mS,≤[] f(x,y)do≤ MS,,D这里S，是积分区域D的面积7.(积分中值定理)若f(x,J)在有界闭域D上连续则存在(S,n)E D,使得[J f(x, y)do = f(5,n)S,,D积分中值定理的几何意义：在D上，以z=f(x，y)(f(x，J)≥0)为顶的曲顶柱体体积,等于一个同底后页返回前页
前页 后页 返回 ( , )d , D D D mS f x y MS 这里 SD 是积分区域 D 的面积. 7. (积分中值定理) 若 f x y ( , ) 在有界闭域 D 上连续, 则存在 ( , ) , D 使得 = ( , )d ( , ) , D D f x y f S 积分中值定理的几何意义: 在 D 上, 以 z f x y = ( , ) ( ( , ) 0) f x y 为顶的曲顶柱体体积,等于一个同底
的平顶柱体的体积,这个平顶柱体的高等于f(x，y)在D中某点(5,n)处的函数值f(5,n)后页返回前页
前页 后页 返回 的平顶柱体的体积, 这个平顶柱体的高等于 f x y ( , ) 在 D 中某点 ( , ) 处的函数值 f ( , ).
*例1 设 D=((x,y)[a≤x≤b,0 ≤y≤p(x))L= ((x,p(x) / x e[a,b] );G是R2中有界闭域,DcintGCG;f(x,y)是G上可积函数.则Vε>0,存在顶点在L上的折线l,使得JJ f(x, y)dxdy -J] f(x, )dxdy<8.DA其中△是由x=a,x=b,y=0与折线l所围成的多边形.后页返回前页
前页 后页 返回 *例1 设 D x y a x b y x = ( , ) ,0 ( ) , L x x x a b = ( , ( )) [ , ] ; G 是 2 R 中有界闭域, D G G int ; f x y ( , ) 是 G 上 可积函数. 则 0, 存在顶点在 L 上的折线 l ,使得 ( , )d d ( , )d d . D f x y x y f x y x y − 其中 是由 x a x b y l = = = , , 0 与折线 所围成的多 边形
证 设 V(x,y)eG,lf(x,y)|< M.V>0,令8'=2M(b-a)由于β在[α,b]上一致连续,因此存在>0,使对Vx,x"e[a,b],|x'-x"|<8 时,就有g(x') -(x")]<c'.取分割 T:a=x<x,<.…<x,=b,使得前页后页返回
前页 后页 返回 证 设 ( , ) , ( , ) . x y G f x y M 0, 令 . 2 ( ) M b a = − − x x a b x x , [ , ], 时,就有 ( ) ( ) . x x − 取分割 0 1 : T a x x x b = = n ，使得 由于 在 [ , ] a b 上一致连续, 因此存在 0, 使对
max(Ix, -x--:i-1,.,n)<8,直线x = x,(i= 1,2,..,n) 将 D 分割为 D,i = l,.,n,又将 △分割为△,i=1,,n.则J f(x, y)dxdy - JJ f(x, y)dxdyDA≤2 JJ f(x, y)dxdy - JJ f(x, y)dxdyi=1DA;后页返回前页
前页 后页 返回 max : 1, , , x x i n i i − = −1 直线 ( 1,2, , ) i x x i n = = 将 D 分割为 , 1, , , D i n i = 又将 分割为 , 1, , . i =i n 则 ( , )d d ( , )d d D f x y x y f x y x y − 1 ( , )d d ( , )d d i i n i D f x y x y f x y x y = −