山东理工大学：《电路》课程教学资源（课件讲稿）第14章 线性动态电路的复频域分析

§14-3拉氏反变换的部分分式展开 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由 象函数求原函数的方法有 刊州公式网=站0ed 电 C-1∞ 公式涉及到以s为变量的复变函数的积分，比较 复杂。工程上一般不采用这种方法。 若象函数是，或稍加变换后是表14-1中所具有 的形式，可直接查表得原函数。 邕把F(s)分解为简单项的组合，称部分分式展开法。 F(S=F(S)+F(SH… t)=f(t)+f(t)+… 2010年3月3日星期三 16

2010年3月3日星期三 16 结束 §14-3 拉氏反变换的部分分式展开 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由 象函数求原函数的方法有 利用公式 f(t)  2j 1∫cj∞ cj∞ F(s) e st dt 若象函数是，或稍加变换后是表141中所具有 公式涉及到以s为变量的复变函数的积分，比较 复杂。工程上一般不采用这种方法。 把F(s)分解为简单项的组合，称部分分式展开法。 的形式，可直接查表得原函数。 F(s)F1 (s)F2 (s) f(t)f1 (t)f2 (t)

例：求=+3 的原函数。 0-有 查表：￥[5nlow1-4心 0 所以：-店sin51 2010年3月3日星期三 17

2010年3月3日星期三 17 结束 例：求 F(s)  s 23 1 的原函数。 解：F(s)  查表： 3 1 s 23 ) 2 3 ℒ[sin(t)]  s 22  所以： f(t)  3 1 sin 3 t

1.部分分式展开法 在线性电路中，电压和电流的象函数一般形式为 F(S)= N(s）_aosm+a1sm-++bm D(s) b0s"+b1sr1+…+b 式中m、n为正整数，且在电路分析中有n≥m。 部分分式展开法就是把上式分解为若干个如表14-1 所示的简单函数之和，然后逐个求得反变换。 当n>m时，F(s)为真分式； 当n=m时，用多项式除法将其化为：F(s)=A+ No(s) D(s) 部分分式为真分式时，需对分母多项式作因式分解， 求出D(s)=0的根。分三种情况讨论。 2010年3月3日星期三 18

2010年3月3日星期三 18 结束 1. 部分分式展开法 F(s)  D(s) N(s)  a0 s ma1 s m1 ···bm b0 s nb1 s n1+ ···+bn 在线性电路中，电压和电流的象函数一般形式为 式中m、n为正整数，且在电路分析中有n≥m。 部分分式展开法就是把上式分解为若干个如表14-1 所示的简单函数之和，然后逐个求得反变换。 当n > m时， F(s)为真分式； 当n m时，用多项式除法将其化为：F(s) A D(s) N0 (s) 部分分式为真分式时，需对分母多项式作因式分解， 求出D(s)=0的根。分三种情况讨论

情况1D(s)=0只有单根 F(s)=s-p 2十…十 Kn S-Pn P1P2、…、pn为D(s)=0的n个不同单根，它们可以 实数，也可以是（共轭）复数。 K1K2、、Kn为待定系数。确定方法如下： 方法1：按K,=lim(-p)(s)来确定，i=1,2,3,,n S-→Pi 方法2：用求极限方法确定K的值。 (s-p)N(s)+N(s) 按K,=lim (s-Pi)N(s) =lim N(P) S→p1 D(S) S→P1 D'(s) D'(p) i=1,2,3,…,n 2010年3月3日星期三 19

2010年3月3日星期三 19 结束 情况1 D(s)0只有单根 K1、K2、···、Kn为待定系数。确定方法如下： F(s)  sp1 K1  sp2 K2 ···spn Kn p1、p2、… 、pn 为D(s)0的n个不同单根，它们可以 实数，也可以是(共轭)复数。 方法1：按 Ki lim spi (spi )F(s) 来确定， i 1,2,3, ···, n 方法2：用求极限方法确定 Ki 的值。 按 Ki lim spi (spi )N(s) D(s) lim spi (spi )N'(s)N(s) D'(s)  D'(pi ) N(pi ) i 1,2,3, ···, n

P352例14-6求F(S)= 25+1 的原函数。 s3+7s2+10s 结束 解：s3+7s2+10s=0的根分别为：p1=0,p2=-2,p3=-5 用K,=lim(sp,)F(s)确定系数。 s→pi K=lim sF(s)=lim s 、 2s+1 =0.1 S-→0 S→0 s3+7s2+10s K2=lim(s+2)F(s)=lim (s+2) 2s+1 s+2)(s+5) =0.5 S→-2 S→-2 K3=lim(s+5)F(s)=lim(s+5) 2s+1 =-0.6 S→-5 S→-5 s(s+2)(S+5) F()= 0.1+ 0.5 +-06 S+2 S+5 t)=0.1+0.5e-2t-0.6e5t 2010年3月3日星期三 20

2010年3月3日星期三 20 结束 P352 例14-6 求 F(s)  的原函数。 s 3 +7s 2 +10s 2s +1 解：s 3+7s 2 +10s=0的根分别为：p10, p22, p35 用Ki lim (spi )F(s) 确定系数。 spi K1lim sF(s) s0 s0 s 3 +7s 2 +10s 2s+1 lim s  K2lim(s2)F(s) s2 s2 lim (s2) 2s+1 s(s2)(s5)  K3lim(s5)F(s) s5 s5 lim (s5) 2s+1 s(s2)(s5)  f(t) 0.10.5e2t 0.6e5t F(s)  s 0.1  s 0.5  s 0.6