将式(1.106)中之特确定函数g:(g)和g(z)表示为如下级数形式：ZAsing3, g(2) = ZAsing：、*(1.119)81()式中A为持定系数，P.ix。（三）反对称荷载情形的解答仿求解对称荷载解答的方法和步骤，求解边值问题（1.106)～(1.108)不难得到反对称荷载情形的解答。略去中间推导过程，直接将有关的表达式和算式书列于下。1.、立和的表达式：Asinpzshp+shsinshe,2A2[F;,cosβ + G,gh,-E,cha, ]sina3 +EC.cospzshpy+C.yXim24Z[F,eos3+ G,ch3-Eicha,3sina,+EoshpteipyIC江=2(1.120)B.G.B.FL_1+028.chBsinaFumltuFGi式中）shB：0(g+用）sh+时C.(a-β.G,shp,+Gysin(a,-)sin(a,+)R.（0.5)Gu'a,-Basha;a,+3.常数A、C,及C.之确定2.带数A、C，及C。由如下线性代数方程确定：1+2aFrsina,1.2,3.a..AthaLJ1ZA. EBGC-hal -A[ -JaFainaj j=l-a,EM,Jsina,l,1.2ZAZ[Ffcosip, + G,chp: - E,eha,Jsina, Geoapshp, +Co=(1.121)Lacosp,2[Bsina,os,-aHaLFuco+ GehA - Bucha,]式中XA-台！shusheaAC,Na-aEMLZAG.NAa,E.M,Jsinath&.Lsap.2p,sha.cospHusinap2+ ino++p),LA2aheeMi用+旺+a-,2p,shp.cosp.a=2T，a=2TcospNa十43.应力分量将式（1.120）之、及代入式（1.13）得如下应力分盘表达式：331
[p,F,sinp,a,E,sha,=sinaycp,sinzshpZALhe[sins+shsin+Zca.Gashp.y(1.122)-β,F,sin - a,E,sha,]sina] -C,Bshp,zsiny1/22[acosa,(F,cos P, + G,chp, - E,cha,)+ajcosa(F,cospy+G,chpy-E,cha,y)cp(cospzchpy+chzcospy)+C)+利用上述解析解，我们对对角受压正方形板的应力进行了具体的数值计算。计算中取F(1+v)(1-20)=0.8667，U=0.3，计算结果绘在图1.18和图1.19上，如实线所示者。UEa↓331s0.330.35O0.13(0.32)70.000.00(0.34)0)(0.12)0.00(0. 00)(0. 00)(0.38)0.250.24(0.43)/0.29.④0. 00C(0.24).00(9.23)A(0.00).00(0. 00)(0.94)0.330.3500.13O(0.33)(D.34)(0.16)(o.1z)D0.00(b)×1分布图#，×10分布四g×10分布用(e)a)往：送号（）内的值为有限元结果皮力分布四册 1.18为了验证解析解的正确性，我们用有限元法对同一问题进行了计算。利用间题的对称性，取1/4部分进行分析.采用三角形单元，单元划分如图1.20所示.计算结果也绘在图1.18和图1.19上，如虚线所示。此外，还将解析解与光弹性实验结果进行了比较。对于距水平对角线为0.4V2。的截面，二者的应力分布图绘在图1.21上，其中实线为解析解结果，虚线为光弹性实验结果。该光弹性实验结果取自参考文献[6].由图1.18和图1.19解析解与有限元结果的比较可以覆出，二者吻合良好.由图1.21上解析解与光弹性实验结果比较，二者应力的分布规律是一致的，边界附近应力值较接近，远离边界处，和，值略有差异。此差异可能是由于光弹性实验描绘等色线、等倾线以及计算32
11Oaoi@(0.820)0.01910(0.012da.0180.0090.0170.016(0.000)(0.013)00.080(0.000)?O0.024(0.022)(0.00)(0.00(a)（）分布量MIN/#），心有四（MN/#）(c）分布图(MN/）注：着号（）内的值为有滋元绝果19座力分#单收，MN/a(0.028)(0.014)0.0190.0121o.012(0.013)aiV0.100(0.012)注：活号（）内的值为光弹结票图1.20图1.21方法（切力差法）等的近似性造成的。总之，以上比较证实了解析解的正确性。31一6平面边值问题的另一种解法以上求解各种深梁应力分析的边值问题时，主要使用的是有限积分变换法这望建议另一种求解边值问题的方法，它也适用千前述各种深梁，为了清晰起见，下面以多1一3中所讨论的简支深梁的应力分析为例，真体闻明该方法的原理及其运用。如图.6所示简支深梁，将荷载分解为如图1.7所示关于轴工对称和反对称的两种情形，从而将简支深梁的应力分析归结为求解式(1.7)~（1.52)的单个偏微分方程的边值问题。这里用另一种方法来求解这些边值问题。（一）对称荷载情形的解答1.求解将式(1.50)中之待确定函数(岁)及J(字)表示为式(1.5%6)之级数形式。于意，由式(1.50)有2+=0#(1,123)1=±，=Acosa'yy±a,eB.cosa,0将边值问题(1.123)之解表示为[P,cha/cosa'+Q.cha,Jcosa,]o(1.124)-33
其中P及Q为任邀常数.不难验证，式(1.124)已满足式(1.123)第一式之微分方程.其中常数P.和Q：由（1.123）中的边界条件确定，有BAPmQ=cha,shg将所得之P.及Q.代入式（1.124），得, cha,zcosa/3 + B, cosa,tcha2(1.125)cha,cha.a这里所得边值问题（1.123）之解（1.125)与313中所得解（1.57)是相同的，2.求解将式（1.125)代入式（1.51），有[A.sha,tcosa.Bsinaschaazcha,acha;(1.126)三年一a三Acosa/3 J=±A,21==1,i苏a3将边值问题（1.126)之解表示为如下形式：zchacosay1+uD,shB!zcosp/c,cha,ysina+T2cha,B, Jsha, sinaiz](1.127)+ D.z2cha,a式中C.及D为任意常数，3一i讯/。不难验证；式（1.127)已满足边值问题（1.126)第一式之微分方程。其中任意常数C，和：D由边值问题(1.126)之边界条件确定。将式（1.127)代入式(1.126)之边界条件，有isina/t(+a,tha)-D.=2ua.xZA[1(1 +a/tha/) -1'G, - D,A'ch! = 02ui=1,2,3,.CA,"Hua/ sina/αB, (a,+ tha,) +Ca,sha,Ai2u20Fatnare(1.128)2a,tha,sina.2(a,-f)sina式中 G,=sin(-8+ sin(/a]H.(+a)&+aa/+3!ai-p'3.求解将式(1.125)代入式(1.52)，有a'cha,'tsina'ya.casa,zshayLcha,acha'ayU(1.129)2B.cos4zI--岁au=士入一()=±1,苏ayD将边值问题(1.129)之解表示为如下形式34
Lsha/sinayCFcha/Esina'y+I++E,shpycosp,z+2cha.ychaycosa,(1.130)6+Ey2cha.其中E，和F为任意常数，B证，式（1.130）已满足边值问题（1.129）第一式之微分方程，其中常数E，和F由式（1.129）中之边界条件确定。由式（1.129）之边界条件有ZB:A(thai++1+0a,lysina,+Fa'sha!22v2u-Isina'jdy1,2.3.[+(I+ a,athay) -BJE.B,chpa-M-ouZB[1±(1 + a,itha,4) -)sina:-310E2u(1-131)Zy2aatha/isina'3_2(cja2)sina2g(2)d式中Q10+品(a,+af)My,sin(aB)+ sin(a,+P)(cosdaj-p,af+p.4.确定常数A~F式（1.125)、(1.127)及（1.130)中常数AB、C、D、E.及F之确定除利用式（1.128)和（1.131）之条件外，尚须利用下面两个条件：(+)F-士l.em1以菱苏(1.132)德夏）±e以蔬拉由式（1.128）、（1.131)及（1.132)之条件得到如下确定常数A、B、CD、E、和F、之线性代数方程组：2sina,isina,a2sing,sinaiZ D,;G,chp?!SBY3-V:CAXA2Xa,a]台q'ay2u2sina'xZE,3M,cosp,chp,d - F,a, Acha/ Q10a2singsinai4 - B 3二)-28,y,2sina,singi+ Ca,cha,A2A,X204.d:iaa)-2sinaZEpM,chBACD,B.P.cosBAchB,+14-jCA,XG,=0D,p'ichp!,1±"(Q, + 2a/ H,)sina/a + B, 1(2ia, + tha,1) + C,a,sha, :2v202F a/Q,ing/ cha/ = 0Ze,p,Rshpa+35