a x a K x ( ) 0 /1 ( ) (5.16) 当 M = b 时取： = = − − − − = K b x b x b b a b x x b b a x a K x ( ) 0 /1 ( ) (5.17) 四、正域为无限区间 a,+ 的简单关联函数 设 X = a,+ ，点 x(−,+)， M X ，作函数 − − − = x M x M M x M M a x a K x 2 ( ) (5.18) 则 K(x)具有如下性质：① max ( ) ( ) 1 ( , ) = = − + K x K M x ；② x X 且 x a 的充要条件是