北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第八章 λ－矩阵（8.2）λ－矩阵在初等变换下的标准形

§24-矩阵在初等变换下的标准形 λ-矩阵也可以有初等变换 定义3下面的三种变换叫做λ一矩阵的初等变换: (1)矩阵的两行(列)互换位置 (2)矩阵的某一行(列)乘以非零的常数c (3)矩阵有某一行(列)加另一行(列)的q()倍,q()是一个多项式 和数字矩阵的初等变换一样,可以引进初等矩阵例如,将单位矩阵的第j行 的a(4)倍加到第i行上得 列 P(ii()) 仍用P(,j)表示由单位矩阵经过第i行第j行互换位置所得的初等矩阵,用 P(i(c)表示用非零常数c乘单位矩阵第i行所得的初等矩阵同样地,对一个sxn 的λ-矩阵A(4)作一次初等变换就相当于在A(4)的左边乘上相应sxs的初等矩 阵;对A(4)作一次初等列变换就相当于A(4)在的右边乘上相应的n×n的初等矩 阵 初等矩阵都是可逆的,并且有 PG,j)-=P(i,j),P(i(c)-=Pi(c-),P(G,j()1=P(,j(-) 由此得出初等变换具有可逆性:设λ-矩阵A()用初等变换变成B(A),这 相当于对A(A)左乘或右乘一个初等矩阵再用此初等矩阵的逆矩阵来乘B(4)就 变回A(λ),而这逆矩阵仍是初等矩阵,因而由B(4)可用初等变换变回A(λ) 定义4λ-矩阵A(λ)称为与B()等价,如果可以经过一系列初等变换将

§2  −矩阵在初等变换下的标准形  −矩阵也可以有初等变换 定义 3 下面的三种变换叫做  −矩阵的初等变换： (1) 矩阵的两行（列）互换位置； (2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数 c ； (3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的 () 倍， () 是一个多项式. 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第 j 行 的 () 倍加到第 i 行上得 行 行 列 列 j i P i j i j                       = 1 1 1 ( ) 1 ( . ( ))         仍用 P(i, j) 表示由单位矩阵经过第 i 行第 j 行互换位置所得的初等矩阵，用 P(i(c)) 表示用非零常数 c 乘单位矩阵第 i 行所得的初等矩阵.同样地，对一个 sn 的  −矩阵 A() 作一次初等变换就相当于在 A() 的左边乘上相应 ss 的初等矩 阵；对 A() 作一次初等列变换就相当于 A() 在的右边乘上相应的 nn 的初等矩 阵. 初等矩阵都是可逆的，并且有 ( , ) ( , ), ( ( )) ( ( )), ( , ( )) ( , ( )) 1 1 1 1 = =  = − − − − − P i j P i j P i c P i c P i j P i j . 由此得出初等变换具有可逆性：设  −矩阵 A() 用初等变换变成 B() ，这 相当于对 A() 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 B() 就 变回 A() ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由 B() 可用初等变换变回 A() . 定义 4  −矩阵 A() 称为与 B() 等价，如果可以经过一系列初等变换将

A(4)化为B(A) 等价是λ-矩阵之间的一种关系,这个关系显然具有下列三个性质 ()反身性:每一个-矩阵与它自身等价 (2)对称性:若A(4)与B(4)等价,则B(A)与A(4)等价 (3)传递性:若A(A)与B(4)等价,B(4)与C(4)等价,则A(4)与C(4)等价 应用初等变换与初等矩阵的关系即得,矩阵A(4)与B(4)等价的充要条件为有 系列初等矩阵B,P,…,P,Q1,Q2…Q,使 A()=P…BB()gg2…Q 这一节主要是证明任意一个4-矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵 引理设λ-矩阵A(4)的左上角元素a1(4)≠0,并且A(4)中至少有一个元 素不能被它除尽,那么一定可以找到一个与A(4)等价的矩阵B(4),它的左上角 元素也不为零,但是次数比a1(4)的次数低 定理2任意一个非零的sxn的λ-矩阵A(4)都等价于下列形式的矩阵 d1() d1(2) 0 其中r≥1,d(4)i=1,2,…,p)是首项系数为1的多项式,且 d()|dl()(i=1,2 这个矩阵称为A(4)的标准形 例用初等变换化A-矩阵

A() 化为 B() . 等价是  −矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质： (!) 反身性：每一个  −矩阵与它自身等价. (2) 对称性：若 A() 与 B() 等价，则 B() 与 A() 等价. (3) 传递性：若 A() 与 B() 等价， B() 与 C() 等价，则 A() 与 C() 等价. 应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵 A() 与 B() 等价的充要条件为有一 系列初等矩阵 P P Pl Q Q Qt , , , , , , , 1 2  1 2  ，使 A P1P2 PlB Q1Q2 Qt () = () . (2) 这一节主要是证明任意一个  −矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵. 引理 设  −矩阵 A() 的左上角元素 a11()  0 ，并且 A() 中至少有一个元 素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与 A() 等价的矩阵 B() ，它的左上角 元素也不为零，但是次数比 ( ) a11  的次数低. 定理 2 任意一个非零的 sn 的  −矩阵 A() 都等价于下列形式的矩阵                       0 0 ( ) ( ) ( ) 2 1      dr d d , 其中 r 1,d ( )(i 1, 2, ,r)  i  =  是首项系数为 1 的多项式，且 ( ) | ( ) ( 1 , 2 , , 1) di  di+1  i =  r − . 这个矩阵称为 A() 的标准形. 例 用初等变换化  −矩阵

1-22-1 A()=元 1+223+A-1-2 为标准形

          + + − − − − − = 2 3 2 2 1 1 1 2 1 ( )           A  为标准形