《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第二十一章 重积分

定理21.1平面有界图形P可求面积的充要条件是：对任给的ε>0，总存在直线网T,使得(2)Sp(T) -Sp(T)<8.证必要性设有界图形P的面积为I·由定义1,有I=Lp=Ip.>0,由 Ip及 ip的定义知道,分别返回前页后页

前页 后页 返回 定理21.1 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: 对任给的   0, 总存在直线网 T, 使得 ( ) ( ) . (2) S T s T P P −   证 必要性 设有界图形 P 的面积为 P I . 由定义1, 有 P . P P I I I = =    0 , P 由 I 及 I P 的定义知道, 分别

存在直线网T 与 T,，使得8s,(T)>1,-g,S(T,)<1,+号.(3)记 T为由T 与 T,这两个直线网合并所成的直线网可证得Sp(T)≤ Sp(T), Sp(T)≥ Sp(T).8s,(T)>1,-%, S,(T)<1,+号从而对直线网 T有 Sp(T)-Sp(T)<8.前页后页返回

前页 后页 返回 T1 , 存在直线网 与 T2 使得 1 2 ( ) , ( ) . (3) 2 2 P P P P s T I S T I    −  + 记 T 为由 T1 与 T2 这两个直线网合并所成的直线网, 可证得 1 2 ( ) ( ), ( ) ( ). P P P P s T s T S T S T   ( ) ( ) 2 2 P P P P s T I , S T I .    −  + 从而对直线网 T 有 ( ) ( ) . S T s T P P −  

充分性设对任给的ε>0，存在某直线网T,使得Sp(T)- Sp(T)< 8.但 Sp(T)≤Ip≤Ip≤S,(T), 所以Ip-Ip≤ S,(T)-Sp(T)<8.由 ε 的任意性,得Ip=Ip，因而平面图形P可求面积.后页返回前页

前页 后页 返回 充分性 设对任给的   0, 存在某直线网 T, 使得 ( ) ( ) . S T s T P P −   但 ( ) ( ), P P P P s T I I S T  所以 P ( ) ( ) . P P P I I S T s T −  −    P , P 由 的任意性, 得 I I = 因而平面图形 P 可求面 积

推论平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积 Ip=0,即对任给的 ε>0,存在直线网 T,使得Sp(T)<8,或对任给的ε>0,平面图形P能被有限个面积总和小于ε的小矩形所覆盖后页返回前页

前页 后页 返回 推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它 的外面积 I P = 0 , 即对任给的   0, 存在直线网 T, 使得 ( ) , S T P   或对任给的   0, 平面图形 P 能被有限个面积总和 小于  的小矩形所覆盖

定理21.2平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零证由定理21.1,P可求面积的充要条件是：对任给的 ε>0,存在直线网T,使得S,(T)-,(T)<ε.由于Sk(T) = Sp(T)- Sp(T),所以也有Sk(T)<ε.由上述推论,P的边界K的面积为零.后页返回前页

前页 后页 返回 定理 21.2 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: P 的边界 K 的面积为零. 证 由定理21.1,P 可求面积的充要条件是: 对任给   0, ( ) ( ) . S T s T P P 的 存在直线网T, 使得 −   由于 ( ) ( ) ( ), S T S T s T K P P = − 所以也有 ( ) . S T K   由上述推论, P 的边界K 的面积 为零