q,70.并取乐=一为连续深梁只受均布荷载g而无自重，即g（）一=(1+0)(1-20)9=1.0.入=1.0,=0.2=0.167.计算结果绘在图1.13上，如实线所示者；UE2aby(1+0)(1-2)a并取7另一为只有自愈而无外荷载，即g（z）0，=1m1.0.4UE1.0，20.2.0=0.167，计算结果绘在图1.14上，如实线所示。对上述两种情形、计算中均取级数之前20项。t315150..230.150.960.000.960.930.000. 24(0.23)(a.11)(4.00) (0, 01)(0.26)(0.99)(1.00)(0.02)Oa16020.120.9209691.000.000.070.00(0.12)(0.21)(0.17)(0.95)1. 05)(0. 02)(0.02)((1. 00)(0.06)00(0.660. 310.18?.060.250.000.95a00[(0.31)(0.17)(0.99)(0.02)(0. 66)(0.08)5(0.07)(0.25)④?O0.160.320.160.560.000.190.0f2.7110.00113(0. 15)(0.14)0(0.42)(0. 34)(2.17)(0.08)0.59)④?580. 0050.0000(0.85)Ko.D)(5.00)(0.01)(0.01)(0.83)(3.00)(0.02)(6），分布阳(e)分布四(a）,分布四》内的适为有限元结累柱：括号（敢应力分布街阳1.134岁50.000.Q10.030.00[0.000.000.000.00(0.01)(0.11)(0.12)(0.08)(0.10)(0.14)(0.03)(0. 01)(0.01)Oa.ue0.100.020.270.10.0.00.600.130. 00(a.03)(0.01)(0.15)(0.30)(0.40)(0.50)((0.04)(0,04)(0.13))O0lo0[0.460.190.370.18aaO.650.000.$210.000.47)(018)(0.16)(0.98)(0.37)(1.88)(0.1401(0.50)0)+0.320.62a110. 580.714.850.001.100.00(0.28)(0.22)(0.88)(0622(0. 12)(5.15)(0.15)(1.18)(0.842OCR福51.6000:0.000009.100.00(1.68)(1.72)<0.08)(0.13)(9.50)[(0.02)(6.00)(0.19)(1-48)7.分事图(o)，分布酒(c）分布图(6)注，括号（）内的值有限元结架自重应力分布四2691.14
为了验证解析的正确性，对上述两种荷载情形下连续深梁的应力，又用有限元法进行了计算。计算中利用问题的对称性，取深梁右半部分为计算对象，单元划分如图1.15所示，并利用S.4P5程序进行计算、计算结果也分别绘在图1.13和1.14上，如虚线所示。由图可以看出，解析解与有限元结果吻合良好，近实了解析解的正确性。1-3减81-5对角受压正方形板的应力分析$卡如图1.16(a)所示边长2a的正方形板，在一对角项点处受萧大小相等方向相反沿对角线作用的压力P不计板的日重，板小中的受力为平面应力问题。★取如图所示之直角坐标系roy.将图1.16(a)之压力分解为书卡图1.16(6）所示两个相互正交的分力T=P//2。图1.16(6)中作用在角点上相互正交的分力T，可视为作用在角点处相邻两牛边界上之法向集中力，抑或视为作用在角点处相邻两边界上之丰切向集中力。在以下的讨论中，我们将它们视为后者，即作用在+角点处相邻两边界上之切向集中力取正方形板边长之半长a为参考长度，在式(1.10)无因次盘的情况下，将图1.16（6）中之切向集中力T表示为无因次盘图1.15a116T=P/V2(1+0)(1-20)P，则图1.16（6）成为图1.16（)。V2uEa为了简化计算，将图1.16(c)之荷载分解为图1.17(a)和(b)所示关于轴和对称和反对称的两种情形。对于图1.17《α)的对称荷载情形，在=士1及了=士1边界上的分布表面切向可分别表为（）0.（1)（)及)=0.（—（1)，其中(t)为Dirac单位脉冲函数。对于图1.17(b)的反对称荷载情形在=土1及立=士1边界上的分布表面切向力可分别表示为()=0.5T[(+1)+(—1)及()=0.5T[8(+1)+8(1-1)].注意到不计板的自置，则有X=Y=0，于是控制方程(1.12)成为1+笼I+Ua(1.99)-.--.通根据问题的性质，有如下边界条件：27
453T/2T/2T/2T/2T/2T/2T/21/2T/T/2T/2TI2[T/2T/2-(a)(6)图1.17对称荷载情形[图1.17(a）一士1，, -0,,午()(1.100)J=±1,a,=o.干()注意到式（1.13），条件（1.100）可写成a0--3干2,(5)=-e,至#士1，a(1.101)0午2()e,=±1.ay苏at同理，对反对称荷载情形[图1.17（6)].ES#一+2（)=±1，EEa(1.102)x一+2()mi,J=±1,ayya（一）对角受压正方形板应力分析的边值间题综合控制方程（1.99)及边界条件（1.101)和（1.102），对角受压正方形板的应力分析归结为如下单个馆微分方程的边三，可题：对称荷载情形[图1.17（a）]1-01.-(1.1c3)三=±1，=fi();-=1,2=f(2)!其中f()及f()为待确定之函数。1+ua2.r-U元(1.104)a酒a0-2（）1=±1，-er=±l，2ay1+ua3.V3mU(1.105)a干22（）；1一±1，岁=1Eaya反对称荷载情形[图1.17(6)]Vm01.(1.106)无=士1，=1=±g(3)2=士g(3)其中gl(）及g：(）为待确定之函数。28
1+t2.(1.107)博R拉天=±l,y=±1.+2,（)1Ayltea3.V5a苏?(1.108)西两+2,（）;S3=±1,y=±l.e苏（二）对称荷载情形的解答求解1.将式（1.103)中之待确定函数f.(y）和f:(）表示为如下级数：ZA.coZAcosay,f(y) f,() (1.109).其中A为待定系数，a,-i0.5元.于是，由式（1.103)有2+-。(1.110)#1Acosay;y=±1,Lcosan边值向题(1.110)的解为人A,[cosa,ichay + cha,cosa]](1.111)cha2.求解将式（1.111)代入式（1.104).有批+l+udi1sinachashqcosa]Acha,V-2Acosa,y;干2元（元）=±1.=士1，y(1.112)利用有限积分变换法求解边值问题（1.112），有242)-P- a] +Csinazcha,y(1.113)G/ sin(ap)+ sin(atp2a,FF,=1+uF,'=2ashacosp式中F（a+）cha十肉α,β,a+p12.j0a,G:aG,cha-G.Gy-ituEβ,=x，N(B,)U（-）cha(1)洋0C.为积分常数，由如下条件确定：I+sina,d +=1,2.3,..(1.114)Casha.其中a;- -2Tsina,3.求解29
根据问题之特点，点（，）处之值与点（，）处之值相同。故之表达式可由之表达式（1.113）中将云和夕相互置换来得到，即 - ah C,sina,3cha,z (1.115)=2确定常数A.及C,4.式（1.111)、(1.113)和(1.115)中常数A及C.之确定除利用条件(1.114)外，尚须利用如下条件：/E）或±1,=(墨+)(1.116)，一地我A由条件（1.114)及（1.116）得到确定常数A及C的如下方程：A[+2 xbi+TLU++C, = i-1,2.3..(1.117)2A2 [E,M, - aGyNa]N3Lusinar+(pS cosp,1式中Xu-ucha( A,HaCE,sh, - Fasin, - rsha,] + heieg CR,EuM.chaN(p.s3aGuNHaSin(e,)sin(a,+p,)a, = - 2Tsinaa,-α. +p2acha,sina2sina,jo，La+aa,Maa2a,cha,sina,2a,β,chg,sing-V=10，十品2+3应力分量5.将式（1.111）、（1.113)及（1.115)之、及代人式（1.13)得如下应力分量表达式：csR[EJ/(2)le[cosa,zcha,y + cha,zcosa,3] + >2Ala8=MNP,SC,a,cosa;cha.ya,F,cosa,-aGijcna,+cosBE[Ef! ()A/cosa,icha,y + cha,cosa,]+二NB)- aF,cosa,3 - a,G,cha] + 2cachaecosey1/242sinp;(F,pina+ G,pha3 -Esh3)=+B,sinp(F,sina,+Gsha,-E,shp)](1.118)2cat singzhej +sinashaz)反对称荷载情形的解答。30