Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU X"+AX=0,X(x)-a0=0 X= cos(na/1), a,=(nT/D) T=B sin( nnat/1), n=1, 2, 3 u(x,1)=2 B, cos(nzx/D)sin(nat/D), taB//=(2/Dy(x)cos(nx/n)d (x, 1)=>, (2/arnL y(x )cos(nzx//)dx'cos(nx/D)sin(ntat/n) 这正是波的分解与合成。这是I型定解问题:齐次方程和齐次(自由边界 条件,非齐次初始条件 三、分离变量法一(偏→常)微分方程问题[定解问题I型(齐次边条川 1.一维有界区域自由振动问题的驻波解 (有界区域齐次边条振动问题,存在驻波、节点、本征频率和波的叠加等) 下面以两端固定弦的自由振动为例(+D问题) 0(0<x<1,0<1<∞ l-=g(x),a,==v(x) 定解问题I型:方程和边界条件都是齐次的,而初始条件是非齐次的。 第一步,分高变量 设u(x,1)=k(x)T(n)[取此特解形式,可得驻波解:T(1)是振荡函数,而 与x无关,X(x)是幅度函数,与t无关],将此u(x,1)代入方程,即得 X(x)T"()=a2X"(x)7( 等式两端除以a2X(x)T(0),就有()=x(x) a2T(1)X(x) 注意在这个等式中,左端只是t的函数,与x无关,而右端只是x的函数, 与t无关。因此,左端和右端相等,就必须共同等于一个既与x无关、又与t 无关的常数。令这个常数为-(参数),即,(0)=x(2= a T(o) X(x)
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 11 0, '' 0, '( ) | 0. X X X x + = = x l = sin( / ), 1,2,3, . cos( / ), ( / ) , 2 = = = = T B n at l n X n x l n l n n n n 1 0 ( , ) cos( / )sin( / ), / (2 / ) ( )cos( / )d . n n l n u x t B n x l n at l n aB l l x n x l x = = = 1 0 ( , ) 2 / ) ( ')cos( '/ )d 'cos( / )sin( / ). l n u x t a n x n x l x n x l n at l = = （ 这正是波的分解与合成。这是 I 型定解问题：齐次方程和齐次(自由)边界 条件，非齐次初始条件。 三、 分离变量法—（偏 → 常）微分方程问题[定解问题 I 型(齐次边条)] 1. 一维有界区域自由振动问题的驻波解 (有界区域齐次边条振动问题，存在驻波、节点、本征频率和波的叠加等) 下面以两端固定弦的自由振动为例(1+1D 问题): ( ) 2 0 0 0 0 0 ,0 , 0; 0, ( ); ( ). tt xx x x l t t t u a u x l t u u u x u x = = = = − = = = = = 定解问题 I 型：方程和边界条件都是齐次的，而初始条件是非齐次的。 第一步, 分离变量： 设 u(x,t) = X (x)T(t) [取此特解形式，可得驻波解：T t() 是振荡函数，而 与 x 无关， X x( ) 是幅度函数，与 t 无关],将此 u(x,t) 代入方程，即得 2 X x T t a X x T t ( ) ( ) ( ) ( ). = 等式两端除以 ( ) ( ) 2 a X x T t ，就有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X x X x a T t T t = . 注意在这个等式中，左端只是 t 的函数，与 x 无关，而右端只是 x 的函数， 与 t 无关。因此，左端和右端相等，就必须共同等于一个既与 x 无关、又与 t 无关的常数。令这个常数为− (参数)，即， = − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X x X x a T t T t
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU 由此得到两个常微分方程: T()+Aa2T()=0, (101) X"(x)+AX(x)=0 (10.2) 同样,将此(x,1)代入边界条件,得 X(0)7()=0,X(D)7()=0,这时必须有 X(0)=0,X(1)=0因为T(1)不可能恒为0,否则l(x,1)恒为0](10.3) 这样就完成了分离变量法求解偏微分方程定解(亦定界) 问题的第一步:分离变量。在这一步中,假设所要求的是变 量分离形式的非零解l(x,1)=H(x)(),导出了函数Ⅹ(x)应该满 足的常微分方程和边界条件,以及T()所满足的常微分方程。 分离变量之所以能够实现。是因为原来的偏微分方程和界 条件都是齐次的(可分离变量)。 第二步求解本怔值问题 上面得到的函数ⅹ(x)的常微分方程定解问题,称为本征篁 问题。其特点是:常微分方程Ⅺ(x)+(x)=0中含有一个待定 常数λ,而定解条件X(0)=0,X(=0是一对齐次边界条件。这 样的定解冋题不同于我们过去熟悉的常微分方程的初边值冋 题。下面将看到,并非对于任何λ值,都有既满足齐次常微分 方程,又满足齐次边界条件的非零解。只有当λ取某些特定值 时,才有既满足齐次常微分方程。又满足齐次边界条件的非零 解X(x).的这些特定值称为本征( eigenvalue),相应的非 零解称为本征函数( eigenfunction)
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 12 由此得到两个常微分方程： 2 T t a T t ( ) ( ) 0, + = （10.1） X x X x ( ) ( ) 0. + = （10.2） 同样，将此 u(x,t) 代入边界条件，得 X (0)T(t) = 0 ， X (l)T(t) = 0 ，这时必须有 X (0) = 0， X (l) = 0 [因为 T (t) 不可能恒为 0，否则 u(x,t) 恒为 0]. （10.3） 这样就完成了分离变量法求解偏微分方程定解（亦定界） 问题的第一步：分离变量。在这一步中，假设所要求的是变 量分离形式的非零解 u(x,t) = X (x)T(t) ，导出了函数 X (x) 应该满 足的常微分方程和边界条件，以及 T (t) 所满足的常微分方程。 分离变量之所以能够实现，是因为原来的偏微分方程和边界 条件都是齐次的（可分离变量）。 第二步,求解本征值问题： 上面得到的函数 X (x) 的常微分方程定解问题，称为本征值 问题。其特点是：常微分方程 X (x) + X (x) = 0 中含有一个待定 常数 ，而定解条件 X (0) = 0，X (l) = 0 是一对齐次边界条件。这 样的定解问题不同于我们过去熟悉的常微分方程的初边值问 题。下面将看到，并非对于任何 值，都有既满足齐次常微分 方程，又满足齐次边界条件的非零解。只有当 取某些特定值 时，才有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零 解 X (x) . 的这些特定值称为本征值(eigenvalue)，相应的非 零解称为本征函数(eigenfunction)
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU (1)设<0.令=->0,解(10.2)X"(x)+X(x)=0得 X(x)=Cevar +C,e-vux 要使它满足(103)x(0)=0,我们有(b=m)C1+C2=0 X()=0 e+ce=0 由此知道只能C1=C2=0,可见<0是不可能的。 (2)设=0.由方程(10.2)解得,X(x)=C1x+C2 要使它满足(103),只能C1=C2=0,可见=0也是不可能的。 (3)只能设λ>0.由方程(10.2)解得, X(x)=C1cos√Ax+C2sn√x 将这个通解代入边界条件(10.3),就有 C1=0, C1=0 即 C1cos√A+C2sn=0.-c2sn√=0 C1和C2不能同时为0,否则X(x)恒为零,a(x,1)恒为0(平凡解,虽然 零解无物理意义,但至少说明数学上可能行得通),因此只能是, sin√=0--本征值方程,解为√=nz(n=12,3…) 于是,λ只能取如下的一系列值:n 相应的本征函数就是:x(x)=Sn"x.记为{sin"x}.(n=123…) 这里取C2=1,因为我们所要求的必然只是线性无关解。 不同的C,值给出的是线性相关的。由于同样的原因,我们 也不必考慮n为负整数的情形。这样求得的本征值有无穸 多个,他们可以用正整数n标记(其实就是量子力学量子 数)。因此,我们把本征值和本征函数分别记为An和Xn(x) 第三步求兮解,并进一步加出一般解
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 13 (1) 设 0. 令 = − 0 ，解（10.2） X (x) + X (x) = 0 得 x x X x C e C e − = 1 + 2 ( ) . 要使它满足（10.3） (0) 0; ( ) 0. X X l = = 我们有 ( ) b l = 1 2 1 2 C C 0; C C 0. b b e e − + = + = 由此知道只能 C1 = C2 = 0 ，可见 0 是不可能的。 （2）设 = 0 . 由方程（10.2）解得， 1 2 X(x) = C x +C . 要使它满足（10.3），只能 C1 = C2 = 0 ，可见 = 0 也是不可能的。 （3）只能设 0 . 由方程（10.2）解得， X (x) C cos x C sin x = 1 + 2 . 将这个通解代入边界条件（10.3），就有 1 1 2 0; cos sin 0. C C l C l = + = 即 1 2 0; sin 0. C C l = = C1 和 C2 不能同时为 0，否则 X (x) 恒为零， u(x,t) 恒为 0（平凡解，虽然 零解无物理意义，但至少说明数学上可能行得通），因此只能是， sin 0 l = − − 本征值方程，解为 l = n (n =1,2,3, ). 于是， 只能取如下的一系列值： 2 = l n n ； 相应的本征函数就是： x l n X x n ( ) = sin . 记为 {sin }. n x l (n =1,2,3, ) 这里取 C2 =1 ，因为我们所要求的必然只是线性无关解。 不同的 C2 值给出的是线性相关的。由于同样的原因，我们 也不必考虑 n 为负整数的情形。这样求得的本征值有无穷 多个，他们可以用正整数 n 标记（其实就是量子力学量子 数）。因此，我们把本征值和本征函数分别记为 n 和 X (x) n . 第三步,求特解，并进一步叠加出一般解：
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU 对于每一个本征值λn,由7"()+Aa27()=0(10.1)解出相应的T(t) T (t=A, cos at+B sinat 因此,也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解 n兀 n u, (x, t)=A, coat+B, sin 这样的特解有无穷多个团=12,3…)每一个特解都同时 满足齐次偏微分方程和齐次边界条件。它们是一系列的实 空间驻波。但是,一般来说,单独任何一个特解都不能满 足定解冋题中的初始条件。然而,由于偏微分方程和迒界 条件都是齐次的,把它们的特解线性叠加起来,即 l(x,)= A cos at sir 这样得到的l(x,)也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条 件下的解(当然要求此级数收敛且可以逐项求二阶偏号 即求和与求导可以交换次序)。这种形式的解称为一般解。 现在根据初始条件中的已知函数o(x)和v(x)定出叠加系数An和B 将上面的一般解代入初始条件,得 o(x)=∑Asin",x, nza B (10.5) 注:1.g(x)和y(x)是已知函数而非任意函数。u(x,1)既要满足泛定方程又要 满足定解条件。un(x,1),9(x)和v(x)均由X(x)构成。 2.定解条件仅是其内部规律的一个极限 第四步利用本征函数的正交性确定叠加系数
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 14 对于每一个本征值 n ，由 ( ) ( ) 0 2 T t + a T t = （10.1）解出相应的 T (t) n : at l n at B l n Tn t An n ( ) = cos + sin . 因此，也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解: x l n at l n at B l n un x t An n ( , ) cos sin sin = + (n =1,2,3, ). 这样的特解有无穷多个 (n =1,2,3, ) 。每一个特解都同时 满足齐次偏微分方程和齐次边界条件。它们是一系列的实 空间驻波。但是，一般来说，单独任何一个特解都不能满 足定解问题中的初始条件。然而，由于偏微分方程和边界 条件都是齐次的，把它们的特解线性叠加起来，即 = = + 1 ( , ) cos sin sin n n n x l n at l n at B l n u x t A . 这样得到的 u(x,t) 也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条 件下的解（当然要求此级数收敛且可以逐项求二阶偏导， 即求和与求导可以交换次序）。这种形式的解称为一般解。 现在根据初始条件中的已知函数 (x) 和 (x) 定出叠加系数 An 和 Bn . 将上面的一般解代入初始条件，得 1 1 ( ) sin , (10.4) ( ) sin . (10.5) n n n n n x A x l n a n x B x l l = = = = 注： 1. (x) 和 (x) 是已知函数而非任意函数。u x t ( , ) 既要满足泛定方程又要 满足定解条件。 ( , ), n u x t (x) 和 (x) 均由 ( ) X x n 构成。 2. 定解条件仅是其内部规律的一个极限。 第四步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：