二、二重积分的定义及其存在性1、二重积分的几何背景1z=f(x,y)求曲顶柱体的体积.设f(x,J)为定义在可求面积的有界闭域D上的VX非负连续函数.求以曲图21-2面z=f(x,y)为顶,D为底的柱体（图21-2)的体积V后页返回前页
前页 后页 返回 二、二重积分的定义及其存在性 1、二重积分的几何背景： 求曲顶柱体的体积.设 f x y ( , ) 为定义在可求 面积的有界闭域 D上的 非负连续函数.求以曲 面 z f x y = ( , ) 为顶, D 为 底的柱体 (图21-2) 的体积 V. 图 21-2 x y z z f x y = ( , ) O
采用类似于求曲边梯形面积的方法(1)分割:先用一组平行于坐标轴的直线网T把区域D分成n个小区域,(i=1,2,,n)（称T为区域D的一个分割).以△,表示小区域;的面积.这个直线网也相应地把曲顶柱体分割成n个以,为底的小zz=f(x,y)曲顶柱体V,(i= 1,2,.",n).VX后页返回前页图21-2
前页 后页 返回 采用类似于求曲边梯形面积的方法. (1) 分割:先用一组平行于坐标轴的直线网 T 把区域 ( 1,2, i D 分成 n 个小区域 i = , ) n ( 称 T 为区域 D 的一个分割). 以 i 表示小区域 i 的面积. 这个直 线网也相应地把曲顶柱体分割成 n 个以 i 为底的小 曲顶柱体 ( 1,2, , ). V i n i = 图 21-2 x y z z f x y = ( , ) O
(2)近似求和:由于f(x,y)在 D上连续，故当每个,的直径都很小时,f(x,)在,上各点的函数值相差无几,因而可在,上任取一点(;,n,),用以Tf(5;,n)为高,;为底的小平顶柱体的体积f(5,, n;)△o;作为 V,的yX(5:,n.)图21-3后页返回前页
前页 后页 返回 (2) 近似求和: 由于 f x y ( , ) 在 D 上连续, 故当每个 i ( , ), i i 相差无几, 因而可在 上任取一点 用以 f x y ( , ) 的直径都很小时 i i , 在 上各点的函数值 ( , ) i i f 为高, i 为底 的小平顶柱体的体积 ( , ) i i i f 作为 Vi 的 图 21 3 − i i ( , ) x y z O
体积△V,的近似值(如图21-3),即AV, ~ f(Si, n)Ao,.把这些小平顶柱体的体积加起来，就得到曲顶柱体体积V的近似值V=ZAV,~Zf(5,n;)Ao,.i=1i=1后页返回前页
前页 后页 返回 把这些小平顶柱体的体积加起来, 就得到曲顶柱体 体积 V 的近似值 ( , ) . V f i i i i = = = 1 1 ( , ) . n n i i i i i i V V f 体积 Vi 的近似值(如 图21-3), 即
(3)取极限：当直线网T的网眼越来越细密,即分割T的细度Il T l=maxd,(d,为o,的直径)趋于零时,就i<有Zf(5,n;)Ao; →V.i=1后页返回前页
前页 后页 返回 (3) 取极限: 当直线网 T 的网眼越来越细密, 即分割 T 的细度 1 || || max i i n T d = ( i d 为 i 的直径)趋于零时, 就 有 = → 1 ( , ) . n i i i i f V