定理21.3若曲线K为定义在[a,b]上的连续函数f(x)的图象,则曲线K的面积为零证由于f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以它在[a,b]上一致连续.因而,ε>0,38>0,当a=x<x, <...<x,= b,max[Ax, = x, - x;-1 |i = 1,2,."",n) <8后页返回前页
前页 后页 返回 定理21.3 若曲线 K 为定义在 [ , ] a b 上的连续函数 f x( ) 的图象, 则曲线 K 的面积为零. 证 由于 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上连续, 所以它在 [ , ] a b 上一致连续. 因而, 0 , 0 , 当 0 1 n a x x x b = = ， max{ | 1,2, , } i i i 1 x x x i n = − = −
时,可使f(x)在每个小区间[x;-1,x;l上的振幅都成立 0,<,-,.即若把曲线 K按 x=xo,xX,",x,分b-a成 n个小段,则每一小段都能被以△x,为宽，の,为高的小矩形所覆盖.由于这n个小矩形面积的总和2o,Ax,<,-a2Ax,=6,b-ai=i=1因此由定理21.1的推论即得曲线K的面积为零后页返回前页
前页 后页 返回 f x( ) 1 [ , ] i i x x 时, 可使 在每个小区间 − 上的振幅都成 高的小矩形所覆盖. 由于这 n 个小矩形面积的总和 立 . i b a − 即若把曲线 K 按 0 1 , , , n x x x x = 分 成 n 个小段, 则每一小段都能被以 i x 为宽, i 为 , n n i i i i 1 i 1 x x b a = = = − 因此由定理21.1 的推论即得曲线 K 的面积为零
推论1 参量方程x=p(t), =(t)(α≤t≤β) 所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积一定为零证由光滑曲线的定义，β,均存在且不同时为零由隐函数存在性定理,Vt,E[α,βl,x'(t)0(或y(to) ± 0 ),因此 3U(to;8),x= x(t) (或 y = y(t)) 在U(t.;)上有反函数.再由有限覆盖定理,可把区间后页返回前页
前页 后页 返回 推论1 参量方程 x t y t t = = ( ), ( ) ( ) 所表 示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零. 证 由光滑曲线的定义， , 均存在且不同时为零. 由隐函数存在性定理, 0 0 t x t [ , ], ( ) 0 (或 0 y t ( ) 0 ), 0 因此 = U t x x t ( ; ), ( ) (或 y y t = ( ) ) 在 0 U t( ; ) 上有反函数. 再由有限覆盖定理, 可把区间
[α,β]分成n段α= t,<t, <..<t,=β,使得在每一段[t;-1,t,l上,x=p(t) (或y=y(t)) 存在反函数 t=p-(x) (或 t=-(x)),于是在 [fi-1,t,l 上有连续的 =(-(x) (或 x=p(y-(y))). 所以在[t;-1,t,]上的曲线面积为零,从而整个曲线面积为零后页返回前页
前页 后页 返回 0 1 , n = = t t t 1 [ , ] i i t t − 使得在每一段 上， x t = ( ) (或 y t = ( ) ) 存在 1 [ , ] i i t t − 上的曲线面积为零, 从而整个曲线面积为零. [ , ] 分成 n 段: 1 t x ( ) − = 1 t x ( ) ) − (或 = ,于是在 1 [ , ] i i t t 反函数 − 上 1 y x ( ( )) − = 1 x y ( ( )) ). − 有连续的 (或 = 所以在
推论2由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面图形都是可求面积的注平面中并非所有的点集都是可求面积的．例如D = (x,y)|x,yeQn[0,1]),易知 0=I,<Ip=1,因此 D 是不可求面积的后页返回前页
前页 后页 返回 推论2 由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面 图形都是可求面积的. 注 平面中并非所有的点集都是可求面积的. 例如 D x y x y = ( , ) , Q [0,1] . 易知 0 1, = = I I D D 因此 D 是不可求面积的