《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第二十一章 重积分

W≤ne" =([1/ε]+1)e" ≤(1/ε+1)c? =(l+)e.现在把区域D分成两部分：第一部分D,=DN△，第二部分 D,=D-D,.由于 f(x,y)在D,上连续根据定理21.6与定理21.5,存在D,的分割 T,，使得S(T,)-s(T)<8. 又记Mμ= sup f(x,y), m = inf f(x,y),(x, y)eA(x, y)eA以T表示由T,与多边形△的边界所组成的区域D的返回前页后页

前页 后页 返回  = +  + = + (  ) ( ) 2 2 2 W n l l l        1 1 ( ) . 现在把区域 D 分成两部分: 第一部分 1 D D=  , 第二部分 2 1 D D D = − . 由于 f x y ( , ) 在 D2 上连续, 根据定理21.6 与定理21.5, 存在 D2 的分割 2 T , 使得 2 2 S T s T ( ) ( ) . −   又记 ( , ) ( , ) sup ( , ), inf ( , ), x y x y M f x y m f x y     = = 以T 表示由 T2 与多边形  的边界所组成的区域 D 的

分割,则有S(T) -s(T) =(S(T)-s(T)+(M W -m W)< +oW≤8+(l +8)0 =(1 + l+ 80),其中の是f(x,y)在 D上的振幅.由于f(x,y)在D上有界,故の是有限值.再由定理21.5,这就证得了f(x,J)在D上可积后页返回前页

前页 后页 返回 分割, 则有 S T s T S T s T M W m W W ( ) ( ) ( ) ( ) − = − + −  + ( 2 2 ) (   )    + + = + +       ( ) (1 ) , l l 其中  是 f x y ( , ) 在 D 上的振幅. 由于 f x y ( , ) 在 D 上有界, 故  是有限值. 再由定理21.5, 这就证得了 f x y ( , ) 在 D 上可积

三、二重积分的性质二重积分与定积分具有类似的性质,现列举如下：1. 若f(x,y)在 D上可积,k为常数,则 kf(x,y)在D上也可积,且[J kf(x, y)do=kJJ f(x, y)do.DD2. 若f(x,y),g(x,y)在D上都可积,则f(x,y)±g(x, y)在D上也可积，且后页返回前页

前页 后页 返回 三、二重积分的性质 二重积分与定积分具有类似的性质, 现列举如下: 上也可积, 且 ( , )d ( , )d . D D kf x y k f x y   =   2. 若 f x y g x y ( , ), ( , ) 在 D上都可积, 则 f x y g x y ( , ) ( , )  1. 若 f x y ( , ) 在 D上可积, k 为常数, 则 kf x y ( , ) 在 D 在 D 上也可积, 且

[Lf(x, y)± g(x, y)]do = [/ f(x, y)do± [I g(x, y)do.DDD3. 若f(x,J)在D,和 D,上都可积,且 D,与D,无公共内点,则f(x,)在D,UD,上也可积,且JJ f(x, y)do = JJ f(x, y)do + JJ f(x, y)do.D2DiD,UD24. 若f(x,)与 g(x,y)在D上可积,且f(x,y)≤g(x, y), (x, y)eD则有后页返回前页

前页 后页 返回  =     [ ( , ) ( , )]d ( , )d ( , )d . D D D f x y g x y f x y g x y    3. 若 f x y ( , ) 在 D1 和 D2 上都可积, 且 D1 与 D2 无公共 内点, 则 f x y ( , ) 在 D D 1 2 上也可积, 且 f x y g x y x y D ( , ) ( , ), ( , ) ,   1 2 1 2 ( , )d ( , )d ( , )d . D D D D f x y f x y f x y    = +    4. 若 f x y ( , ) 与 g x y ( , ) 在 D 上可积, 且 则有

J f(x, y)do≤ JJ g(x, y)do.DD5.若f(x,y)在D上可积,则函数If(x,J)I在D上也可积,且J f(x, y)do ≤ Jj f(x, y) do.DD6. 若f(x,y)在D 上可积,且m≤f(x,y)≤M,(x,y)eD,则有前页后页返回

前页 后页 返回 ( , )d ( , )d . D D f x y g x y      5. 若 f x y ( , ) 在 D 上可积, 则函数 | ( , ) | f x y 在 D 上 也可积, 且    ( , )d ( , ) d . D D f x y f x y   6. 若 f x y ( , ) 在 D 上可积, 且 m f x y M x y D    ( , ) , ( , ) , 则有