Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU a(at)+p(at) H(at)-p-ar) 2 2 0(≥0) 记y=at,上式改写为 d(-y)+Φ(y)平(y)-平(-y) 0(y≥ 由此可见,Φ,的形式(当其宗量为负值时)可以取为 )(≥0) 其中第一个式子来源于Φ(-y)+Φ(y)=0,这是偶延拓问题转化为 ln-aux=0(-∞<x<∞) ≥0 Jv(x) x20 y(-x)x<0 注意到,x+at一定大于等于0,但x-at可正可负,因此, 当x-an≥0,即1≤时,(x0)=(x-ar)+(x+am)1rm, y(a)da t<0 u(x,t=p(at-x)+o(r+ar),1(rr+ar +o(a)da+oy()da p(x+ar)+o(at-x),1 (0 y(ada (B)dB p(x+at)+p(at-x)+lr tar v(a)da+。v(B)dB 综上所述,我们得到原定解问题(x≥0)的解: p(x-ar)+o(x+at) y(a)da 2a Jx-ar 0(x+a)+y(a-x)1 y(a)de 6
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 6 0 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( , ) 0 = − − + − + = = a at at at at u x t x x (t 0). 记 y = at ，上式改写为 0 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) = − − + − + a y y y y (y 0). 由此可见， , 的形式（当其宗量为负值时）可以取为 (−y) = ( y) ，(−y) = ( y) (y 0), 其中第一个式子来源于 − + = ( ) ( ) 0, y y 这是偶延拓. 问题转化为 ( ) 2 0 0 0 , ( ) 0; ( ) ( ) 0. ( ) 0; ( ) ( ) 0. tt xx t t t u a u x x x u x x x x x u x x x = = − = − = = − = = − 注意到， x + at 一定大于等于 0 ，但 x − at 可正可负，因此， 当 x − at 0 ，即 a x t 时， ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d ; 2 2 x at x at x at x at u x t a + − − + + = + 当 x − at 0 ，即 a x t 时， 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d ( )d 2 2 ( ) ( ) 1 ( )d ( )d 2 2 ( ) ( ) 1 ( )d ( )d . 2 2 x at x at x at at x x at at x at x x at u x t a x at at x a x at at x a + − + − + − − + + = + + − + + − = + − + + − = + + 综上所述，我们得到原定解问题（ x 0 ）的解: 0 0 ( ) ( ) 1 ( )d ; 2 2 ( , ) ( ) ( ) 1 ( )d ( )d . 2 2 x at x at x at at x x at x at x t a a u x t x at at x x t a a + − + − − + + + = + + − + +
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU 2.非齐次边界条件: a2u.=0(x≥0 0(x≥0) lnx=0(x≥0) P(x) L=(x) 0, y(x), 叫4-=() 0 f(r 定解问题的解u(x,1)等于问题I的解4(x,1)和问题I的解a2(x,1)之和,即 u(, 1=u,(x, t+u,, 4) 定解问题I的解u4(x,1)前面已经给出, p(x-an)+(x+a),1 y(adat≤ l1(x,) p(x+at)-p(at-x)I[+ar y(a)da I 现在讨论定解问题I的求解, (1)因为该系统既没有外力作用,初始条件又为0,所以x=0点的扰 动是系统振动的唯一原因(来源),因此,在x≥0区域,只能有向右传播的 波而不能有向左传播的波。所以,变量x和t只能以x-at或t--的组合形 式出现于解中,而不能以另一种形式x+at或t+-的组合形式出现。 (2)就x点来说,当1<时,x=0点的扰动尚未影响到这点,这点仍 处在平衡位置,所以解的形式是:4()( (3)最后,由边界条件确定F的具体形式,得F(t)=f()(t≥0) 所以,n2(x,1)=f|1
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 7 2．非齐次边界条件： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 , 0 0 , ( ); ( ); 0; ( ), ( ), 0, ( ). 0. ( ). tt xx tt xx tt xx t t t t t t x x x u a u x u a u x u a u x u x u x u u x u x u u f t u u f t = = = = = = = = = − = − = − = = = = = + = = = = = = I II 定解问题的解 u(x,t) 等于问题 I 的解 ( , ) 1 u x t 和问题 II 的解 ( , ) 2 u x t 之和，即 ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 u x t = u x t + u x t . 定解问题 I 的解 ( , ) 1 u x t 前面已经给出， 1 ( ) ( ) 1 ( )d ; 2 2 ( , ) ( ) ( ) 1 ( )d . 2 2 x at x at x at at x x at x at x t a a u x t x at at x x t a a + − + − − + + + = + − − + 现在讨论定解问题 II 的求解， （1）因为该系统既没有外力作用，初始条件又为 0 ，所以 x = 0 点的扰 动是系统振动的唯一原因（来源），因此，在 x 0 区域，只能有向右传播的 波而不能有向左传播的波。所以，变量 x 和 t 只能以 x − at 或 a x t − 的组合形 式出现于解中，而不能以另一种形式 x + at 或 a x t + 的组合形式出现。 （2）就 x 点来说，当 a x t 时， x = 0 点的扰动尚未影响到这点，这点仍 处在平衡位置，所以解的形式是： 2 ( , ) H x x u x t F t t a a = − − . （3）最后，由边界条件确定 F 的具体形式，得 F(t) = f (t) (t 0 .) 所以， 2 ( , ) H . x x u x t f t t a a = − −
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU 三、由简述到一般)例如:两端固定弦的自由振动问题 0(0<x<1,0 l=0;,u=0 u_=p(x); u, L-=v(x) 定解问题I型:齐次方程和齐次固定边界条件,非齐次初始条件。 第一步,分高变量 设u(x,t)=X(x)7(),将此l(x,)代入方程,即得 X(x)7()=a2X"(x)T() 等式两端除以a2X(x)(),就有了()=X"(x) a2T(1)X(x) 左端只是t的函数(与x无关),右端只是x的函数(与t无关)。因此,要左 端和右端相等,就必须共同等于一个既与x无关、又与无关的常数。令这 个常数为-(参数),即(0)x(x)=-Z.由此得到两个常微分方程组 (1)X(x) )+aT(t)=0, (10 X"(x)+λX(x)=0 (10.2) 同样,将此u(x,1)代入边界条件,得X(0)=0,X(1)=0.(10.3) 这就是分离变量,即导出了函数K(x)满足的常微分方程和边界条件, 以及T(1)满足的常微分方程。分离变量之所以能够实现,是因为原来的偏微 分方程和边界条件都是齐次的。 第二步求解本怔值问: 常微分方程X"(x)+AX(x)=0中含有一个待定常数λ,而定解条件 X(0)=0,Ⅺ()=0是一对齐次边界条件。只有当λ取某些特定值时,才有既 满足齐次常微分方程,又满足齐次边界条件的非零解Ⅺ(x).λ的这些特定值 称为本怔"( eigenvalue),相应的非零解称为本征函数( eigenfunction)
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 8 （三、由简述到一般）例如: 两端固定弦的自由振动问题: ( ) 2 0 0 0 0 0 ,0 , 0; 0, ( ); ( ). tt xx x x l t t t u a u x l t u u u x u x = = = = − = = = = = [定解问题 I 型：齐次方程和齐次(固定)边界条件，非齐次初始条件]。 第一步, 分离变量： 设 u(x,t) = X (x)T(t) ,将此 u(x,t) 代入方程，即得 2 X x T t a X x T t ( ) ( ) ( ) ( ). = 等式两端除以 ( ) ( ) 2 a X x T t ，就有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X x X x a T t T t = . 左端只是 t 的函数(与 x 无关)，右端只是 x 的函数(与 t 无关)。因此，要左 端和右端相等，就必须共同等于一个既与 x 无关、又与 t 无关的常数。令这 个常数为 − (参数)，即 = − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X x X x a T t T t .由此得到两个常微分方程组： 2 T t a T t ( ) ( ) 0, + = （10.1） X x X x ( ) ( ) 0. + = （10.2） 同样，将此 u(x,t) 代入边界条件，得 X (0) = 0 , X l( ) 0. = （10.3） 这就是分离变量，即导出了函数 X (x) 满足的常微分方程和边界条件， 以及 T (t) 满足的常微分方程。分离变量之所以能够实现，是因为原来的偏微 分方程和边界条件都是齐次的。 第二步,求解本征值问题： 常微分方程 X (x) + X (x) = 0 中含有一个待定常数 ，而定解条件 X (0) = 0， X (l) = 0 是一对齐次边界条件。只有当 取某些特定值时，才有既 满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解 X (x) . 的这些特定值 称为本征值(eigenvalue)，相应的非零解称为本征函数(eigenfunction)
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU 由方程(10.2)解得,X(x)=C1cosx+C2sin√Ax 将这个通解代入边界条件(10.3),就有 C,sin√=0 C1和C2不能同时为0,只能是sn√l=0,即√l=nm(n=12,3 于是只能取如下的一系列值-(7)(=123,相应的本任函 数为:x,(x)=5mx,记为;smzx这样求得的本征值有无穷多个,他 们可以用正整数n标记。我们把本征值和本征函数分别记为n和Xn(x) 第三步求解,外叠加出一般解 对于每一个本征值n,由T()+Aa2T()=0(10.1)解出相应的 n丌 n丌 T, (0: T,(t)=A, cos-at+ B, sinat 因此,也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解 n丌 u,(x,t)=A cOS at+B, sin"at sin 1, x(n=1,2, 3 n丌 这祥的特解有无穷个(n=12,3,…)。每一个特解都园时满又齐 次偏微分方程和齐次边界奈佧。单独任何一个特解不能满足定解冋题中 的初始条件。由于偏微分方程和逵界条件都是齐次的,把它们的特解线 性叠加起来,即 l,Cos nT n7 (x,1)=∑|A at+B sin at sin"x 这样得到的l(x,D)也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解。 种形式的解称为一般解。 现在根据初始条件中的已知函数q(x)和v(x)定出叠加系数A和Bn 将上面的一般解代入初始条件,得
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 9 由方程（10.2）解得, 1 2 X x C x C x ( ) cos sin . = + 将这个通解代入边界条件（10.3）,就有 1 2 0; sin 0. C C l = = C1 和 C2 不能同时为 0，只能是 sin l = 0 ，即 l = n (n =1,2,3, ). 于是 只能取如下的一系列值： 2 = l n n (n =1,2,3, ) ；相应的本征函 数为: ( ) sin , n n X x x l = 记为: sin . n x l 这样求得的本征值有无穷多个，他 们可以用正整数 n 标记。我们把本征值和本征函数分别记为 n 和 X (x) n . 第三步,求特解，并叠加出一般解： 对于每一个本征值 n ，由 ( ) ( ) 0 2 T t + a T t = （10.1）解出相应的 T (t) n : at l n at B l n Tn t An n ( ) = cos + sin . 因此，也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解: x l n at l n at B l n un x t An n ( , ) cos sin sin = + (n =1,2,3, .) 这样的特解有无穷多个 (n =1,2,3, ) 。每一个特解都同时满足齐 次偏微分方程和齐次边界条件。单独任何一个特解不能满足定解问题中 的初始条件。由于偏微分方程和边界条件都是齐次的，把它们的特解线 性叠加起来，即 = = + 1 ( , ) cos sin sin n n n x l n at l n at B l n u x t A . 这样得到的 u(x,t) 也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解。这 种形式的解称为一般解。 现在根据初始条件中的已知函数 (x) 和 (x) 定出叠加系数 An 和 Bn . 将上面的一般解代入初始条件，得
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU 0(x)=∑Asi (10.4) v(x)=∑",B,sin"x (10.5) 第四步利用本征函数的正交性确定叠加系数: 本征函数的正交性:[(x)x()=0≠m) 本征函数的模方:x,x)=x:(=5(n=123) 因此,在(10.4)式两端同乘以Xn(x)=sn"x,并逐项积分,就得到 7X ∫∑4 noX ZX p(x)sin sIn sIn ∑4 sin nn sin mht x dx=∑456m=4 所以,A=x)sm"dx 同样可以得到,Bn=W(x)sn";dx.这样,根据初始条件中的 已知函数o(x)和y(x),计算出积分,就可以得到叠加系数A和B, 从而就求得了整个定解问题的解。 第五步,解的物解:就两端固定弦来说,固有频率中有一个最小值, 即=,称为基频。共它固有频都是它的数1,称为频。个同 的解是许多驻波的迭加。这种解法也称为驻波法。 将一个偏微分方程转化为几个常微分方程,同时边界条件亦可分离变量(如 齐次边界条件);常微分方程和相应的齐次边界条件构成了本征值问题,由此解 出一系列本征值和本征函数族。 ln=alnl(0<x<,0<t<∞) 再例如 lxl=o=0,u(x,0)=0,1(x,O)=v(x)
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 10 1 1 ( ) sin , (10.4) ( ) sin . (10.5) n n n n n x A x l n a n x B x l l = = = = 第四步,利用本征函数的正交性确定叠加系数： 本征函数的正交性: X x X x x (n m) l n m = ( ) ( )d 0, 0 . 本征函数的模方: 2 ( ) ( )d 0 2 2 l X x X x x l n = n = . (n =1,2,3, .) 因此，在(10.4)式两端同乘以 x l m X x m ( ) = sin ，并逐项积分，就得到 0 0 1 0 1 1 ( )sin d sin sin d sin sin d . 2 2 l l n n l n n nm m n n m x n x m x x x A x l l l n x m x l l A x A A l l = = = = = = = 所以， = l n x l n x x l A 0 ( )sin d 2 . 同样可以得到， = l n x l n x x n a B 0 ( )sin d 2 . 这样，根据初始条件中的 已知函数 (x) 和 (x) ，计算出积分，就可以得到叠加系数 An 和 Bn ， 从而就求得了整个定解问题的解。 第五步, 解的物理解释：就两端固定弦来说，固有频率中有一个最小值， 即 l a 1 = ，称为基频。其它固有频率都是它的整数倍，称为倍频。整个问题 的解是许多驻波的迭加。这种解法也称为驻波法。 将一个偏微分方程转化为几个常微分方程，同时边界条件亦可分离变量（如 齐次边界条件）；常微分方程和相应的齐次边界条件构成了本征值问题，由此解 出一系列本征值和本征函数族。 再例如: ( ) 2 0, 0 ,0 , | 0, ( ,0) 0, ( ,0) ( ). tt xx x x l t u a u x l t u u x u x x = = = = =