表1.13=0.5载面上应力分量3，之值级数项数31=25#=30#=10n=15#201.00.556910.526210.607920.594320.435190.80.183320.178680.179560.177500.178610.60.073600.073080.072900.072770.073310.4-0.051070.050540.051040.050560.050930.20.04212-0.042090.04215-0.042160.042150.00.033390.03317-0.03337-0.033180.033330.20.024470.024460.02450-0.024490.024480.40.016460.016470.01647-0.016480.01648--0.60.007750.007900.007980.00803-0.00806-0.80.017180.015470.015710.015790.01596-1.00.099630.110590.125920.114920.07445表1.2文一0.5截面上应力分量可，之值级数项数n310n=15n=20月25几-301.0—0.990131.00203-1.00130-1.00061.006730.80.918820.919600.917540.918970.917110.60.740730.743560.741970.74116-0.740480.4-0.575840.575140.57412-0.574300.573600.2-0.441800.441110.44072-0.440500.440380.00.334080.333870.333490.333570.333290.20.24399-0.244080.24390-0.243840.24382 0. 40.165620.165780.165840.16586--0.16588-0.6-0.094040.094450.094620.09469-0.094720.8-0.03106-0.030900.031420.031090.03149-1.0-0.000000.000000.000000.00000-0.00000表1.3英一0.5裁面上应力分量T之值A级数项数了7=25n10#=15月=20#-301.00.000000.000000.000000.000000.000000.80.225590.227240.227690.228130.22815C.60.354090.354480.354720.354860.354940. 40.374100.373900.$73710.373790.373670.20.347230.346700.346480.346370.346330.00.309680.309210.308850.30884.0.308680.20.274730.274200.273960.273830.273790. 40.243160.242860.242570.242590.242450.60.204730.204610.204540.204500.20450~0.80.133790.134180.134290.134150.134190.000000.00000-1.00.000000.000000.00000从表1.1～1.3可以看出，取级数前10项至15项时，除个别值外，小数点后两位数基本相同；取级数前20项至30项时，小数点后三位数基本相同，即取级数的项数大于20时，小数11
点后前三位数已不发生变化，对实际应用而言，取级数前20项进行计算，所得结果已足够精确，满足实际要求。图1.3及1.4中所给出的解析解之值就是取级数前20项时所得的结果。1-3简支深桑的应力分析如图1.6（a）所示简支深梁，梁长2a，梁高2b，两端分别支承于宽度为c的支座上；梁单位体积重为；梁的上边界受竖向分布荷载g（）；梁的变形为平面应力问题。取用如图所示直角坐标系xoy。不失一般性，设荷载g(z)关于y轴对称，即g(r）=q（-t）。同时设支承反力均匀分布于支座宽度c上，其集度为p5tyg()9(2)源发量型服装"1+1ti4th(b)(a)图1.5取用染的半长a为参考长度，在式（1.10)无因次量的情况下，并将荷载g()和支座反力(1+u)(1-20)集度转化为无因次摄()-(1+0)(1-20)。p，则图1.6(a）成为图（）.5=UEUE1.6(6).图中=/a=c/a在此情形下，控制方程与式（1.16)相同。为了简化计算、将图1.6(0)所示边界上所受荷载分解为图1.7(a）和(b)所示关于轴对()()()称和反对称的两种情形.图中克（）2((）H[—（—)），式中H为Heaviside单位阶跃函数。31P12p/2(2)9()P/2P/2三113111节1o+72W/2AT()4hAL(6)(a)81.7由图1.7有如下边界条件：对称荷载情形[图1.7α）1，，=0，0(1.47)±，,=一()，=o12
注意到式(1.13），条件（1.47)可写成a西业一a主土1，=-e.atEy(1.48)西a二主eα(),ya反对称荷载情形[图1.7(6)]a至=±1,=-e.x49)买一±入，é干(）-y（一）简支深梁应力分析的边值问题综合控制方程（1.16）及边界条件（1.46)和（1.49），简支深梁应力分析的题归结为如下单个偏微分方程的边值问题：对称荷载情形［图1.7（a）1.-(1. 50)e= f(2))元一士1e=f()=±人其中f()及f()为待确定之函数。lua位=2.U(1.51)a=士#=±I,etaxa1+m3.S(1.52)元6a又一士z=±1,é-()ay反对称荷载情形[图1.76)]01.(1.53)é=±g(z)三一士1，=士é=g:(y);其中g:(y）及g(）为待确定之函数。.l+uau2.U(1. 34)aL3二±1,ét艾±入Ea+a+ 273.7U(1.55)五ai一士a()3=±1,玩ayay（二）对称荷载情形下的解答1.求解将式（1.50)中之待确定函数f()和f()表示为如下级数形式：2B,cosa,zZA.cosd/y、f,() =(1.56)f,(y) =台式中A和B,为待定系数，=(i-0.5)x，4=（i-0.5)/)。则边值问题（1.50)之解为13
cha/zcosa'2 + B, cosa.rcha.y(1.57)cha;cha.a求解示2.将式（1.57)代入式（1.51)中，有asina,rchaya'sha'icosa'y+套=1+u2 B,cha!cha,aU(1.58)至=±1，艾一人Acosa;yar2用有限积分变换法求解边值问题（1.58）.式（1.58）之边界条件均为非齐次的，为了避免(1. 59)Gibbs现象，设其中，和立，分别为如下两个边值问题的解：a'sha/cosa,y禁+1+38.gisina,rchayB(1)archa'aycha,a/(1.60),ZAcnsai:az,±入，=0岁=±1，1莎1爱+家0(2)oy(1.61)a2a±#士1元C2求解达值间题（1.60）。将式（1.60）关于立进行积分变换，并取用如下的积分变换式：[,(,)cos/ydyu(左,3) -正变换：(1.62)Scosp/y2 N(B (2,P))逆变换：药,(,文) 一F/=ji/±, N(8))=[ 24, j=0式中[0利用式（1.62之积分变换式，可求得边值间(1.60)之解2F2 cosg[ Liuf,(2) - E,shdi2 -123.2sina,zcospyA.N)N(B)-(1.63)SinE(a,-B/],sin[('+/]a"E.1+0E.-式中E..-a-3alp(a-r)cha!D2a,sha,acos,)a,'E,cha,-E!a,F,1+0Fu-F.（+)chaafp/(1)Uj=o1Z.j=o,f/(1)=Ip,chp,.01shp/z，0，求解边值问题（1.61）。取用如下积分变换式：（）sin(a)正变换：(1.64)(a,)sina逆变换：()-14
式中a=（j一0.5）元，则可求得边值问题（1.61）之解(1.65)Csina,ichay-式中C为积分常数，由如下条件确定：(1.66)Cashaasinazd,i=1,2,3,*.将式（1.63)及（1.65)代入式（1.59）中，得CA,2 [ Lu (7) - Exsha/ 7]NB)F7Csina,zcha,y(1.67)ZB.sina,zcosp,y+N)3.求解将式(1.57)代入式（1.52)、有a.cosa,zshayg'cha,zsina,y+31+uorBAchalcha,aayU(1.68)a一一号a5士入，Bcosa-()z=±1,苏S仿求解边值问题（1.58）的方法，不难求得边值问题（1.68）的解SAG:2A2O1[Mug(y)—H,sha]cosp,zsina'y+7NP,N(B,)S-a,cosp,g;()1(1.69)cha,rsinayN(P,)g/(a)-a,Ha'Gi2a,'sha'cosp;1+1HiG,式中G.(a-)cha,（a+）cha+33aH,cha,a-Hi+sin(a,-psin(a+a)cosM..H,-g/(A)a-32,-3,1,j=oj-0,3,g)=g/()-p,chp,a.it0shpy.jo,12,j=04=(-0.5)/，3,=，N(p)=11,0D：为积分带数，由如下条件确定：(1.70)i-1,2,3,...Da,'sha' -sina;ydy,！4、确定带数A、3.、C:及D式（1.57）、(1.67)及(1.69)中之带数A.3、C及D.尚是未知的，它们的确定除利用条件（1.66）和（1.70)外，尚须利用如下条件：r(墨+需)(1.71)元=±,e(舞+雾)U(1.72)y=±a利用条件（1.71)、(1.72)、(1.66)和（1.70)得到确定常数A、B,、C.和D的如下线性代数方程组：15