注2如定积分那样类似地可证明：函数f(x，)在可求面积的D上可积的必要条件是它在D上有界后页返回前页
前页 后页 返回 注2 如定积分那样类似地可证明: 函数 f x y ( , ) 在 可求面积的 D上可积的必要条件是它在 D上有界
设函数f(x,)在 D上有界,T为D 的一个分割,它把D分成n个可求面积的小区域αj,2,,·令M, = sup f(x, y)(x, y)ed;(i = 1,2,.,n).m, =, inf_ f(x, y)(x,y)ed;作和式 S(T)=M,Ao;,s(T)=m;Ao;,它们分i=1i-1别称为f(x,y)关于分割T的上和与下和后页返回前页
前页 后页 返回 设函数 f x y ( , ) 在 D 上有界, T 为 D 的一个分割, 它 把 D 分成 n 个可求面积的小区域 1 2 , , , . n 令 ( , ) ( , ) sup ( , ) ( 1,2, , ). inf ( , ) i i i x y i x y M f x y i n m f x y = = = 别称为 f x y ( , ) 关于分割 T 的上和与下和. 作和式 1 1 ( ) , ( ) , n n i i i i i i S T M s T m = = = = 它们分
二元函数的可积性定理：定理21.4f(x，y)在D上可积的充要条件是：lim S(T) = lim s(T)T-→0[T|→0f(x，y)在D上可积的充要条件是：对定理21.5于任给的正数 ε,存在D的某个分割T,使得S(T)-s(T)< &.定理21.6有界闭域D上的连续函数必可积后页返回前页
前页 后页 返回 二元函数的可积性定理： 定理21.4 f x y ( , ) 在 D 上可积的充要条件是: 0 0 lim ( ) lim ( ). T T S T s T → → = 定理21.5 f x y ( , ) 在 D 上可积的充要条件是: 对 于任给的正数 , 存在 D 的某个分割 T, 使得 S T s T ( ) ( ) . − 定理21.6 有界闭域 D上的连续函数必可积
定理21.7设f(x，y)是定义在有界闭域D上的有界函数.若f(x,J)的不连续点都落在有限条光滑曲线上,则f(x，y)在D上可积后页返回前页
前页 后页 返回 定理21.7 设 f x y ( , ) 是定义在有界闭域 D 上的有 界函数. 若 f x y ( , ) 的不连续点都落在有限条光滑曲 线上, 则 f x y ( , ) 在 D 上可积
证不失一般性，可设f(x，y)的不连续点全部落在某一条光滑曲线L上，并记L的长度为l.于是对任给的ε>0,把L等分成n=[i/ε|+1段：L,L2,"", L,.在每段 L,上取一点 P，使 P,与其一端点的弧长为六,以P,为中心作边长为e 的正方形A,则 L, CA,2n从而 LcUL,c△,其中△=UA,.设△的面积为W,则i=1i=1后页返回前页
前页 后页 返回 证 不失一般性, 可设 f x y ( , ) 的不连续点全部落在 某一条光滑曲线 L 上,并记 L 的长度为 l. 于是对任 给的 0, 把 L 等分成 n l = + 1 段: 1 2 , , , . L L L n 在每段 Li 上取一点 , Pi 使 Pi 与其一端点的弧长为 . 2 l n 以 Pi 为中心作边长为 的正方形 , i 则 . Li i 1 , n i i L L = 从而 1 . , n i i 其中 设 的面积为W 则 = =