上面叙述的问题都可归为以下数学问题设D为xy平面上可求面积的有界闭域,f(x,)为定义在D上的函数.用任意的曲线网把D分成n个可求面积的小区域91,Q2,,On:以△α,表示小区域;的面积,这些小区域构成D的后页返回前页
前页 后页 返回 上面叙述的问题都可归为以下数学问题. 可求面积的小区域 1 2 , , , . n 以 i 表示小区域 i 的面积, 这些小区域构成 D 的 设 D 为 xy 平面上可求面积的有界闭域, f x y ( , ) 为 定义在 D上的函数. 用任意的曲线网把 D 分成 n 个
一个分割 T,以d,表示小区域,的直径,称IIT II=maxd,1≤i≤n为分割 T的细度.在每个;上任取一点(;,n,),作和式Zf(5;, n:)Ao,.i=1称它为函数f在D上属于分割T的一个积分和后页返回前页
前页 后页 返回 1 || || max i i n T d = 为分割 T 的细度. 在每个 i 上任取一点 ( , ), i i 作 一个分割 T, 以 i d 表示小区域 i 的直径, 称 ( , ) . n i i i i 1 f = 称它为函数 f 在 D 上属于分割 T 的一个积分和. 和式
定义2 设f(x,J)是定义在可求面积的有界闭域 D上的函数.J是一个确定的实数,若对任给的正数8,总存在某个正数S,使对于D的任何分割T,当它的细度 ITI<S 时,属于 T 的所有积分和都有Zf(5, n:)Ao,-J<8,(4)i=1则称f(x,J)在D上可积,数J称为函数f(x,y)在D 上二重积分,记作 J=Jf(x,y)do,(5)D后页返回前页
前页 后页 返回 定义2 设 f x y ( , ) 是定义在可求面积的有界闭域 D 上的函数. J 是一个确定的实数, 若对任给的正数 , 总存在某个正数 , 使对于 D 的任何分割 T, 当它的 细度 || || T 时, 属于 T 的所有积分和都有 = − 1 ( , ) , (4) n i i i i f J 则称 f x y ( , ) 在 D 上可积, 数 J 称为函数 f x y ( , ) 在 D 上二重积分, 记作 = ( , )d , (5) D J f x y
其中f(x,y)称为二重积分的被积函数,x,y称为积分变量,D称为积分区域当f(x,J)≥0 时,二重积分[[ f(x,J)d在几何上就表示以z=f(x,)为曲顶，D为底的曲顶柱体的体积.当f(x,J)=1 时,二重积分[f(x,y)do的值D就等于积分区域D的面积后页返回前页
前页 后页 返回 其中 f x y ( , ) 称为二重积分的被积函数, x, y 称为积 分变量, D 称为积分区域. 当 f x y ( , ) 0 时, 二重积分 ( , )d D f x y 在几何上 就表示以 z f x y = ( , ) 为曲顶, D 为底的曲顶柱体的 体积. 当 f x y ( , ) 1 = 时, 二重积分 ( , )d D f x y 的值 就等于积分区域 D 的面积
注1 由二重积分定义知道,若f(x，J)在区域D上可积，则与定积分情形一样,对任何分割T，只要当ITI<S时,(4)式都成立.因此为方便计算起见,常选取一些特殊的分割方法，如选用平行于坐标轴的直线网来分割D,则每一小网眼区域的的面积巴[ f(x, y)do记作△=△AxAy.此时通常把D(6)[] f(x, y)dxdy.D后页返回前页
前页 后页 返回 注1 由二重积分定义知道, 若 f x y ( , ) 在区域 D 上 可积, 则与定积分情形一样, 对任何分割 T, 只要当 || || T 时, (4) 式都成立. 因此为方便计算起见, 常 选取一些特殊的分割方法, 如选用平行于坐标轴的 直线网来分割 D, 则每一小网眼区域的 的面积 = x y. 此时通常把 ( , )d D f x y 记作 ( , )d d . (6) D f x y x y